“幂的运算”中的数学思想

文吴亚平

数学思想方法是数学的精髓，是将数学知识转化为数学素养的桥梁。在幂的运算中，同学们如果掌握了幂的运算法则及性质，再理解了数学思想方法，解题时思维会更加灵活，解题过程也会更加简洁优化。

一、转化思想

转化思想是数学常用的思想方法之一，就解题的本质而言，是把陌生的问题转化为熟悉的问题，把复杂的问题转化为简单的问题的一种思想方法。对于幂的大小的比较，转化思想的应用尤其明显。

例1 比较355、444、533的大小。

【解析】这三个数的底数不同，指数都是11的整数倍，故可先逆用幂的乘方的运算性质，将这三个数转化成指数相同的幂，然后再通过比较底数的大小来比较幂的大小。

解：∵355=（35）11=24311，444=（44）11=25611，533=（53）11=12511，

又∵125＜243＜256，

∴12511＜24311＜25611，

即 533＜355＜444。

例2 已知 a=166，b=89，c=413，试比较a、b、c的大小。

【解析】这三个数的指数不同，底数16、8、4都可以转化成2的乘方的形式，故可将这三个数分别化成以2为底的幂，然后再通过比较指数的大小来比较幂的大小。

解：∵a=166=（24）6=224，b=89=（23）9=227，c=413=（22）13=226，

又∵24＜26＜27，

所以224＜226＜227，即a＜c＜b。

二、分类讨论

每个数学结论都有其成立的条件，每种数学方法的使用也往往有其适用范围，因此就需要我们把所求问题分成若干类，然后转化为若干个小问题来解决，这就是分类讨论思想。在幂的运算中，当我们遇到有关幂为1的问题时，就要利用分类讨论思想，对每种情况逐一进行考虑。

例3 若（2x-1）2x+2=1，求x的值。

【解析】因为1的任何次幂是1，-1的偶数次幂是1，任何非0数的0次幂也是1，因此我们要分三种情况进行考虑。

解：（1）当 2x-1=1时，解得 x=1，此时（2x-1）2x+2=14=1；

（2）当2x-1=-1时，解得x=0，此时（2x-1）2x+2=（-1）2=1；

（3）当 2x+2=0时，解得x=-1，此时（2x-1）2x+2=（-3）0=1。

综上，x=-1或x=0或x=1。

三、逆向变换

逆向变换思想在“幂的运算”这章内容中的体现，是将一些计算公式逆向运用。逆用幂的乘方运算、同底数幂的乘法的运算性质，对所求式子进行变形，往往能拓展解题思路，从而使运算简便。

例4 计算（-0.25）2019×42020。

【解析】我们观察这两个幂的底数，-0.25与4是互为负倒数关系，两者之积为-1，于是可联想到积的乘方运算性质的逆用。但两个幂的指数又不一样，因此我们可逆用同底数幂的乘法运算性质，得42020=42019×4。这样问题就被巧妙解决了。

解：（-0.25）2019×42020

四、整体思想

整体思想就是通过研究问题的整体形式、结构、特征，对问题进行细心观察和深入分析，找出整体与局部的联系，从整体上把握问题，进而解决问题的一种思想方法。

例5 若x+3y-4=0，求3x·27y的值。

【解析】要求3x·27y的值，只需知道字母x和y的值。但一个方程x+3y-4=0有两个未知数，显然这样的x和y无法确定。我们可抓住所求式子进行考虑，先化为同底，再利用整体思想来解决。

解：∵3x·27y=3x·（33）y=3x·33y=3x+3y，

由x+3y-4=0，

得x+3y=4。

∴3x·27y=34=81。

总之，在解题中渗透数学思想方法后，可在不同程度上降低题目的难度，原先无从下手的题目也都迎刃而解了。“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化。提高数学素养的核心就是提高对数学思想方法的认识和运用的能力，数学素养的综合体现就是“能力”。