具有三角结构的不确定混沌系统的自适应神经网络投影同步

刘凤艳

混沌同步是非线性科学中的一个重要课题，在过去的20 年中得到了广泛的关注［1-3］.混沌同步可广泛用于物理学、工程科学、安全通信等领域［4-8］.投影同步作为一种同步方法，由于其具有比例特性，能够获得更快的通信速度，近年来得到了广泛的研究.投影同步是指主驱动系统和响应系统可以同步到比例因子上.文献［9］和文献［10］提出了一类具有非线性输入的混沌系统的同步控制系统，设计了一个具有死区和扇区非线性的蔡氏混沌系统在两个限制性假设下的自适应投影同步系统.然而，在许多实际情况下，某些系统的模型并不能被事先准确地知道，并且由于这些不确定因素的影响，同步会被破坏.因此，研究具有系统不确定性的无序系统的投影同步是至关重要的.幸运的是，自适应控制对于未知参数混沌系统是一种有效的同步方法.

本文研究了一类具有三角结构和系统不确定性的主从混沌系统的一种实用的投影同步方法.在控制器的构造中，不需要知道系统不确定项的先验知识.

1 预备知识

神经网络是一种多层网络，由于其强大的函数逼近能力，通常被用作非线性函数建模的工具，其表达形式如下：

其中：k=1,2,…,m，n,h和m分别是输入层、隐藏层和输出层中的神经元数目，则神经网络可以表示为

引理1 设f(x)是紧集上定义的连续函数，那么对于任何标量ε＞0，存在一个神经网络系统如（6）式，且满足

2 问题陈述

考虑如下形式的主混沌系统：

其中：x=[x1,x2,…,xn]T∈Rn为系统的状态向量，f(x)为非线性连续函数.

其中：

对应的从系统为

其中：u∈R是控制器，d(t)是外部干扰.

本文的目的是构建一种自适应神经网络控制器，使系统（1）和（2）能够实现投影同步.所谓函数投影同步，指的是

这里γ≠0 是一个常数.

3 主要成果

将同步误差定义为

通过同步误差的

其中：λ＞0，H(s)=λn-1+(n-1)λn-2s+…+sn-1是Hurwitz多项式，方程（9）可以写成（10）式的形式.

其中：Cλ=[λn-1,(n-1)λn-2, … ,(n-1)λ, 1]T.

这个动态量s可以写成如下形式：

其中：C=[0,λn-1,(n-1)λn-2, … ,(n-1)λ]T.

基于主混沌系统（4）和从系统混沌（6），方程（11）可改写为

其中：α(x,y)=f(x)-γf(y)-γd(t)是一个未知的非线性函数.因为α(x,y)是未知的，可以通过神经网络系统（2）对其进行逼近，定义

这里δ是一个近似误差.由引理1，存在常数ε＞0，使得 ||δ≤ε，通过化简可以得到

其中：l是一个正常数.

根据上述讨论，同步控制器可以写成如下形式：

其中：k＞0 是设计参数，τˆ未知模糊系统参数τ=‖ ‖θ2的估计.

参数适应律为

其中：m＞0 是一个常数.

定理1 对于主混沌系统（4）和从混沌系统（6），在（15）式定义的神经网络同步控制器和（16）式定义的参数适应律下，可以得到：

（I）闭环系统中的所有信号将保持有界；

（II）同步误差收敛到零的时间是有限的；

证明 由（12）式～（14）式可以得到

下面定义Lyapunov函数

将其对时间求导有

由（16）式、（18）式得到

进一步，我们有

然后，同步误差将收敛到原点的可调区域.根据（23）式得到

因此，如果选择足够大的k,m和足够小的l，能够使得同步误差趋于0.

4 仿真研究

考虑如下陀螺混沌系统：

选取a=10,b=1,c1=0.5,c2=0.05,ϖ=25,d=35.5，则系统（25）有混沌出现，如图1所示.

图1 陀螺系统的混沌

其他参数选择为λ=2,ki=1,i=1,2,则主系统、从系统和神经网络的初始条件分别为x(0)=[1.6,0]，y(0)=[-4.9,6.5]，W=0.系统的不确定项选择为4x2-3x32+7 sinx1.则仿真结果如图2和图3所示.图2绘制的是同步误差的收敛性曲线，图3绘制的是控制输入的时间响应曲线.从这些结果可以看出，同步误差收敛于原点.

图2 同步误差曲线

图3 控制输入曲线

5 结论

本文提出了一种自适应神经网络控制方法，用于求解一类三角结构混沌系统的投影同步问题，基于自适应神经网络控制器实现投影同步，为了保证闭环系统的稳定性和同步误差的收敛性，给出了基于Lyapunov 的分析，仿真结果证实了本文研究结果的正确性.