巧转化 助解题

蔡丽莉

在学习“幂的运算”这一章内容的过程中，有些同学会遇到这样的问题，就是记得运算公式，却总做不对题目。导致这种情况出现的原因，主要有以下两点：一是对幂的定义的内涵理解不够，把计算方法（公式）弄混淆;二是解题思路不明确，拿到题目后，无从下手，只能凭感觉做题。还有一些同学，牢记幂的运算特征，对于基本运算方法和公式的直接运用，比如同底数幂相加减，同底数幂的乘除、乘方等问题，能够解决，但遇到不符合上述运算特征的问题时，却很困惑，束手无策。这些问题是同学们在学习“幂的运算”的过程中遇到的最常见的困难，解决的方法就是“转化”。转化两个幂的底数或指数，使两个幂符合相应的运算条件。下面，我们就一起来探讨“幂的运算”中常见的转化方法。

一、化为底数相同

如果两个幂的底数不同，在运算中，我们可以把这两个幂化成同一个底数的幂的形式。我们可以用幂的乘方公式（a^m）ⁿ=a^mn，把不同底数的幂化作同底数幂。

例1 计算：9^a+1×27^2a。

【解析】算式中的两个幂的底数不同，不满足幂的乘法公式的条件，故需要转化。我们观察底数9和27，它们分别是3的2次幂和3次幂，这说明这两个幂可以把底数都化成3。

二、化为指数相同

1.当两个幂的指数相近时，我们可以反用积的乘方公式a^m+n=a^m·aⁿ，把含较大指数的幂写成两个幂的积，并使其中一个幂的指数和指数最小的幂的指数相同。

例2 计算：10³⁸-10³⁶。

【解析】因为幂的减法运算要求参与运算的幂的指数和底数皆相同，而算式中两个幂的底数已经相同了，所以只需要把它们的指数化成相等的即可。我们注意到，指数38和36很接近，可以把它们都化成含有指数36的指数。

2.当两个幂的指数不相近时，我们可以反用幂的乘方公式a^mn=（a^m）ⁿ，把这两个幂的指数化成它们的最大公约数。

例3 计算：6³⁶÷3²⁴。

【解析】算式中的两个幂不符合幂的乘除运算的特征，故需要转化。注意到它们的底数不具备化成同底数幂的条件，指数又不相近，我们可以考虑把指数化成这两个幂的指数的最大公约数。

3.求有关幂的等式中的未知数。

两个相等的幂的底数相等时，它们的指数也相等，如已知a²=a^x，则x=2;两个相等的幂的指数相等时，它们的底数不一定相等，如已知3^a=x^a，则要对a进行讨论;两个相等的幂的底数和指数都不相同时，无法直接将有关幂的方程转化为整式方程去求未知数的值，此时需要转化两个幂的底数或指数，使它们相同。当等式两边有多个幂时，需要依据运算符号进行运算，将等式先转化成只含有两个幂的等式后，再進行求解。

【解析】因为等式两边共有三个幂，且字母m在指数上，故需要先计算出等号左边的积，使等号两边各保留一个幂，然后再化底数相等，最后用指数相等列等式。

同学们要注意，学习“幂的运算”这一章时，牢记公式是解题的基础，熟练掌握转化底数和指数的方法是解题的关键。分析题目中幂的运算所需要的条件，可以明确解题思路;观察幂的底数和指数的特点，可以明确解题的具体过程，从而提高解题的正确率。

（作者单位：江苏省常州市金坛区华罗庚实验学校）