矿区坐标转换中病态矩阵与坐标粗差的处理算法

余凯 梁爽 王德高

摘要：矿区GPS坐标转换至国家坐标时，病态矩阵与重合点坐标粗差经常会导致转换坐标精度低，致使矿区缺乏高精度的坐标基准，造成安全风险。利用广义交叉检验准则解决系数矩阵病态问题，将抗差估计算法用于解决重合点坐标粗差问题。通过具体算例表明，广义交叉检验准则与抗差估计理论能分别克服矿区GPS坐标转换时病态矩阵及坐标粗差问题，得到高精度的转换坐标值，为矿区安全生产提供精确、可靠的基准数据。

关键词：坐标转换，病态矩阵，粗差，广义交叉检验准则，抗差估计

中图分类号：P226.3 文献标志码：A 文章编号：2095-5383（2020）01-0065-04

Abstract：When GPS coordinate of the mining area are transformed into the state coordinate，the morbidity matrix and the coordinates gross error of coincident points often lead to the low accuracy of the converted coordinates. As a result，there is a lack of high precision coordinate datum in mining area，which results in safety risk. The generalized cross-checking criterion was used to solve the ill-conditioned problem of the coefficient matrix，and the robust estimation algorithm was used to solve the problem of coordinates gross error of the coincident points. Specific examples show that the generalized cross-checking criterion and robust estimation theory can overcome the problem of ill-conditioned matrix and coordinates gross error during GPS coordinate conversion in mining areas，obtain high-precision converted coordinate values，and provide accurate and reliable reference data for safe production in mining areas.

Keywords：coordinate transformation，morbidity matrix，gross error，generalized cross-checking criterion，robust estimation

礦区GPS坐标转换至国家坐标时，若误差方程的系数矩阵条件数很大，法方程矩阵解算便会出现病态现象[1]，致使产生低精度的转换坐标。且在矿区环境下，地表沉降、变形的幅度非常剧烈，导致控制点实际位置与坐标数据的不吻合现象十分严重，导致控制点坐标出现粗差，坐标转换模型的最小二乘解偏离。传统的LC曲线法容易受到拟合曲线光滑度的影响，导致其坐标转换稳定性较差[1]。本文将广义交叉检验准则与抗差估计理论相结合，能够分别解决矿区坐标转换时的病态矩阵及重合点坐标粗差的问题，进而达到获取高精度、稳定性好的转换坐标的目的。

1 转换模型与算法

1.1 布尔莎模型

布尔莎模型[2]是较常用的三维转换模型：

1.2 广义交叉检验准则（GCV）

GCV函数为[1]：

取GCV（α）最小值对应的α为正则参数，然后利用式（3）求解参数值。

1.3 抗差估计的应用

抗差估计[3]法的思想是利用Tukey[4]、IGGI[5]或IGGIII[6]等抗差权函数降低重合点中粗差坐标的权重，从而降低其在参数解算时的作用，提高坐标转换精度。

该算法用于坐标转换的步骤为：

1）根据式（4）确定初始权阵P [7]，

其中：D1、D2为重合点坐标在GPS级国家控制网下的各自的协方差矩阵。

2）结合式（1）转换模型，利用最小二乘准则计算初始转换参数Xi=（BTPB）BTPL（i=0，B为系数矩阵）及残差绝对值vi。

3）利用计算出的残差绝对值vi，选择适当的抗差权函数编写程序进行迭代计算。若前后2次迭代得出的转换参数差值绝对值均小于给定限差ε（即Xi-Xi-1，i≥1）时，停止迭代，得出最终的等价权阵，求出最终的转换参数（dx，dy，dz，εx，εy，εz，K），将得出的转换参数代入式（1）便可求解国家坐标系下坐标值（XT，YT，ZT），否则需要继续进行迭代计算。

2 转换算例

从某矿区控制网中选出16个同时具备两套坐标系下坐标的重合点参与算例验证，16个控制点坐标值见表1[8]，控制网见图1。

选取其中1、5、7、9、11、14、16等7个分布较均匀的点作为重合点，此外的9个点作为外部精度检核点。

2.1 广义交叉检验准则的应用

本算例中条件数为11.9×1025，系数矩阵存在严重病态，拟分别采用直接最小二乘法与广义交叉检验准则进行坐标转换，将2种算法计算得出的转换坐标值分别与已知的北京54坐标值进行比较，得出其误差绝对值，见表2。

