弧度制教学中相关问题的问答

2020-04-21朱一心

首都师范大学学报（自然科学版） 2020年2期

朱一心

(首都师范大学数学科学学院, 北京 100048)

1 弧度制教与学中的问题

中学数学教学中,“使用弧度制的好处”常常被提及,文献[1]对弧度制的好处作了介绍.然而,仍有学生甚至数学教师,对于弧度制及相关问题的理解存在疑惑甚至误解.主要集中在是否只有弧度制才能使得三角函数成为实数到实数的映射,角度的数值是否是一个无量纲的比值,角度的数值是否是六十进制数以及六十进制数是否是实数等问题上.有些还涉及到对函数、数量、数的进制、角的大小与度量等概念的理解.

误解既发生在重要文件中,如文献[2]111页中的案例3“引进弧度制的必要性”,也发生在研究论著[3]中和专业的中学数学教学讨论场合．至于公众流传的“360 问答”“百度知道”“作业帮”等,误解更是比比皆是.

本文讨论弧度制教学中相关的问题,帮助教师和学生理清教学和学习中的疑惑和误解.文中的设问,大多来自与师生的真实讨论.文中所称中学数学是通常理解的含义,所称的教师和学生,分别指中学数学教师和中学生.问答从“2017课程标准”中的相关案例入手,对教学中的疑惑和误解逐一展开问答式辨析.为方便讨论,把文献[2]108和111页中的案例3和2的相关内容进行抄录,并用下划线标明后面讨论将涉及的概念或者问题.

1.1 引入弧度制的必要性(案例3)

【目的】理解弧度制的本质是用线段长度度量角的大小,这样的度量统一了三角函数自变量和函数值的单位;进一步理解高中函数概念中为什么强调函数必须是实数集合与实数集合之间的对应,因为只有这样才能进行基本初等函数的运算(四则运算、复合、求反函数等),使函数具有更广泛的应用性.

【情境】对于三角函数的教学,为什么初中数学通过直角三角形讲述,而高中数学要通过单位圆讲述?这是必要的吗?

【分析】……初中三角函数是对直角三角形中的边角关系的刻画,其中自变量的取值是60进制的角度，不是10 进制的实数,不符合对应关系的函数定义.……在高中阶段,借助单位圆建立角度与对应弧长的关系,用对应弧长刻画角的大小;因为长度单位与实数单位一致,这就使得三角函数的自变量与函数值的取值都是实数,符合对应关系的函数定义.

1.2 函数的概念(案例2)

【分析】……例如,匀速直线运动中(速度为v),路程(s)随着时间(t)的变化而变化,因此路程是时间的函数,记为s=vt.再如,在单价(n)、数量(p)、总价(S)的关系中,S随着p的变化而变化,因此S是数量的函数,记为S=pn,通常把这样的表述称为函数的“变量说”.

但是,上述2个函数自变量的单位不同,不能进行加、减等运算.若舍去其具体背景进一步抽象,可以得到一般的正比例函数y=kx(k为非零常数).于是,2个正比例函数就可以进行运算了,所得结果还是一般的函数.

到了高中,……通常把这样的表述称为函数的“对应关系说”.不同的函数可以进行加、减、乘和除法等运算,函数研究的内涵和应用的范围得以扩展.

2 函数的运算结果

2.1 什么是函数

中学数学中的函数是实数集合上的一元实函数的简称,是实数的子集合到实数的子集合的一个映射.即A和B是实数集合的子集合,则映射f：A→B称作一个函数,也称f是A→B的函数.更一般地,当集合A和B是复数集合的子集合时,f：A→B是复函数.当A不限于是数的集合,而B是数的集合时,f：A→B是一般函数.

上述定义中,集合与映射被当作是已知的逻辑基本概念.公理体系下的映射定义,是集合A与B的一个关系,是直积A×B的一个子集合，参考文献[4]的97页. 用关系来定义映射,能讲清楚映射中对应“法则”的确切含义,使函数意义更广泛,函数运算与复合的含义更清楚,多元函数定义更容易,此处不作深入讲解.当说到函数f(x)时,既指函数的对应法则，也可以指具体的函数值运算程序,见文献[5]的283页.

