“猎狗追免”轻松解

杨弘

学生：“猎狗为什么总是追兔子？”

老师：“大概是为奥数题作贡献吧！”

学生：……

行程单位统一

是猎狗追兔的解题关键。

猎狗追兔是奥数中行程问题的一种，同时也是数学行程问题中的一种，它与一般的行程问题有着某种相通性。

问题叙述：

兔子动作快、步子小;猎狗动作慢、步子大。通常我们遇到的行程问题中所给路程都是通用单位（米或千米）等，但这类题中狗步与兔步是不一样的单位，所以要先统一单位，然后利用追及问题公式“路程差÷速度差=追及时间”来解出答案。

举例说明：

①相同路程内，猎狗跑4步（狗步）=兔子跑7步（兔步），可以求出狗步与兔步的比;②相同时间内，兔子跑3步（兔步）=猎狗跑2步（狗步），可以求出兔子与猎狗的速度比，即单位时间内猎狗和兔子分别跑多少兔步（或狗步）。

关键：

统一为狗步或兔步。

规则：

要视路程差的单位而定，若路程差的单位为狗步则速度要统一为狗步，反之统一为兔步。

记住这些，“猎狗追兔”问题自然迎刃而解！

元宵佳节猜灯谜，果然，元宵佳节一到，老爸就不怀好意地对着我笑：“嘿嘿嘿……嘿嘿嘿……”我立刻警惕起来，老爸，又憋着什么坏呢？

“今年元宵节咱们玩个好玩的，猜灯谜！”老爸微微一笑。

猜灯谜，这可是我的强项。不过以我对老爸的了解，事情恐怕没这么简单。果然，老爸话锋一转，说道：“不过，文字灯谜大家早都玩腻了，咱们不如换一个数学的玩法。”

“NO～～～～！”我惨嚎一声，不过看着老爸晃得叮当响的元宵，只好放手一搏了。

灯谜一：高个子和矮个子两个小朋友走一段路程，通常谁先到达终点？

我想了想，说道：“身高有差异的两个小朋友走同一段路程，通常是个子高的走得比较快，因为个高的小朋友步子比较大。”

爸爸笑着点点头：“没错，所以影响速度的第一个因素是‘步长。”

灯谜二：如果高个子和矮个子两个小朋友走同一段路程，个子矮的有没有可能先到达终点，为什么？

有了第一个问题垫底，第二个问题思考起来就简单多了。我的答案是：有可能，如果个子矮的小朋友在单位时间内走的步数比较多，也可说单位时间内脚落地的次数多，那么个子矮的小朋友可能会先到达终点。

爸爸竖起了大拇指，说道：“没错，这就是影响速度的第二个因素——‘步频。速度与步长和步频之间的关系就是：

速度=步长×步频。”

灯谜三：兔跑8步的时间狗跑5步，兔跑9步的距离等于狗跑4步的距离，兔和狗的速度比是多少？

看着题，我拿出纸笔写出计算思路，并列出表格：

相同时间内，兔跑8步，狗跑5步……可以理解成相同时间内，兔子脚落地次数为8，猎狗脚落地次数为5。所以可以得到兔子和狗的步频之比为8：5;

相同路程内，兔跑9步，狗跑4步……可以假设距离为36，那么兔子的一步也就是步长为：36÷9=4，猎狗的步长为：36÷4=9。所以兔子和狗的步长之比为4：9，所以可以得到速度之比为（8×4）：（5×9）=32：45。

“这是猎狗追兔问题，老爸，你的小心思可都让我猜中了。”我转头对老爸说。

老爸也哈哈大笑起来，说：“没错，这就是猎狗追兔的解题关键——将行程单位统一。看来你早有研究，学得不错嘛！”

“过情人节喽，过情人节喽。”8岁的小弟何疏文不知道怎么忽然兴奋起来，蹦蹦跳跳地满屋子疯跑。

我忍不住调侃道：“情人节是大人们过的节日，你个小屁孩兴奋个什么劲？”

小弟一听，立刻撇起嘴大哭起来，又是打滚又是狼嚎……把老妈给招了来。“何疏雨！你是不是又欺负弟弟了？”老妈一边呵斥我，一边安慰起弟弟来。

“天地良心。”我急忙大呼冤枉。正要辩解，却听见老爸在门口喊道：“快点，她三姑等咱们呢。”

“赶紧把你弟弟哄好，要不然我饶不了你。”老妈老爸急着要去接来串门的姑姑，匆匆丢下句话就出了门。

老爸老妈一出门，弟弟立刻停止了哭声，跟我谈起条件来。“姐姐要是帮我解道数学题，我就不闹了。”

