逆用幂的运算性质，巧比幂的大小

文戴晓燕

在幂的大小比较问题中，很多时候被比较的幂的指数、底数并不相同，我们也不便求出被比较的数值的大小。这时，我们就要理解并逆用幂的运算性质，巧比幂的大小。

一、巧用同指数比较法

例1 比较大小：3500、4400、5300。

【解析】我们不便求出3500、4400、5300的具体数值，但发现500、400、300的最大公因数是100，因此我们可以逆用幂的乘方性质amn=（am）n，把上述三个数化成相同指数后，比较底数大小即可。

解：∵3500=（35）100=243100，4400=（44）100=256100，5300=（53）100=125100，

又∵125＜243＜256，

∴125100＜243100＜256100，

∴5300＜3500＜4400。

【总结】这三个数的底数不同，指数都是100的整数倍，所以在解题过程中，同学们可以先逆用幂的乘方的运算性质，将这三个数化成相同指数的幂，然后比较底数的大小。

二、巧用同底数比较法

例2 比较大小8131、2741、961。

【解析】我们不便求出8131、2741、961的具体数值，但发现8131、2741、961都可以写成底数同为3的幂的形式。同样逆用幂的乘方运算的性质，把上述三个数化成同底数后，比较指数大小即可。

解：∵ 8131=（34）31=3124，2741=（33）41=3123，961=（32）61=3122，

又∵3124＞3123＞3122，

∴8131＞2741＞961。

【总结】这三个数的指数不同，底数都可以化为3的乘方的形式，所以在解题过程中，同学们可以先将这三个数分别化为以3为底的幂，然后比较指数的大小。

三、巧用放缩比较法

例3 比较大小：1516、3313。

【解析】要算出1516、3313的值，显然很繁琐，而且这两个数不能化成同底数幂和同指数幂，这时我们可以巧用放缩的方法。

解：∵1516＜1616，3213＜3313，

又∵1616=（24）16=264，3213=（25）13=265，

∴1616＜3213，

∴利用不等式的传递性，得1516＜3313。

【总结】运用放缩法比较大小时要注意放缩的幅度，选择的数应尽可能与原数的大小接近，不能相差过大。放缩法的应用对同学们的观察能力要求很高，准确找到接近的数很关键，这里也初步体现了数学上的逼近思想。