非局域Alice-Bob Benjamin-Ono系统的对称破缺解

任清褒，陈乐安，彭广卓

（丽水学院工学院，浙江丽水323000）

0 引言

2016年，Ablowitz和Musslimani[1]引入了一个新的非局域的非线性薛定谔方程：

（1）式中*号表示复共轭，u（x，t）是变量为x，t的复值函数。与经典薛定谔方程相比较，（1）式中u*（-x，t）替代u*（x，t）。Ablowitz和Musslimani指出方程（1）是非Hermitian的，而是PT对称的，并且是可积的。在物理学的许多领域，如量子物理[2]、光学[3]、量子场理论[4]和电路[5]等，PT对称是十分重要的。就在最近，又利用方程（1）来描述宏观的磁性系统[6]。

在粒子物理中，存在着一些重要的性质，如电荷共轭对称（C）、空间对称（Ps，x→-x+x0，x0是任意常数）、带延迟的时间反演对称（Td，t→-t+t0，t0是任意常数）和 PT、PC、PsC、PsTd对称，这些性质都可以用来描述两地的物理问题。而两地物理问题可归结为Alice-Bob（AB）系统[7]。因此，方程（1）可看成是一个特殊的AB系统。

本文先构建了一个特殊的AB-Benjamin-Ono（AB-BO）系统和Lax对，然后在此基础上求得该系统的对称破缺孤子解和对称破缺怪波解，最后对其进行了简单的讨论和总结。

1 AB-BO系统和它的Lax对、Ba¨cklund变换、双线性形式

我们考虑（1+1）维 Benjamin-Ono系统[8-9]：

（2）式中的β，γ分别是非线性和色散系数。在数学物理中，方程（2）是一个可积的非线性系统，用来描述深水中的内波。

根据 AB系统的原理[10]，令 u=（A+B）/2，并代入（2）式，有：

（3）式可分解为耦合方程：

将（5）式代入（4）式，可得到下列非局域的AB-BO系统：

显然，系统（6）是可积的，因为它有下列Lax对：

（7）式中的

其中 λ1，λ2是任意常数。

现在引入拓展的B cklund变换:

（9）式中b1，b2，α是任意常数，F是待确定的变量为x，t的实函数，且满足：

当b1=0，b2=0时，（9）式变为系统（1）的普通的 B cklund变换。将（9）式代入（6）式，得到AB-BO系统的双线性形式：

由微分算子（12）可知，方程（11）式可写成：

有意思的是（13）式也恰好为系统（1）的双线性形式。

2 AB-BO系统的对称破缺孤子解

为了获得AB-BO系统的多孤子解，假设（13）式中的F为

式（14）中 μ 的求和应取 μi=0，1（i=1，2，…，N）的所有可能的组合，

若 N=1，（14）式变为：

（16）式有以下两种情形：

情形（1）：如果 η10=0，F1满足系统的单孤子解为：

情形（2）：如果 η10、x0、t0为任意常数，F1既不能满足下，PNAB-BO系统和TNAB-BO系统的单孤子解被禁戒。

若 N=2，（14）式变为

（18）式有以下两种情形:

情形（2）：若

则：

若 N=3，（14）式变为

其中

（24）式有以下两种情形:

情形（1）：如果 η10=η20=η30=0，F3满足，PTNAB-BO系统的双孤子解由（9）式得到：

情形（2）：如果 η10、η20、η30、x0、t0为任意常数，F3既不能满足此情形下，PNAB-BO系统和TNAB-BO系统的三孤子解被禁戒。

若 N=4，（14）式变为

上式中的

对于（28）式，有下列两种情形:

情形（1）：如果 η10=η20=η30=η40=0，F4满足，PTNAB-BO系统的四孤子解由（9）式得到：

情形（2）：仔细分析后，若

利用（33）式，容易验证

在此情形下，对PNAB-BO系统，（28）式可重写为:

对TNAB-BO系统，（28）式可改写成：

将（35）和（36）式代入（9）式，得到PNAB-BO系统和TNAB-BO系统的四孤子相互作用解。

3 AB-BO系统的对称破缺的怪波解

为了得到AB-BO系统的怪波解，双线性方程（13）式中的F具有下列形式：

当 n=1 时，（37）式成为:

将（38）式代入（13）式，搜集有关于x，t的同次幂，令其系数为零，得到一个决定性方程组，解这一方程组，有：

因而PTNAB-BO系统的怪波解为:

PNAB-BO系统的怪波解为:

TNAB-BO系统的怪波解为:

当 n=2 时，（37）式可写成：

把（40）～（42）式中的F1替换为F2，即可得到AB-BO系统的二阶怪波解。就高阶怪波解，限于篇幅就不在此讨论了。

4 总结和讨论

总之，在自然界中，存在大量的两地（AB）物理问题。研究两地物理问题对其他科学领域有着极其深远的影响。在这项工作中，构建了一个特殊的非局域的AB-BO系统。该系统是可积的，因为有Lax对存在。非局域的Benjamin-Ono系统奇数孤子被禁戒，显然与局域的Benjamin-Ono系统不同。对于（5）式，是否还存在其它的形式，将有待于进一步的研究。