由表2得出结论：

1）因系数矩阵条件数过大，矩阵存在严重病态，最小二乘解误差过大，转换误差最高达27 mm，

2）广义交叉检验准则解决了系数矩阵病态问题，各点转换误差最高仅4 mm，且稳定性较好。

2.2 抗差估计法在坐标转换中的应用

在广义交叉检验准则法基础上，运用抗差估计法抵抗重合点坐标粗差对转换精度的影响。运用直接最小二乘及抗差估计准则进行比较计算。

1）直接最小二乘法：求取转换7参数为：平移参数dx=2.035 m，dy=-1.988 m，dz=3.424 m，尺度比K=0.999 713 277，旋转参数εx=0.000 016 822 6，εy=0.000 017 073 04，εz=0.000 017 515 80。

由表3可知，由于重合點坐标无粗差存在，x、y、z 3个方向坐标转换最大误差仅为2 mm。

2）本算例人为地在11号重合点的x坐标上加入2 cm的粗差，利用最小二乘准则计算转换参数得：平移参数dx=3.564 m，dy=-2.274 m，dz=1.140 m，尺度比K=0.694 724 12，旋转参数εx=0.015 211 2，εy= 0.022 522，εz= 0.142 525 3，重合点坐标粗差的存在导致解算出的7个未知转换参数等与重合点无粗差时相比，误差均较大，坐标转换精度均较差（详见表4）。

3）抗差估计法：当11号点x坐标有2 cm粗差时，结合广义交叉检验准则法与抗差估计法计算转换参数：平移参数dx=2.036 m，dy= -1.987 m，dz=3.425 m，尺度比K=0.999 713 275，旋转参数εx=0.000 016 822 5，εy=0.000 017 073 02，εz= 0.000 017 515 80。

为了说明比较直接最小二乘法与抗差估计法的抗差效果，分别将直接最小二乘法与抗差估计算法坐标转换得出的三维坐标与已知坐标进行比较，计算两种算法的转换坐标与已知坐标差值绝对值（详见表4）。经过对比可以看出，利用抗差估计算法解决了11号点x坐标2 cm粗差的影响，转换参数与无粗差时的基本相同，且坐标转换精度亦较高。

由表3、4看出：

1）由于11号重合点的x坐标存在2 cm粗差，最小二乘解转换误差最高达34 mm，

2）抗差估计法能较好地抵抗重合点粗差坐标对坐标转换的影响，转换误差最差仅1 mm。

3 结论

由论述及转换算例说明，广义交叉检验准则能较好解决其法方程矩阵的病态问题，抗差估计法通过选权迭代方式降低粗差坐标的影响，较精确地实现高精度坐标转换。在实际的矿区控制测量中可将广义交叉检验准则与抗差估计算法结合编写转换程序，解决转换过程中矩阵病态与重合点坐标粗差导致转换失败的问题，为矿区的安全生产及地面变形监测提供精确的国家坐标。

参考文献：

[1]倪飞，赵长胜，郭洋洋.不同大地坐标系间相互转换的病态解决及抗差算法[J].测绘科学，2011，36（4）：72-74.

[2]倪飞，房世龙，赵苏政.拟准检定法在坐标系统转换中的应用研究[J].测绘地理信息，2015，40（6）：15-18.

[3] 倪飞，崔桂官.空间直角坐标系统转换的抗差算法研究[J].海洋测绘，2011，31（6）：28-30，38.

[4]王德高，倪飞.平面坐标系统转换的抗差算法研究[J].农技服务，2010，27（12）：1677-1678.

[5]刘亚彬，郑南山，张旭，等.GPS高程拟合的加权总体最小二乘抗差估计[J].大地测量与地球动力学，2016，36（1）：30-34.

[6]李浩军，唐诗华，黄杰.抗差估计中几种选权迭代法常数选取的探讨[J].测绘科学，2006（6）：70-71，5.

[7]倪飞.几种抗差算法在坐标转换中应用的对比研究[J].矿山测量，2017，45（4）：92-96，120.

[8]姜晨光，朱佑国，黄奇璧，等.公路控制测量中GPS坐标向国家坐标转换的三维分离回归法[J].中国公路学报，2005（1）：23-27.