可移动准刚性圆柱对平面波的声散射*

臧 雨 宸

(1.中国科学院声学研究所，北京 100190； 2.中国科学院大学，北京 100049)

0 引 言

当声波在流体介质中传播时，经常会遇到密度或者声速空间分布不均匀的情况，此时声波的传播路径会发生改变，这种现象称为声波的散射．在声散射问题中，将散射声场定义为空间内总声场与入射声场的差．声散射是检测声学和生物医学超声等的重要理论基础，因而一直受到研究者的广泛重视．关于规则物体，如柱和球等对平面波的散射问题已经有了相当成熟的理论结果[1-10]，并且得到大量的实验验证[11-17]．这些结果为实际中运动目标的识别以及缺陷的定位等提供了必要的理论依据，促进了相关声学检测技术的发展．

目前对于声散射的研究，基本都含有一个假设，即散射体是固定在声场中的．对于物体而言，只有对其施加一定的外力与声波在其表面的作用力相抵消才能保证其固定不动[18]．在实际的粒子声学操纵中，特别是利用声学镊子进行血管内的药物输送过程中，由于声学镊子的非介入式特征，使得这一条件很难得到满足．当不存在这样的外力时，靶向粒子在声波的作用下必将发生前后振动，进而向外辐射声波．此时，散射体可以看成声场中的一个次级声源，在考虑散射波时应当计入其贡献．本文以无限长的准刚性圆柱为例，研究其在可自由移动的情况下对于入射平面波的散射声场特性．需要指出的是，这里的“准刚性”是指其材料特性阻抗远大于流体，可以近似看成刚性，但其密度又不是太大，从而使得其在声场中可以发生较明显的移动．材料工程、医学超声中经常使用的聚苯乙烯、聚甲基丙烯酸甲酯等，往往处于液体甚至气体环境中[19-20]，均满足“准刚性”的要求，因而该问题有很强的现实指导意义．

1 理论计算

如图1，设半径为a的无限长准刚性圆柱体方向与Z轴平行，圆柱截面的中心位于XOY平面的坐标原点．一稳态平面波沿X轴正方向入射，建立柱坐标系(ρ,φ,z)，设准刚性柱体在声场中的振动位移为

w(t)=eXw0(ω)exp(-iωt)，

(1)

式中eX为入射波的传播方向，ω为入射波的角频率．振动位移的法向分量为

wρ(t)=w0(ω)cosφexp(-iωt).

(2)

对于准刚性圆柱而言，其边界条件为表面的径向速度连续，于是得到

[viρ(ρ,φ,ω)+vsρ(ρ,φ,ω)]ρ=a=w0(ω)cosφ，

(3)

式中viρ(ρ,φ,ω)和vsρ(ρ,φ,ω)分别是入射波和散射波的质点振动速度．

图1 无限长准刚性圆柱体的声散射

在柱坐标下，入射波的声压和径向速度分别表示为：

(4)

(5)

散射波声压和径向速度分别表示为：

(6)

(7)

将式(5)和式(7)代入式(3)中可得

(8)

比较两边cos(mφ)的系数，可以得到：

(9)

与文献[21]中关于固定圆柱的声散射结果相比，柱体的可移动性仅对m=1这一项产生了影响．根据牛顿第二定律，圆柱的运动方程为

(10)

式中mc表示单位长度圆柱体的质量,p为总声场．代入式(4)和式(6)，可以计算圆柱体受到的力为

(11)

亦即

(12)

将式(12)代入式(10)得

(13)

其中

(14)

在低频情况下可以近似表示为

(15)

这里出现的负号在物理上表示圆柱体的振动与入射声波的相位相反，而分母中的ρ0πa2则等于相同的柱体体积排开的空气质量，在声辐射问题中经常被称为同振质量．

利用汉克尔函数的渐近性质，可以得到远场声场为

(16)

式中ψs(φ,ω)表示散射波随角度的空间分布，具体形式为

(17)