“嘿！臭小子敢威胁我。”我刚要伸手，就看弟弟立刻眼泪汪汪，马上就要流下来。

“好了，好了，我输了。”我无奈地说，“什么数学题，说吧！”

猎狗前面26步远有一只野兔，猎狗追之。野兔跑8步的时间狗跑5步，野兔跑9步的距离等于狗跑4步的距离。问：野兔跑多少步后被猎狗抓获？此时猎狗跑了多少步？

猎狗追兔？这题对8岁的弟弟来说确实有些难。就算是我也要细细思索一番呢。我细细分析起来：

“猎狗前面26步……”显然指的是猎狗的26步。

“兔跑8步的时间……”和“兔跑9步的距离……”，那么第一件事就是要做统一单位，8与9的最小公倍数是72，所以可以统一在“兔跑72步”这个情况下考虑。

野兔跑72步的时间狗跑45步，野兔跑72步的距离等于猎狗跑32步距离，所以在野兔跑72步的时间里，猎狗比野兔多跑了45-32=13（步）的路程，这个13步是猎狗的13步。

由此代入公式，問题的答案就是：

要追上猎狗跑的26步，野兔需要跑：

72×（26÷13）=144（步）;

此时猎狗跑了5×（144÷8）=90（步）。

“我懂喽，谢谢姐姐！”我话音刚落，鬼小弟已经跑得没了影子。唉，这个让人头痛不已的小弟呀！

早上起来，我不经意间看了眼日历，咦？为什么2月份只有29天呢？其他月份不是30天，唯独二月天数最少，不是28天，就是29天？

我带着疑问找到姐姐。姐姐眼珠骨碌碌地转了半天，说：“这个问题嘛，我原是知道的。”“那还不快快告诉我。”我焦急地问道。

“但我偏要卖个关子。”姐姐说，“明天就要开学了，我有道数学题怎么也解不出来，你要是能帮我解出来，我就告诉你。”

我这个姐姐呀，真是叫人又恨又爱。形势所迫，我只好无奈地说：“什么题，让我先看看。”

姐姐立刻兴奋起来，就是这一道：

猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同;猫跑7步的路程与兔跑5步的路程相同;而猫跑3步的时间与狗跑5步的时间相同;猫跑5步的时间与兔跑7步的时间相同，猫、狗、兔沿着周长为300米的圆形跑道，同时同向同地出发。问当它们出发后第一次相遇时各跑了多少路程？

“这不就是‘猎狗追兔问题嘛！”我心里暗想，“只不过又加入了猫……要先捋清题中已知条件！”我嘴上念叨着，找来纸笔，写道：

相同路程内，猫跑5步等于狗跑3步……假设距离为15的话，猫的步长为：15÷5=3，狗的步长为：15÷3=5。所以，猫和狗的步长比为3：5。

相同时间内，猫跑3步，狗跑5步……也就是猫脚落地次数为3，猎狗脚落地次数为5。所以可以得到猫和狗的步频之比为3：5。

所以，猫和狗的速度比为（3×3）：（5×5）=9：25。

同理，猫与兔的速度之比为：25：49。

设单位时间内猫跑1米，则狗跑       米，兔跑        米。

狗追上猫一圈需                                           单位时间;

兔追上猫一圈需                                        单位时间;

猫、狗、兔再次相遇的时间，应既是        的整数倍，又是          的整数倍;

与          的最小公倍数等于两个分数中分子的最小公倍数除以分母的最大公约数，即

[          ，           ]=                   =              =8437.5。

也就是经过8437.5个单位时间，猫、狗、兔第一次相遇。

所以，猫跑了8437.5米;狗跑了8437.5×

=23437.5米;兔跑了8437.5×          =

16537.5米。

姐姐看了我的解题方法频频点头，说：“不愧是数学小天才呢！看你这么聪明的份上，就给你讲讲2月份少一两天的原因吧！”

为什么2月份只有29天？

我们现在使用的公历，是古罗马帝国时期完善成形的。地球绕太阳运行1周的时间是365.2422天，为1年，1年分12个月。

罗马大帝恺撒规定：每年12个月，一、三、五、七、十、十二为大月，每月31天;其他月份定为小月，每月30天，这样，大小各六个月，很容易让人记住。但照这样规定，一年就不是365天，而是366天了，因此得找出一个月扣去一天。那个时候被判处死刑的犯人都在2月份處死，人们都希望2月能快点过去。于是，就把2月扣去了一天，这样，2月就只剩下29天了。

再后来，一个叫奥古斯特的人做了罗马皇帝。奥古斯特是八月份生的，八月却是小月，他就荒唐地把八月也定为大月，改为31天。而八月多出的这一天仍然从二月份扣除，这样，二月只剩下28天了，只是每过4年，也就是闰年，二月才是29天，这就是二月份天数少的来历。