2.2 函数运算结果

函数的运算结果不是一个数,而是一个新的函数,其函数值由函数值的运算得到.例如,函数加法：对于2个A→B的函数

可以定义函数A→B的函数f+g为

即f+g将x映射到f(x)+g(x),或者(f+g)(x)=f(x)+g(x),简称“和函数的值等于函数值的和”.对于函数f：A→B和g：C→D,当A,B与C,D不完全相同时,是不可以作加法运算的,但这种情况下,有时默认f+g是A∩C→B∩D上的函数.类似的,当B=C时可以对于函数f：A→B与g：C→D, 定义复合函数g∘f：A→D,使得(g∘f)(x)=g(f(x)),有时默认g∘f是C∩f(A)→D的函数.

这样函数s(t)=vt,S(t)=t2的和是函数h(t)=vt+t2,它们的一种复合是函数k(t)=(vt)2=v2t2.

3 数与量的区别

3.1 数与量

可以这样理解数与量的关系,数是纯粹的数学世界中的对象,数只服从于数学运算、结构和原理;量是数对于现实世界的应用工具,对这个工具的有效性的判断与检验,需要回归到现实世界的客观存在中进行.量是由度量得到的,是测量、度量的结果,度量基础是测量.测量与度量的标准及方法可以有多种.

3.2 数的单位

回答是否定的.在数系的扩张中,从没有建立“实数的单位”这样的概念;而当数用于度量,表示具体物体的量,是有度量单位的.有时候没有严格区分数与量的差异,造成对概念的误解.例如,后文将分析到,角的弧度制、角度制表示中,就没有严格区分弧度数与弧度,角度数与角度.

在数轴上用点和线段表示数时,为了数与线段之间建立对应,将固定间隔点之间线段作为一个度量单位,称其为单位长度.这个单位长度是固定的,是这个数轴系统中的度量标准或者度量单位,即长度单位.这个长度单位,与“米、秒”的功能一样,只是没有写出“米、秒”一样的“单位符号”.对于这个做法,亚历山大洛夫[6]具体描述了一段线段CD如何去度量一段线段AB,将AB对应到一个数.柯朗等[5],也类似地描述实数与线段的对应.也就是在这种意义下将实数看成线段,即由某一固定的线段的倍数对应的线段.实际上需要对线段进行运算,细致的陈述可以在文献[7]中看到.

可见,当把实数对应到数轴上的线段时,需要给定一线段作为度量单位,而不是实数本身有单位.如果将实数对应的度量的单位混称为“实数的单位”,那么,将实数用于长度的度量,实数“单位”似乎应该是米;将实数用于面积的度量,实数“单位”又应该是平方米? 实际上众所周知平方米是面积单位,而不是实数本身的单位.

当将实数看成是一个运算系统或运算结构,那么,乘法运算的单位元是1,加法运算的单位元是0,运算单位元也称乘法单位和加法单位.这里,乘法单位1后面无法跟量词,即乘法单位1只有数的运算意义,不具有度量意义.

3.3 数的运算律和运算法则是否依赖于数对应的量的意义

3.4 物理学中的数学公式、函数关系是否带量纲才成立

从两方面来回答.一是数学公式、函数关系的成立与量纲无关.二是这些公式、关系表达的物理意义与量纲有关.

数学是舍弃了具体物体的物理属性的抽象,在作数的运算时,运用的是抽象的一般规律,执行的是由数的大小与次序以及规定造成的运算律,而不是按照一个具体物理量属性进行的.物理量之间的函数以及函数运算和函数复合的物理意义,是物理学中的量纲问题,即使有量纲分析,也并不需要依赖于量纲才可以进行数据运算,只是在解释物理意义时需要量纲分析.

3.5 路程的数值与时间的数值是否可以作运算

函数模型中变量的运算是数的运算,并不需要带量的单位,路程的数值与时间的数值当然可以进行运算.路程是时间的函数,S是p的函数,这是实数到实数的映射.把这2个函数看成是一类函数,都是一次函数,二者之间的运算与复合当然可以进行.

对于一元函数而言,自变量的数值与因变量的数值相加是可以进行的,虽然与如何将其应用到具体的量的意义无关.然而,对于多元函数来说,不应该要求自变量的数值与因变量的数值进行运算而且具有具体物理意义.对于一般函数而言,没有任何企图要将自变量与因变量的数进行相加,其数的运算结构都可能不是一样的.例如,一维数与二维数组怎么相加,为什么要求其相加呢?

4 十进制表示数

4.1 什么是十进制

十进制是数的十进制(位)表示、十进制(位)记数的简称,也称阿拉伯记数法[8]. 对于一个自然数,将其按照10的方幂分组求和,用0,1,2,…,9这10个字符表示10方幂的个数(最高位不能为0),按照方幂大小次序在对应的位置写出方幂个数的字符,用这组有序字符来表示这个数,称为十进制记数法.整数通过添加正负号,从而借助自然数的十进制得以表示.十进制记数法还可以拓展到小数的表示,

其整数部分是有限的,小数部分可以有无限项(最后1位小数不能为0).

