初中几何证明分析方法简析

马维俊

【摘要】几何证明是初中几何学习过程中的一个难点，从七年级的证明两直线平行到九年级的证明直线与圆相切，是一个不断演进和深化的过程。在初中学段，从知识结构和推理方法上，几何证明形成一个有机的学习锁链，最终在学生的知识体系里建立起完整的几何推理机制。因此，在幾何教学中老师对几何证明的分析方法的指导显得尤为重要。

【关键词】初中几何  几何证明  分析方法

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2020）02-0172-02

在初中阶段，几何证明是以几何公理和定理为基础，找出“已知”和“求证”之间的联系，进行演绎推理的过程。其中，如何找出“已知”和“求证”之间的联系是几何证明的关键所在。现将一般常用的几何证明分析方法总结如下：

一、审题——明确已知和求证

几何证明的第一步是审题。审什么和怎么审是这一步的两个重要方面。一是审什么。一道几何证明题，在证明之前我们要明确题目给了哪些已知条件，要让证明什么结论，也就是说我们要明确已知和求证。二是怎么审。初中几何证明题，常见形式有两类：一类是文字命题的证明，这类题目，通常用一句严谨简练的强逻辑文字给出，已知和求证相对较为隐匿，所以要确定已知和求证就需要从命题的结构出发，分析题设和结论，从而实现已知和求证分离的目的。例如，“求证平分弦（不是直径）的直径垂直于弦且平分弦所对的两条弧”。这道题目中的已知和求证是不明显的，从命题的结构出发，分解成题设和结论的形式，“如果一条直径平分了一条弦（这条弦不能是直径），那么这条直径垂直于这条弦并且平分这条弦所对的两条弧”，则容易发现：已知里有两个条件，一个基本条件“一条直径平分一条弦”，一个限定条件“这个弦不能是直径”;求证的结论有两个“这条直径垂直于这条弦”，“这条直径平分这条弦所对的两条弧”。另一类是具体条件下具体结论的证明，这也是几何证明题最常见的证明类型。这类证明题，与文字命题的证明有显著的不同，一般情况下都会明确给出已知和求证，同时已知和求证用数学符号语言给出。这类证明题在审题时区分已知和求证的难度相对低一点，如果已知条件给得较多，就要分析已知条件的特点和已知条件之间的关系。

二、读图——显化已知和求证

明确了题目中的已知和求证后，就要读图。读图时要结合已知和求证，这是读图的前提。根据已知和图形的联系程度，几何证明题常见的情形有两种，第一种情形是题目中的已知和求证已经明确的表达了完整的题意，对图形的依赖程度不强。例如，四边形ABCD中对角线AC⊥BD，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH是矩形。这道证明题中的已知和求证所表达的题意很完整，可以不借助图形就能直接进行证明，但是对于直观想象能力较弱的同学，作图读图同样显得非常重要，借助图形，证明过程更加轻松高效。第二种情形是已知中只给出了部分条件，其他条件通过图形呈现出来，已知和图形结合起来才能得到完整题意，所以读图是一个必要的环节。例如，如图1，∠EAC=2∠B，且AD平分∠EAC，请说明AD与BC的关系，并说明理由。这是一道极其简单的证明题，但是如果没有给出图形，就无从证明，只有将已知与图形结合，才能明确题意，完成证明。由此可见，读图是几何证明题证明过程中一个非常重要的环节，读图的过程是思路再整理的过程，读图使得已知和求证更加明显，更加容易理解，为分析已知和求证之间的联系做足准备。

