Fatou引理以及Lebesgue控制收敛定理推广及其应用

摘 要：本文给出条件fnf下Fatou引理以及Lebesgue控制收敛定理，并且用该推广证明原版Fatou引理和Lebesgue控制收敛定理不太容易证明的一些问题。

关键词：Fatou引理;Lebesgue控制收敛定理;依测度收敛;几乎处处收敛

可测函数积分理论是实变函数的核心部分，一般此类问题最常见的方法是利用Fatou引理和Lebesgue控制收敛定理进行讨论。此种方法一般针对的是fn→f，a.e这类情况，对于fnf这种情况虽然也可解决，但是过程比较复杂，本文主要给出fnf情况下相对应的定理，从而简化证明过程。

一、fn→f，a.e与fnf的异同

实变函数课程中常见收敛有5种，fn→f，a.e与fnf是其中最重要与最常见两种，这两种收敛既有区别又有联系。

例1 取E=0，1，n=2k+i，0SymbolcB@

iSymbolcB@

2k，k∈N定义：

fn（x）=f2k+i（x）=1，x∈i-12n，i2n

0，xi-12n，i2n

该函数列显然有fn0但fn→0，a.e不成立。

例2 取E=0，+SymboleB@

，作函数列：

fn（x）=1，x∈（0，n]

0，x∈（n，+SymboleB@

）

显然该函数列有fn（x）→1，a.e但是fn0不成立。

以上两个例子说明一般情况下两种收敛应该是没有关系，但以下定理又说明了mE<+SymboleB@

情况下、fn→f，a.e可以推导出fnf。

定理1[1]设：

mE<+SymboleB@

;

fn是E上a.e有限可测函数列;

fn在E上a.e收敛于a.e有限的函数f，则：

fnf

定理表明fnf很多情況下是比fn→f，a.e更弱的条件。

二、推广Fatou引理和Lebesgue控制收敛定理

定理2（Fatou引理）[2]若fn是E上a.e有限可测函数列，则：

Elimn→SymboleB@

fndxSymbolcB@

limn→SymboleB@

Efndx

定理3（Lebesgue控制收敛定理）[2]设fn∈LE，且有：

limn→SymboleB@

fn（x）=f（x），a.e. x∈E

若存在E上的可积函数F（x），使得：

fn（x）SymbolcB@

F（x），a.e. x∈E（n=1，2，3，...），

则：

limn→SymboleB@

Efn（x）dx=Ef（x）dx

以上两个定理是实变函数积分论中最重要的基本定理，不过在讨论fnf情况时并不方便，以下结合Riesz定理得出fnf相对应的定理。

定理4（Riesz定理）[2]fn在E上依测度收敛于f（x），则存在子列fni，使得：

limi→SymboleB@

fni（x）=f（x），a.e. x∈E

定理5 fn和f均为E上a.e.有限非负可测函数，且有fnf则：

Ef（x）dxSymbolcB@

limn→SymboleB@

Efn（x）dx

证明：令gn（x）=infknfk，则0

gn+1（x）。

由于fnf，则由定理4可知，存在子列fni使得：

limi→SymboleB@

fni（x）=f（x），a.e. x∈E

相应的gnj（x）=infijfni，存在gni（x）SymbolcB@

gn（x）SymbolcB@

fn（x）。

所以：

Ef（x）dxSymbolcB@

Elimi→SymboleB@

fni（x）dx=limn→SymboleB@

Egnj（x）dxSymbolcB@

limj→SymboleB@

Egn（x）dx

=limn→SymboleB@

Efn（x）dx

得证。

此定理可以看成是Fatou引理的推广，以下再用该定理证明出依测度型Lebesgue控制收敛定理。一般实变函数教材上虽然有该定理的证明，但是比起以下证明显得过于繁琐。

定理6（依测度型Lebesgue控制收敛定理）[2]设fn∈L（E），且有：

fn（x）f（x），x∈E

若存在E上的可积函数F（x），使得fn（x）SymbolcB@

F（x），a.e. x∈E（n=1，2，3，...），则：

limn→SymboleB@

Efn（x）dx=Ef（x）dx

证明：已知fn（x）f（x），x∈E从而易得fn（x）-f（x）0

由定理5可得：

0SymbolcB@

limn→SymboleB@

Efn（x）-f（x）dx

同样易得：

2F（x）-fn（x）-f（x）2F（x）

并且2F（x）-fn（x）-f（x）为非负可测函数列。

再次运用定理5可得：

E2F（x）dxSymbolcB@

E2F（x）dx+limn→SymboleB@

E-fn（x）-f（x）dx

=E2F（x）dx-limn→SymboleB@

Efn（x）-f（x）dx

整理可得：

limn→SymboleB@

Efn（x）-f（x）dxSymbolcB@

0

從而：

limn→SymboleB@

Efn（x）-f（x）dx=0

而：

E（fn（x）-f（x））dxSymbolcB@

Efn（x）-f（x）dx

从而：

limn→SymboleB@

Efn（x）dx=Ef（x）dx成立。

该定理证明方法明显比教材证法简单。

三、推广Fatou引理应用

例 已知f，fn均为E上非负L可积函数并且有：

fnf，limn→SymboleB@

Efn（x）dx=Ef（x）dx

求证：limn→SymboleB@

Efn（x）-f（x）dx=0

证明：由已知fn（x）f（x），x∈E显然有fn（x）-f（x）0

由定理5可得：

0SymbolcB@

limn→SymboleB@

Efn（x）-f（x）dx

取：

gn（x）=fn（x）+f（x）-fn（x）-f（x）

此时有gn（x）2f（x）。

再次由定理5可得：

E2f（x）dxSymbolcB@

limn→SymboleB@

Egn（x）dx

=limn→0Efn（x）dx+Ef（x）dx-limn→SymboleB@

nfn（x）-f（x）dx

由已知limn→SymboleB@

Efn（x）dx=Ef（x）dx，整理可得：

limn→SymboleB@

nfn（x）-f（x）dxSymbolcB@

0

从而：

limn→SymboleB@

Efn（x）-f（x）dx=0得证。

参考文献：

[1]程其襄，张奠宙，魏国强，胡善文，王漱石.实变函数与泛函分析基础[M].北京：高等教育出版社，2009：92（第3版）.

[2]周明强.实变函数论[M].北京：高等教育出版社，2016：139，154，118，157（第3版）.

作者简介：胡鹏（1983-），男，汉族，四川西昌人，硕士研究生，西昌学院讲师，研究方向：泛函分析。