新型萤火虫算法-投影寻踪模型在区域人水和谐评价中的应用

潘思成， 崔东文

(1. 云南省水利水电勘测设计研究院， 云南 昆明 650021； 2.云南省文山州水务局， 云南 文山 663099)

1 研究背景

人水和谐是指在一定历史时期、一定经济与社会发展条件下，人文系统与水系统通过博弈达到一种相互协调、共同发展的良性循环状态，使水资源能够为人类生存和经济社会可持续发展提供长久的支撑和保障能力[1-2]。近年来，随着区域城市化进程加快和经济社会快速发展，区域水资源短缺、生态环境恶化等问题日益严峻，严重制约了经济社会绿色发展和人水和谐水平的提升。科学评价区域人水和谐水平，对于政府部门有针对性采取应对措施——合理开发水资源、发展绿色经济、提升人居环境、保护生态环境等具有重要意义。目前，用于人水和谐度评价的方法有灰色关联分析法[3]、可变模糊集法[4-5]、主成分分析法[6]、模糊物元法[7]、变权法[8]等。投影寻踪(projection pursuit，PP)技术是将高维数据投影到低维子空间上，并在该子空间寻找出反映原高维数据特征的投影，以达到研究分析高维数据的目的。目前PP技术已在水利行业及其他领域中得到应用。实践表明，PP模型最佳投影向量“是否最优”是决定PP模型应用成败的关键。由于传统粒子群优化(PSO)算法、萤火虫算法(FA)等本身固有的早熟收敛和易陷入局部极值等缺陷所导致的“非最优”问题，在很大程度上制约了PP模型的应用。近年来一些新型仿生群体智能算法被陆续提出，并尝试用于PP最优空间投影向量的优化，取得了较好的优化效果，如足球联赛竞争(SLC)算法[9]、鸡群优化(CSO)算法[10]、蛾群算法(MSA)[11]、凉亭鸟优化(SBO)算法[12]、蚱蜢优化算法(GOA)[13]、树-种优化算法(TSA)[14]等。

为科学评价区域人水和谐度水平，拓展新型仿生群体智能算法融合PP模型在区域人水和谐度评价中的应用，本文结构安排如下：(1)介绍一种新型元启发式优化算法——新型萤火虫算法(New Firefly Algorithm，NFA)，选取8个标准测试函数对NFA进行仿真测试，并与教学优化(TLBO)算法、鲸鱼优化算法(WOA)、灰狼优化(GWO)算法及基本FA的仿真结果进行比较。(2)基于水资源系统、经济社会系统、生态环境系统遴选16个指标构建区域人水和谐度评价指标体系和分级标准，在各分级标准阈值间采用随机内插的方法生成样本，构建人水和谐度评价投影目标函数。(3)利用NFA优化人水和谐度评价投影目标函数，提出NFA-PP人水和谐度评价模型，以文山州2006-2018年人水和谐度评价为例进行实例分析。

2 新型萤火虫算法及仿真验证

2.1 新型萤火虫算法

萤火虫算法(Firefly Algorithm，FA)[15]是由剑桥学者Yang于2008年通过对萤火虫相互吸引和移动过程的研究而提出的一种新型群智能优化算法。目前FA在各行业领域均有应用，但基本FA在高维问题优化中普遍存在局部收敛能力差、易陷入局部最优等问题。为了克服基本FA存在的不足，文献[16]提出一种新型萤火虫算法(NFA)，该算法将萤火虫群体划分为雄性萤火虫子群和雌性萤火虫子群，对于雄性萤火虫，它们随机选择两个雌性萤火虫来更新它们的位置，而雌性萤火虫则通过向最亮的雄性萤火虫移动来更新它们的位置。根据文献[16]，NFA数学描述简述如下：

(1)

式中:xi、yi分别为第i只雄性萤火虫和第i只雌性萤火虫空间位置；U、L分别为搜索空间上、下限值。

(2)雄性萤火虫位置更新。雄性萤火虫i从雌性萤火虫子群中随机选择两只雌性萤火虫j，k，通过雄性萤火虫和两只雌性萤火虫的亮度判别因子(d1，d2)确定雄性萤火虫的移动方向，即根据d1、d2确定雄性萤火虫将飞向或远离搜索空间中选定的雌性萤火虫。该策略可以增强雄性萤火虫空间探索能力和种群多样性，从而提高NFA全局搜索能力。