4.2 什么是位值制记数法

4.3 实数是否是十进制

5 角的大小与度量

5.1 角的大小是否是角的度量

角的大小与角的度量(或者叫角的大小的度量)是不同的概念.角的大小是一个几何客观,角的度量是角的一个度量化.角的大小是角的集合上的一个序(任意2个角之间的次序,一个包含另一个的比较关系),这个序的公理化定义,是通过直线上点的序公理造成的线段的序来描述的.文献[9]先描述了角的相等关系,然后指出可以进一步通过公理建立角的“大于”“小于”次序.角的度量是由角的集合上的一个非负单调广义函数产生的,函数的递增性与角的大小次序一致,因此也可以说是角的大小的量化.进一步讲,角的度量是角的集合上的一个测度,给每个角规定一个对应数值,这个数值是非负单调的,且这个对应具有可列可加性.这一点在中学数学是不容易、因而也不必严格讲清楚的,更不需要按照公理来讲.

人民教育出版社1963年教材[10]把角的大小与角的度量当成2个独立的概念分开讲.现行教材[11-12]说“要准确测量一个角的大小,应该用一个合适的角作单位来量”和“我们常用量角器量角”，将角的大小次序直接用角的度量值的大小来替代.

5.2 什么是“角的角度制”度量

由于历史的习惯省略了弧度的单位“radian”(也叫“弪”,现在多不用此词,简记为rad,或r),但保留了角度制的单位“度”或“°”.文献[1]称“在现代的数学书籍与文献中,角一律用弧度为单位,无须用符号加以特别标注”“如不特别说明,有关三角函数的自变量一律认为以弧度为其单位”.柯朗等[5]明确说,“为避免混淆,今后角x就是指角的弧度是x,而一个度数是x的角将写为x°”.因此,人们错以为“弧度制下角对应一个数，而角度制下角对应角度”的原因,是弧度制省略了单位“rad”而角度制没有省略单位“°”.具体教学中,通常可以在开始时先将弧度单位写上,熟悉以后再省略.

一周360°是英国的角度制,法国的角度制曾将圆周分成400°,即百分制[14];除此之外还有将圆周分成6 000份的密位制[14].也用较粗糙的方法来度量角,例如,“周、圈、转”等,这些“角的度量”在实际应用时仍不可避免.

5.3 怎样理解“平角=π”

5.4 怎样理解“弧度值是弧长与半径的比值”

弧度制下,角的度量值是对应的弧长与半径的比值,所以没有单位,或者无量纲,是一个实数. 这些理解可以照样搬到角度制上,见文献[7].因此角度的数值与弧度的数值一样,也是实数.单位rad或者°,是为了说明这个数值是角的一个度量而加上的,用于区别数与量.

5.5 怎样理解“角度值是角与周角的比值”

按照角度制定义,将一个周角平均分成360 份,其中1份对应的角为1°,一个角占有几份就是几度,因此角度的数值是“角与周角的三百六十分之一的比”. “角与圆心角的比”的含义是将角看成是圆心角,根据圆心角与圆弧的一一对应,由对应的圆弧之比得到2个角的比.值得注意的是,弧度制度量角和角度制度量角,都需要在圆弧长的求法,即弧长积分.这表明,角的度量不是独立于长度的度量.

5.6 单位圆中角的度量是弧长

把角的度量看成弧长,显然是混同了度量的数值与度量.在单位圆中,的确可以得到角的弧度数对应到相应的弧长.这种对应,不仅在单位圆中,在半径为2的圆中,也作类似处理,使得每一个角对应于一个弧长,只是这个新的对应是习惯的那种的2倍而已,这样做并不改变弧度制的任何本质.

5.7 角度制中角度数是否是用六十进制表示

6 单位圆上的三角函数

6.1 怎样理解直角三角形的三角比与单位圆中三角函数线的一致性

对于锐角三角函数,可以通过直角三角形对应边的比值来定义,也可以通过单位圆中三角函数线来定义,这是2个不同的定义方法.因为一个是静态的比值,另一个是动态的对应,然而二者的区别并不那么大.

直角三角形中,给定一个角就得到一个确定的三角比(边的比).在单位圆中,角对应的直角三角形斜边长是1,三角比从数值上看有明显的几何意义(数值而已,例如,正弦函数值等于正弦线段的长度值).三角函数定义的仍然是边的比值,与通过直角三角形的定义一样,仅仅是在2个相似的直角三角形中定义而已.

