一类具有免疫时滞的传染病模型的稳定性

田海燕，郭建敏

传染病一直都是让人们心生畏惧的一种疾病，尤其是某些传染病，其传播速度相当惊人，比如艾滋病.艾滋病的潜伏周期平均长达10 年，在潜伏期内，可能没有任何临床症状，但是这期间感染者可能通过一些方式把病毒传染给其他人，鉴于这种严峻的形势，一些专家学者开始研究究竟如何预防和控制艾滋病的发展？在数学方面，专家学者主要通过建立数学模型来研究其传播机制、发病原因等，进而尽可能得到一些相应的预防和治疗措施、策略［1-2］.在传染病研究中，最早在1996年［3］，就有学者通过建立传染病模型来处理问题，但最初的模型中并没有考虑免疫系统的作用，所以后来越来越多的学者在建立模型时考虑了这一因素，加进了免疫反应的模型更能反映艾滋病感染的内在规律，比如文献［4］中就建立了一类带免疫反应的传染病模型.然而从生物学的角度来看，时滞在生物作用中是普遍存在的，病毒感染亦是如此，例如健康细胞与病毒接触到其变成感染细胞需要一定的时间，又比如从健康细胞被感染到被感染细胞产生并释放出新病毒需要一定的时间等等，所以越来越多的学者在传染病模型的建立中引入了各种时滞，本文就是在文献［4］的基础上考虑了从健康细胞被感染到新病毒产生并释放所需的时间，建立如（1）式的模型.

其中：z(t)表示细胞毒性T淋巴细胞的浓度，k是其死亡率，p是细胞毒性T淋巴细胞对已经感染的细胞的清除率.这里假设细胞毒性T 淋巴细胞的量既与其自身已存在的量有关，又与已感染细胞的量有关，其中τ指的是从健康细胞被感染到被感染细胞产生并释放出新病毒所需的时间，所有系数均为正数.

1 主要结果

1.1 模型解的非负性和有界性

设X=C([-τ,0];R4)，易知系统（1）在初始条件下存在唯一解(x(t),y(t),v(t),z(t))，初始条件如（2）式，

从生物学角度出发，假设初始函数x(θ),y(θ),v(θ),z(θ)均非负，即

则可以得到下列结论.

定理1 在上述初始条件下，系统（1）的所有解都是非负的，并且一致有界，即存在M＞0，有x(t)＜M,y(t)＜M,z(t)＜M,v(t)＜M成立.

证 明 令t1=sup{t≥0:x(θ)＞0,y(θ)＞0,v(θ)＞0,z(θ)＞0,θ∈[0,t]} ，则 有t1＞0.当0 ≤t≤t1时，由系统（1）的第一个方程，可得，得两边同乘

即

对其两边同时从0到t1积分，可得

即

同理可得

若t1∈[0,τ] ，则显然有x(t1)＞0 ，y(t1)＞0 ，z(t1)≥0 成立.

下面证明v(t1)＞0.

事实上，由于0 ≤t≤t1，所以当t1∈[0,τ]时，t-τ∈[-τ,0]，于是在初始条件（2）和（3）下，有y(t-τ)≥0 ， 从 而 可 得v(t1)=

下证有界性.

因此，对任意的t＞0，有为任意小的正常数）.于是，存在M＞0，使得x(t)＜M，y(t)＜M，v(t)＜M，z(t)＜M成立.

1.2 无病平衡点的稳定性分析

令系统（1）中各个式子的右端等于0，在生物学意义下，再令y=v=z=0，显然可以得到系统的一个无病平衡点，记为E0，容易解得这时健康细胞达到最高水平，没有病毒感染，这是一种理想状态.下面研究无病平衡点的稳定性.

首先应用基本再生矩阵的方法［5-6］计算系统（1）的基本再生数R0.这里引入两个新的矩阵F(ω)，G(ω)，令ω=(x,y,v,z)T，则系统（1）可以写为其中，在无病平衡点E0处的雅克比矩阵分别记为DF(E0),记DG(E0)-1是DG(E0) 的逆矩 阵 ， 则 易 求 得 DG(E0)-1=，从而由基本再生矩阵方法可得基本再生数R0为

其中：ρ(⋅)和σ(⋅)分别表示一个矩阵的谱半径和特征值的集合.

定理2 当R0＜1 时，系统（1）的无病平衡点全局渐近稳定的.

即

易得该方程的两个根为λ1= -a＜0,λ2=-k＜0，另外两个根λ3,λ4由方程

可得，该方程可化为

从而由根与系数的关系有

所以当R0＜1 时，有λ3λ4＞0，从而无病平衡点E0局部渐进稳定.

下证全局吸引.

构造Lyapunov泛函如下：

由系统（1）可得

2 结论

本文讨论了一类传染病动力学模型，创新之处在于考虑了从健康细胞被感染到被感染细胞产生并释放出新病毒所需的时间，并且在生物学意义下通过再生矩阵的方法计算出了基本再生数，得到模型解的非负性和有界性结果，并且通过构造Lyapunov 函数方法，运用Lyapunov-La-Salle原理，证明了无病平衡点的全局渐近稳定.