相应的径向速度为

(18)

根据声强的计算公式，可以得到远场散射声强为

(19)

2 数值仿真模拟

根据理论计算结果进行数值仿真模拟．假设位于空气中的无限长圆柱体是聚苯乙烯泡沫材料，半径为0.01 m, 密度为30 kg/m3, 常温下的声速为2 330 m/s．材料的声阻抗是空气的近170倍，在空气中可以看成是很好的刚性散射体．平面波垂直入射到其上，并且圆柱体可以自由移动．

2.1 散射声场的分布

假设入射平面波的频率(f)分别是10和50 kHz，这2种情况下无量纲参量ka分别等于1.8和9.1．根据式(6)，其散射声场分别如图2(a)和2(b)所示．在频率较低时，散射波的方向性不是很明显，圆柱周围存在向外辐射的声波，而当频率较高时，散射波的方向性更加显著，大部分声波几乎沿反方向“弹”回，另外在圆柱的背侧2个相对称的方向还存在旁瓣．在药物的定向输送中，往往希望声波尽可能精确地作用于靶向粒子或靶细胞，而减小对周围组织的影响．但在超声治疗等方面，通常又希望声波在一定强度限度的范围内作用于某一区域的组织或细胞，这里的分析为参数选择提供了一定的理论基础．

图2 准刚性圆柱的散射声场(单位/m)(a)f=10 kHz；(b)f=50 kHz

2.2 准刚性圆柱的受力

利用式(12)，作出圆柱表面受力大小随入射声波频率的变化曲线如图3所示，其中纵坐标为|Fx|/(2aπp0i)，即归一化的单位长度圆柱受力大小．不难发现，无论是固定还是可移动的情况，受力曲线随频率的变化趋势大体相同．在低频时随频率的升高快速增大，在f=6 kHz,即ka≈1.1左右时达到峰值，随后开始缓慢下降．并且低频时两者几乎重合，在峰值处可移动圆柱体的受力明显更大，差异也最为显著．随后可移动圆柱体的受力曲线随频率升高更快地下降，直至小于固定的圆柱体．在实践中，峰值处往往是需要的频点，而 2种情况差异最大的地方恰恰在峰值处，值得重视．

图3 准刚性圆柱表面的受力大小随频率变化

2.3 散射方向的分布

图4 准刚性圆柱散射方向性(单位/(°)，其中半径单位为m)(a)f=2 kHz；(b)f=5 kHz；(c)f=10 kHz；(d)f=20 kHz

3 结 论

本文针对传统的声散射理论中散射体固定在声场中这一较强的限制条件提出了改进，在假定散射体可以自由移动的情况下计算了散射声场，得到了表面受力大小的公式和方向性函数的表达式．针对可以在空气中看成准刚性的物质聚苯乙烯泡沫进行了数值仿真，得到如下结论：

(1)在不同的入射频率下散射声场有着很大的不同．在频率较低或ka值较小时，几乎没有呈现明显的方向性，而当频率较高或ka值较大时，方向性显得十分明显，大部分沿反方向反射回去，同时还有一些旁瓣的存在.

(2)低频时，圆柱体表面的受力随频率升高快速增加，在ka=1.1左右达到峰值，随后随着频率的升高出现下降．与固定圆柱体相比，可移动圆柱体在峰值处的受力更大，并且随后下降更快一些.

(3)散射方向的分布随着频率的升高变得更加复杂，方向性更加明显．与固定圆柱体相比，可移动圆柱体在低频时的方向性图案显示出明显的不同，各个方向都有显著的增加，然而这样的差异随着频率的升高很快消失，即两者趋于一致．

由此可见，实际运用中对于可以看成准刚性而密度又不是很大的散射物体而言，假定散射物体固定在声场中可能会带来一定的误差，消除这一限制则会得到更加精确的结论．本文的结论为检测声学中圆柱形状构件的散射问题，以及医学超声和材料工程等领域广泛使用的声学镊子的分析提供了理论参考．