关于可解群是超可解群的一个结论

2020-04-28曾利江

贵阳学院学报(自然科学版) 2020年1期

曾利江

(遵义师范学院黔北文化与经济研究院，贵州遵义 563006)

有限群的性质是极其丰富的，众所周知，它在各个自然科学中起到了极其重要的作用，本文将讨论满足一定条件的一类可解群是超可解群的这一重要结论。

群G为幂零的充要条件是G的每个极大子群在G内正规[1-5]。将“正规”改为“拟正规”，“极大”改为“2-极大”，也可得到关于超可解群的类似结论，借助于次正规子群的性质[6-8]，证明了当2-极大子群均为拟正规时，群G是超可解的，当群G的阶的素因子个数不小于3时，群G还是幂零的。当然，这些术语下面都要给予确切的定义。

1 定义及其讨论

定义1群G之子群H若与G的每个Sylow子群Gp可交换(即HGp=GpH)，就叫H为G的拟正规子群。

引理1设H为G的拟正规子群。于是

(1)若θ为G的同态映射，则Hθ为Gθ的拟正规子群；

(2)G≥K≥H，则H也是K的拟正规子群。

证明(1)令N=kerθ,则Gθ≅G/N，于是若ψ∈Sylp(Gθ)，则因P∈Sylp(G)时⟹PN/N∈Sylp(G/N)，故有τ∈Sylp(Gθ)使得在同构关系Gθ≅G/N中有τ≅PN/N，然而因为存在gθ∈Gθ使得ψ=τgθ=(gθ)-1τgθ，而在同构关系Gθ≅G/N中有gθ↔gN故又得同构对应

τgθ≅(PN/N)gN=PgN/N=SN/N,

使得有S=Pg∈Sylp(G)，即ψ≅SN/N，因而Sθ≅SN/N说明了ψ=Sθ，即Gθ的任意Sylow子群可视为G的某Sylow子群S的象Sθ。

因H拟正规于G⟹HS=SH，故(HS)θ=(SH)θ⟹HθSθ=SθHθ,说明Hθ与Gθ的任何西洛子群Sθ可交换，故Hθ拟正规于Gθ。

(2)再令S1∈Sylp(K)，由Sylow理论知∃S∈Sylp(G)使得S1≤S,故S1≤K∩S,但K∩S又为K之一个p-子群，于是有S1=K∩S。然而H拟正规于G⟹HS为G的子群，故K∩HS=H(K∩S)=HS1为K的子群，因而HS1=S1H，说明H是K的拟正规子群。

引理2设G是可解群，而H是G的拟正规子群，那么H/HG是幂零群。

附注HG=∩{x-1Hx|x∈G}，即为G中所有与H共轭的子群x-1Hx(x取遍G)之交。

证明G▯G/HG⟹H/HG为G/HG的拟正规子群(引理1(1))。于是当HG≠1时，令

于是今后只需考虑HG=1的情况。这时要证明H为幂零群。

(a)若R∈Sylpi(H)且x∈Ci,则必Rx≤H。

(b)当pi≠pj时，HSi∩HSj=H。

(c)对每个pi而言，H∩Si∈Sylpi(H)。

为了证明H的幂零性，只需每个H∩Si◁H能被解决即可。于是只需证明每个x∈H∩Si与每个y∈H∩Sj可交换，即xy=yx。

因为已假定了HG=1，故只需证[x,y]=x-1y-1xy∈HG。∀g∈G=CiSi⟹g=γσ(γ∈Ci,σ∈Si)，故g-1[x,y]g=σ-1(γ-1x-1γ)(γ-1y-1xyγ)σ。因H∩Si与y-1(H∩Si)y都是H的Sylowpi-子群，故γ-1x-1γ∈H及γ-1y-1xyγ∈H(利用了(a))，于是，g-1[x,y]g∈SiHHSi=HSi。同理，g∈G=CjSj⟹g-1[x,y]g∈HSj。因此有g-1[x,y]g∈HSi∩HSj=H(参见(b))，即[x,y]∈gHg-1，故由g的任意性有[x,y]∈HG。

引理3设G是可解群，而H为G的拟正规子群，那未H在G内是次正规的。

当Si∈Sylpi(G)时，注意H∩Si∈Sylpi(H)(因为[H∶H∩Si]=[HSi∶Si])，故从H的幂零性可知H∩Si◁H，即H有唯一个Sylowpi-子群。于是∀Pi∈Sylpi(G)，由于H∩Pi∈Sylpi(H)有H∩Si=H∩Pi≤Pi，说明H的唯一个Sylowpi-子群是G的每个Sylowpi-子群的子群。故应有H∩Si≤Opi(G)，从而H∩Si≤Fit(G),即幂零群H的任何Sylow子群都是Fit(G)的子群，因之得H≤Fit(G)，于是从Fit(G)的幂零性可知H为Fit(G)的次正规子群，故再由Fit(G)◁G得H次正规于G。

引理4设H为可解群G之拟正规子群。若H是G的极大子群，则H◁G。

证明H拟正规于G⟹H次正规于G，故有G的子群列

H=K0

使每个Ki◁Ki+1。然而H在G内的极大性说明在H与G之间再不能插进真包含H的G之真子群，故必t=1，即H=K0