(2)

(3)

则雄性萤火虫位置更新公式为：

(4)

式中:xit+1为第i只雄性萤火虫第t+1次迭代位置；λ、μ均为[0,1]中的随机数；两只萤火虫之间的吸引度β1、β2由式(5)计算得到。

计算萤火虫i、j间的相对吸引度。

(5)

式中:β0为最大吸引度；γ为光强吸收系数；rij为萤火虫i和萤火虫j之间的距离。

(3)雌性萤火虫位置更新。在搜寻过程中，雌性萤火虫只会被雄性子群中最亮的雄性萤火虫所吸引，这意味着雌性萤火虫在搜寻过程中能够从最亮的雄性萤火虫中学习有用信息以更新其位置。雌性萤火虫位置更新公式为：

(6)

(4)混沌搜索。为了进一步提高NFA寻优能力，在对所有雄性和雌雄萤火虫位置更新后，在算法中引入混沌搜索，使算法搜索过程具有避免陷入极小的能力。本文采用逻辑映射生成混沌序列，首先根据公式(7)产生混沌序列，基于公式(8)将混沌数映射到搜索空间，由公式(9)生成萤火虫新个体；最后将萤火虫新个体与当前最佳萤火虫个体进行比较，并保留适应度值最优的萤火虫个体。

ch(m+1)=α·ch(m)(1-ch(m))

(7)

ch(m)=L+ch(m)·(U-L)

(8)

(9)

2.2 仿真验证

为验证NFA寻优能力，利用NFA对Sphere、Quartic、Schwefel 2.22、Schwefel 2.21、Schwefel 1.2、Griewank、Rastrigin和Ackley 8个典型测试函数进行仿真验证，并与当前具有较好寻优能力的新型群体智能算法TLBO、WOA、GWO和基本FA的仿真结果进行比较。上述8个函数变量取值范围分别为[-100,100]、[-1.28,1.28]、[-10,10]、[-100,100]、[-100,100]、[-600,600]、[-5.12,5.12]、[-32,32]，维度均为30维，理论最优解值均为0。其中，函数Sphere、Schwefel 2.22、Schwefel 2.21、Schwefel 1.2、Quartic为单峰函数，主要用于测试算法的寻优精度；函数Griewank、Rastrigin、Ackley为多峰函数，主要用于测试算法的全局搜索能力。

基于Matlab 2018a M语言实现5种算法寻优过程，各测试函数均重复20次寻优，利用平均值和标准差评估5种算法性能。实验参数设置如下：NFA、TLBO、WOA、GWO、FA 5种算法最大迭代次数T=1000，群体规模N=100。其中，NFA和FA最大吸引度β0=1，光强吸收系数γ=1，突变系数α=0.25。TLBO算法参数TF为1～10之间随机整数；WOA对数螺旋形状常数b=2；其他参数采用各算法默认值。

各函数5种算法优化对比结果见表1，对表1中数据进行分析可得出：

(1)对单峰函数Sphere，NFA寻优精度略优于TLBO、WOA，优于GWO，远优于基本FA；对于较难优化的凹形非线性函数Quartic，NFA寻优精度高于其他4种算法2个量级以上；对于具有明显转折点的非线性函数Schwefel 2.22，NFA寻优精度与WOA相当，高于TLBO、GWO，远高于基本FA；对于倒锥形非线性函数Schwefel 2.21和最优解周围存在很小下降梯度函数Schwefel 1.2，NFA寻优精度优于TLBO和GWO，远优于基本FA和WOA。可见，对于5个单峰函数，NFA寻优效果均优于TLBO、WOA、GWO和FA，表现出较高的寻优精度。

(2)对于多峰函数Griewank，NFA、TLBO算法20次寻优均获得了理论最优值0，全局搜索能力优于WOA、GWO、FA；对于Rastrigin函数，NFA、WOA、GWO算法均获得了理论最优值0，表现出较好的全局搜索能力；对于Ackley函数，NFA寻优精度均效果略优于TLBO、WOA、GWO，高于基本FA 5个量级以上，表现出较好的平衡能力和全局搜索能力。可见，对于多峰函数，NFA表现出较好的逃逸局部极值能力和全局搜索能力。

