高中数学微专题教学设计与反思

周文欣

【摘要】以探究直线的非标准参数方程中的几何意义的微专题设计为例，坚持以学生为主的原则，设计出符合学情，能提高学生思考与归纳能力的微专题.设计微专题遵守循序渐进的原则，从原始题目得到启发，对题目进行变式，层层递进，让学生参与探究过程，学会归纳方法，总结技巧，并能解决这一类型的问题.学生能从中体会数学思想，感受数学乐趣.教师也能在设计微专题的过程中，换位思考，设计出更加贴近学生情况的题目，整个设计过程能促进教师专业提升。

【关键词】微专题设计;直线非标准的参数方程;几何意义

学生拿了一道关于直线的参数方程的题目以及参考答案过来，问道：“老师，为什么算线段|AB|的长时， |t1t2|这里要乘以 5？”这个是非标准形式的参数方程，但是这个倾斜角并不是特殊角，所以不知道这条直线倾斜角的正弦值和余弦值，从而无法写出直线的标准方程，这样子 就没有书本上说的几何意义，那到底怎么做呢？答案上为什么最后还要乘以 呢？

具体的问题和解答如下：

问题：已知直线参数方程为，它与曲线交于A ，B 两点，求|AB|的长。

解：把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得

设A ，B 对应的 t1、 t2，则 ，

所以，线段|AB|的长为

因为这一道题以及学生出现的情况，我设计了一个关于探究直线的参数方程中t 几何意义的微专题。

一、微专题的教学设计

直线的参数方程主要解决线段的长度以及线段与线段之间的问题，利用直线的参数方程中参数t的几何意义，能够大大地减少计算量。同时，这也要结合转化思想和数学结合的思想，下面是探究直线非标准形式下参数方程 的几何意义的微专题过程。

问题1：已知直线参数方程为

它与曲线交于 A， B两点，求 |AB|的长。

分析：我们发现，根据直线参数方程的标准式下|t|的几何意义，利用公式和韦达定理可以解得|AB|的长度。

解：把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得

设 A、B 对应的 t1、t2 ，则，

所以，线段 的长为

问题2：已知直线参数方程为（t为参数），它与曲线交于 A， B两点，求|AB|的长。

分析：我们可以发现，所以这不是标准形式。如果我们知道直线的一个点和倾斜角，我们可以写出直线参数方程的标准形式。消参后得到直线的普通方程为，得到线上一点坐标（-1，2），倾斜角为，从而写出標准的参数方程 。接下来的解答同问题1一样。

问题3：已知直线参数方程为，它与曲线交于A ， B两点，求|AB|的长。

分析：经过判断，发现，不是标准的参数方程。但是消参之后，直线的普通方程为，倾斜角并不是特殊角，难以根据这种方法写出标准方程。

因为只有在直线参数方程为标准方程的情况下，|t|的几何意义才成立（|t|的几何意义：平面内过定点、倾斜角为的直线 的参数方程的标准形式为（直线的参数方程的标准形式可以写成，此处 ）。我们假设直线上两点 A、B 所对应的参数分别为tA和tB，则： A、 B两点到的距离分别为|tA|，|tB|）。那么，如果直线的参数方程不一定是标准形式时，那线上的动点到定点距离与 有什么关系呢？

直线的参数方程为 ， 。换句话说不一定等于 1。设直线上的一点坐标为，根据两点的距离公式可得

进而我们可以得到以下结论：直线的参数方程为，如果我们假设直线 上两点 A、B 所对应的参数分别为tA ，tB则：

所以，在这题的解答中，即使我们因为无法知道倾斜角导致写不出直线参数方程的标准形式，但是我们经过推导可以知道，给出任一个直线的参数方程，我们都可以根据上述公式就算出|AB|。

思考与练习：已知在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，直线参数方程为。设直线与曲线C相交于A ，B 两点，求的值。

归纳与反思  （1）直线的任一参数方程中参数t的意义是：直线l的参数方程写成 ， R，bR。我们假设直线l上点A所对应的参数为tA，则： A点到点的距离分别为。

（2）计算弦长问题时，可能要用到韦达定理，计算会更方便。

二、关于设计微专题的小结与反思

“微专题”是解决学生易错易漏点的一个非常好的工具，能帮助学生弥补盲点，强化重点，突破难点，特别适合高三复习使用.直线非标准形式下的参数方程中参数 的几何意义非常适合利用“微专题”这个工具来呈现探究过程.在设计“微专题”的过程中，要清楚知道学情，了解学生在哪一方面出现疑惑不能解决.要紧紧抓住这个“疑惑”来设计问题，层层递进，深入挖掘，突破这个“疑惑”，使学生醍醐灌顶，印象深刻.与此同时注意激发学生的兴趣，创造空间给学生思考，引起学生解题的欲望，体验数学的乐趣，得到解题给自己带来的喜悦感.要注意学生现在的知识结构，思维水平，通过设计的题目帮助学生构建数学网络知识结构，每完成一道题目鼓励学生自行总结规律，归纳方法，学会技巧，体会数学思想，从质量上得到提高.最后通过巩固练习。比如，说在这个设计的最后及时给学生练习，更好掌握学生学习的情况，进而对下节课的内容进行调整.同时在设计练习中的题目也要进行深化，简单的变式，让学生学会灵活处理，真正掌握该专题的本质。

对老师而言，“微专题”不仅促进教师专业成长，还可以更好了解学生对知识掌握的情况.对学生而言，“微专题”能提高他们的解题能力，有助思维发展，感受数学的魅力，增加对数学的兴趣.

参考文献：

[1]刘炜.见微知著慎思明辨——高三“函数最值”的微专题探究[J].上海中学数学，2018（09）.

[2]朱建民，陈雷.关联同类微专题，铺垫设问助突破——以中考微专题复习为例[J].中学数学，2018（04）.

[3]范习昱.“微专题”框架下高三数学二轮复习如何用好课本例习题[J].中学数学月刊，2018（09）.

[4]钱卫华.见微知著方法清 以小见大本质明——以“抛物线中三角形面积的最大值”为例谈微专题教学[J].中国数学教育，2018（21）.