在直角三角形中,从三角比过渡到三角函数,并不是简单的.例如,对于角的取值,并不能如期待的那样,在R上任意连续变化取值;角连续变化取值时,如何判断对应的三角比值是连续变化的.若在单位圆上将角的变量x等同于对应的弧长,似乎x连续变化就解决了;然而要说明一个实数等同于一段弧长,需要弧长积分的概念与技术,需要弧长对于角的决定,再由角决定正弦线,从而得到函数.那么,又如何说明弧长连续变化使得正弦线长是连续变化的呢?以至于一本教师教学用书不得不困难而牵强地解释[15],“把实数轴想象为一条柔软的细线,原点固定在单位点A(1,0),数轴的正半轴逆时针缠绕在单位圆上,负半轴顺时针缠绕在单位圆上,那么数轴上的任意一个实数(点)t被缠绕到单位圆上的点(cost,sint).”

这些问题与三角函数的连续性究竟如何定义有关.Cauchy[16]证明了以下结论：“若f(x)是在R上的连续函数,满足任给x,y∈R都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y), 则f(x)=cosax或f(x)=coshax”.对于三角函数的多种定义,需要讨论它们的一致性,高夯[17]列举了利用函数方程的公理化定义、幂级数定义和积分定义. 在中学数学中,通过直角三角形和单位圆2种定义,都不可能严格讲清楚所定义的三角函数具有连续性,在一般大学教材中也没有讲清楚,甚至就没有试图讲清楚.

通过单位圆来定义三角函数,可以推广到任意角,容易过渡到在直角坐标系中用坐标定义任意角三角函数,容易表示三角函数周期性的物理意义.

7 三角函数引起的集合对应

文献[1]说明弧度制的便利时,其中并没有列示：使用弧度制的必要性是“使三角函数成为实数集合到实数集合映射”,事实上使用弧度制并不由于“这个”必要性.为说明此,要了解三角函数引起了哪些集合上的对应.

7.1 三角函数到实数集合的映射

三角函数到实数集合的映射见图1,角的集合、角度的集合、角度数的集合、弧度的集合、弧度数的集合和实数集合,这6个集合之间有一一对应.一般地,不需要严格区分三角函数是从上述5个集合中的哪一个出发到实数集R的映射,只强调对应的结果是一个实数.文献[18]称“我们认为三角函数是角的函数,或是弧的函数,或是数的函数,其中变数由我们处理,可以解释为角或解释为弧,或解释为数”.文献[15]称“无论用角度制还是弧度制,都能在角的集合与实数集R之间建立一一对应关系”.

图1 三角函数到实数集合的映射

7.2 弧度制与三角函数图像

是否因为弧度制使得三角函数图像中的横轴、纵轴上数值都是十进制,长度单位一致,所以从函数图像上容易理解函数的单调性、凸凹性、对称性等.

图2 三角函数图像(a)弧度制;(b)角度制

图3 弧度制和角度制三角函数图像

8 “2017课程标准”案例中的误解

讨论至此可以看到，“2017课程标准”案例3中对于引进弧度制必要性的陈述多有误解和前后不一致之处,主要有：把自变量和函数值看成是有“单位”的量,提出了函数运算可能“不能进行”的说法,混淆了数学运算与运算结果的物理意义之间的区别,混淆了数与量的不同;把实数混同于实数表示的量,称“长度单位与实数单位一致,这就使得三角函数的自变量与函数值的取值都是实数”,引导理解实数就是长度;误解了角度制与弧度制的共性,忽视了弧度制中弧度单位的省略;称“60进制的角度、不是10进制的实数”,把角度数引导理解为非实数,把六十进制数引导理解为不是实数;存在前后不一致的表述,一方面称不同“单位”的量“不能进行加、减等运算”,另一方面称“舍去具体背景”就“可以进行运算”;一方面说三角函数自变量的“单位”要取“长度”,另一方面称可以是“时间或其他量”.

文献[20]的126页中称,“用弧度制来度量角,实际上是在角的集合与实数集R之间建立了这样的一一对应关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(角的弧度数等于这个实数)与它对应”.在第二章“小结”时又对此作了重复强调.这些表述,突出了在弧度制下,一个角对应一个实数,引导理解在角度制下做不到一个角对应一个实数;指明了用弧度制度量角得到三角函数定义域是实数,可能引导理解用角度制度量角得不到实数.