探究留数定理在求解不同类型积分上的应用

曾乔

摘  要：留数定理作为复变函数中留数理论的重要定理之一，其定理在实际生活中得到广泛的应用.尤其是当某些定积分被积函数的原函数不容易给出时，利用留数定理来计算这些比较困难的定积分是解决定积分的求解问题上的一个有效方法，文章就怎样利用留数定理求某几种特殊情形的定积分的值做以下阐述。

关键词：复变函数;留数定理;积分计算

中图分类号：O174.5        文献标志码：A         文章编号：2095-2945（2020）11-0175-02

Abstract： As one of the important theorems of residue theory in complex function， residue theorem has been widely used in real life. Especially when the original functions of some integral functions are not easy to be given， using the residue theorem to calculate these difficult definite integrals is an effective method to solve the problem of definite integrals. This paper expounds how to use the residue theorem to calculate the value of definite integral in some special cases.

Keywords： complex function; residue theorem; integral calculation

在解决工程技术中的一些实际问题时通常会遇到求解一些实积分，尤其是计算积分区间在无穷区间上的广义积分或反常。例如，在光学问题中需要计算菲涅尔积分x2dxdx;热传导问题中需要计算cosbxdx;阻尼问题中需要计算;傅里叶变化法求解热传导问题的偏微分方程时将遇到的osbxdx（a>0，b为任意实数）积分计算等。这些实变函数的积分所具有的特点是被积函数的原函数通常不好直接给出，需要应用高等数学中的一些特殊的积分手段才能求解，从而通常所应用的牛顿-莱布尼茨公式就不能得以应用，这就不易于我们对一些实际问题的讨论，这时就得利用复变函数这门课程的相关内容。

留数定理作为复变函数中留数理论的重要定理之一，复积分里的Cauchy-Goursat定理、柯西積分公式及其高阶导数公式都作为它的特殊情形，同时留数定理也是将复积分与洛朗级数相结合应用后的结果。留数定理的主要应用体现在可以把积分路径为封闭光滑曲线的复积分转化为计算在孤立奇点处的留数之和，但在这之前必须得正确理解孤立奇点的概念、孤立奇点的几种类型以及函数在孤立奇点的留数概念。因此掌握留数的计算法，特别是极点处留数的求法是应用留数定理的重点，也是实际中求解一些特殊实变函数积分的关键点。不仅如此，应用留数定理还能计算一些不易求得的广义积分与反常积分，这些特殊积分可以用留数理论分类后做统一处理。所以留数定理在作理论探讨和实际应用中都具有重要意义。

如何利用留数定理求解三种类型的实积mxdx等几种类型的积分，整体思路是将实变函数的积分转换成复变函数沿着某条封闭光滑路线的积分，所以就得设法把沿区间的积分换为沿封闭路线的积分，通常所采用的方法：一是先找一个与所求的被积函数f（x）密切相关的复变函数F（z），使得当z在实轴上的区间内变动时有F（z）就是f（x），或者F（z）的实部或者虚部中有一个是f（x）;二是找出一条连接区间两端的按段光滑曲线，使与区间一起构成封闭曲线。

1 留数的定义与计算

定义1[1]  设a（a≠∞）是函数f（z）的孤立奇点，若函数

f（z）在0<|z-a|

2 留数定理[1]

设D是复平面上的一个有界区域，其边界是一条或有限条简单闭曲线C。设f（z）在D内除去有限个孤立奇点z1，z2，…，zn外，在每一点都解析，并且它 计算（cos？兹，sin？兹）d？兹型积分

若有z=ei？兹，则d？兹由欧拉公式得

当？兹从0变化到2？仔时，z沿单位圆周正方向绕行一周，因此有以下的计算积分公式：

例1 计算积分I

解：令z=ei？兹，则d？兹（z）=？渍（a）可知

3.2 计算dx型积分

定理1[2]  设f（z）=为有理分式，其中P（z）=c0zm+c1zm-1+…+cm（c0≠0），与Q（z）=b0zn+b1zn-1+…+bn（b0≠0）为互质多项式，且符合条件：（1）n-m？叟2;（2）在实轴上Q（z）≠0;于是有

例2 设a>0，计算积分

解 设f（z）=因为

所以

例3 求积分                     的值

解 因为                      由定理1知道

3.3 计算              型积分

定理2[3] 设g（z），其中P（z）及Q（z）是互质多项式，且符合条件：

（1）Q（z）的次数比P（z）的次数高;（2）在实轴上Q（z）≠0;（3）m>0;则有

例4 计算积分

解 因为f（z）=平面x2=5内无奇点，在实轴上只有两个一级极点x1=2，x2=5。于是

所以

因此利用留数定理在围线积分中的应用计算对一些特殊实积分进行留数定理的探究，如反常积分、广义积分等中的应用，可以起到举一反三的作用，它是研究计算定积分，尤其是对原函数不易直接求得的实积分和反常积分，常是一个有效的方法，其要点是将其划归为复变函数的周线积分，再把计算周线积分的整体问题，化为计算各孤立奇点处留数的局部问题，继而就可得到解决。不仅如此留数定理还能推导出了电磁学中的安培环路定理，其方法比较简便，避免了一些教材中的复杂推导，还能解决静电学、电磁学中的一些积分的运算。因此柯西留数定理是复变函数论中留数理论的重点和难点，如何在教学中突出重点，化难为易，是今后的教学研究的重要内容之一。

除此之外在控制理论中，当我们需要进行系统分析时，需要利用拉普拉斯变换来分析系统的传递特性，这时如果利用拉普拉斯的逆运算公式进行分析求解，在运算上会有一定的难度，而将留数利用在拉普拉斯的逆运算上则会大大降低了運算的过程。

参考文献：

[1]钟玉泉.复变函数论（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2]智丽丽，李艳青.留数定理在积分计算中的应用[J].昌吉学院学报，2014（1）：74-76.

[3]陆生琪.留数理论及其应用[J].三江学院，2009（33）：947-949.