三、分析——连接已知和求证

如何通过已知推出所求证的结论，关键是已知和求证之间建立连接，形成合理的逻辑关系，这个过程就是分析的过程。通常分析几何证明题，有两种方式。一是从“已知”出发，分析出求证的结论。这种分析方法是最常见的分析方法，根据已知的特点，分析这些已知能带来哪些结论，这些结论之间有怎样的联系，如何利用这些联系推出最终所求证的结论。另一种是从“求证”出发逆向推导，回到已知。这种逆向推导的基本思路是“知结论寻条件”，经过若干步的逆推，回到已知，从而把求证和已知连接起来。这种分析方法在部分题中会有特别好的效果，使得分析过程更加顺畅。例如，已知如图2，E是四边形ABCD的对角线BD上的一点，且AB：AE=AC：AD，∠1=∠2，求证：∠ABC=∠AED.这道题从求证出发分析，若要证得∠ABC=∠AED，则需证明△ABC∽△SED，若要证明△ABC∽△SED，则需满足三角形相似的条件，显然题目中已经有“两条对应边的比相等”的条件，只需夹角相等即可，又已知∠1=∠2，则可得到∠BAC=∠EAD，逆推到这里，所有条件已具备，于是从∠1=∠2这个条件顺推下去，这个题的证明思路便一目了然。

在分析已知和求证关系的过程中，几何图形同样起着重要的作用，不可忽视。有些题目中已知条件比较多，或者推导的中间过程较多，这个时候几何图形起着部分思维缓存的作用，使得推导过程在几何图形这个中继站的辅助下可以有序的进行;有些题目中，如要建立已知和求证之间的联系，必须要借助图形，通过在图形上作辅助线，增加已知条件的数量，使得已知条件更加充足，进而与求证产生联系。例如证明相交弦定理，如图3，若圆内任意弦AB、弦CD相交于点P，求证：PA·PB=PC·PD。证明这个定理，需要证明两个三角形相似，而原题目中没有三角形，需要连接AD、BC，得到△PAD和△PCB，根据圆周角定理得到∠A=∠C，∠D=∠B，于是有△PAD∽△PCB，从而证得PA·PB=PC·PD。这个分析过程中，辅助线一旦做出来，证明思路就十分清晰了。

四、书写——呈现思维成果

在分析的过程中，已知和求证之间形成了一条纽带，顺着这条纽带用几何符号语言把推理过程写出来，便是几何证明。如何完美书写自己的思维过程，是个难点。书写证明过程之前需要明确以下几点：（一）明确几何证明过程中的基本逻辑关系“因为……所以……”;（二）明确每个小结论得出的条件。有些小结论只需要一个条件就可以得出，有些小结论需要两个或以上条件才能得出，有些小结论的得出以之前的一个小结论为条件，这些逻辑关系的书写过程各有不同，需要明确掌握;（三）明确每个小结论之间的顺序关系。有些小结论要作为后面结论的条件，那么这些小结论之间就存在逻辑关系，顺序就不能乱;有些小结论之间没有明确的先后关系，那么这些小结论可以任意顺序书写;（四）明确各小问之间的关系。有些证明题有两问或者三问，首先明确各小问的已知条件之间的关系，如果是总题中的已知条件，则可公用，若是某个小问下的已知条件，则只在本小问中可用。其次明确前面小问与后面小问之间的关系，是否存在前一问为后一问做准备的情形;（五）将证明过程分块进行。有些较复杂的证明过程，根据逻辑上的先后顺序分成若干部分分别进行，这样有利于化整为零，弱化证明的复杂性。明确了这几点，那么书写出一个完美的证明过程便是件容易的事情了。

初中几何证明题，尽管每一个题目有每一个题目的特征和具体证法，但是证明流程上不外乎以上分析的四个过程，即审题、读图、分析、书写的过程。这里特别强调的是，具体证明一道题目时，这四个过程不能刻板的分离开来，根据题目的难易程度，题目越简单，四个过程越不明显，题目越难，四个过程越需要分别进行。

初中几何证明题的证明过程，从知识的掌握到技能的应用，从分析能力的提升到数学思维的锤炼，从严谨的书写表达到优秀的数学素养的展现，综合反映学生的数学能力，而老师对几何证明题的分析方法的有效指导，可使学生的学习过程更加高效快捷。

参考文献：

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[3]钱进.浅谈添加辅助线的方法[J].中学数学.2008（10）