综合以上仿真验证结果，NFA在这 8个函数上的搜索能力均优于TLBO、WOA、GWO，显著优于基本FA，具有较好的寻优精度、极值寻优能力和全局搜索能力。

3 应用实例

3.1 人水和谐度评价指标体系

建立科学合理的人水和谐度评价指标体系和分级标准，对于客观评价区域人水和谐状况，有针对性地提出提升人水和谐度水平的应对策略和保障措施，协调处理好水资源开发与保护之间、水资源管理与经济社会发展之间关系具有重要意义。由于人水和谐论形成时间在2006年以后，提出时间较晚，其相关概念、内涵、理论等尚未统一认识，也未形成普遍认同的人水和谐度评价指标体系和分级标准。本文参考文献[3,7-8,17]，以文山州2006-2018年人水和谐度评价为例，从水资源、经济社会、生态环境3方面遴选16个指标构建由目标层A、准则层B 和指标层C组成3级人水和谐度评价指标体系和分级标准，并结合文山州2006-2018年各指标历史数据，合理确定人水和谐度评价分级标准阈值及各指标上下限值，见表2。其中，C1、C15、C16为定性指标，采用调查问卷的方式进行专家打分获得；其余指标为定量指标，数据来源于历年文山州水资源公报和文山州统计年鉴等。

表1 函数优化对比结果

3.2 研究区概况与数据来源

文山州位于云南省东南部，全州总面积31 456 km2，分属珠江、红河两大流域，水资源总量156.3×108m3。2018年全州人均GDP 2.36×104元，人均水资源量4 452 m3，城镇化率42.7%，人均年供水量281 m3。

由于文山州特殊的地理位置、地形地貌和经济社会发展水平，提升区域人水和谐度水平面临以下困难：

(1)文山州水资源总量虽然丰富，但开发利难度大、成本高、边际效益低，区域降水量和径流量的年际变化大，水旱灾害频繁和水资源供需矛盾突出。

(2)文山州属边疆少数民族地区，经济社会发展相对滞后，人均GDP仅为2018年全国人均GDP的40%，城镇化率不到45%。

(3)文山州河道外生态环境用水率和水系统抗干扰能力低，亲水景观建设滞后，生态环境质量有待进一步提升。限于篇幅，指标数据从略。

3.3 NFA-PP评价模型

3.3.1 投影寻踪(PP)技术 投影寻踪技术简要算法如下[10-11]：

(1)数据预处理。参考文献[10-11]对正向、负向指标进行归一化处理。

(2)构造各指标投影值z(i)函数：

(10)

式中:a为单位长度向量。

(3)确定待优化目标函数Q(a)：

(11)

式中:Sz为投影值z(i)的标准差；Dz为投影值z(i)的局部密度。Sz、Dz表达式参见文献[10]。

表2 区域人水和谐度评价指标体系及分级标准

3.3.2 NFA-PP评价实现步骤 NFA-PP人水和谐度评价实现步骤归纳如下：

Step1依据表2，在评价指标标准阈值间随机生成数据样本，对样本进行归一化处理，构建区域人水和谐度评价待优化目标函数Q(a)，利用NFA对Q(a)投影向量进行优化求解。

Step2 参数设置。设置萤火虫数量为Np=100，并将Np划分为两个数量相同的雄性萤火虫子群和雌性萤火虫子群；设置问题维度D=16，搜索空间范围[-1,1]，最大吸引度β0=1，光强吸收系数γ=1，突变系数α=0.25，最大迭代次数T=100。利用公式(1)随机初始化雄性萤火虫和雌性萤火虫位置，令当前迭代次数t=1。

Step3计算所有萤火虫适应度值；找出最佳萤火虫个体gbest。

Step4利用公式(3)判别雄性萤火虫飞行方向；利用公式(4)更新雄性萤火虫位置。

Step5 计算雄性萤火虫适应度值；找出最佳雄性萤火虫个体xbest。若xbest适应度值优于gbest，则保留xbest为最佳萤火虫个体，否则保留最佳萤火虫个体gbest。

Step6 利用公式(6)更新雌性萤火虫位置，找出最佳雌性萤火虫个体ybest。若ybest适应度值优于gbest，则保留ybest为最佳萤火虫个体，否则保留最佳萤火虫个体gbest。

Step8 令t=t+1，判断算法是否达到终止条件，若是，输出最佳萤火虫位置，算法结束；否则重复Step4～Step8。

Step9输出NFA最优解gbest，即最佳投影向量a。对实例2006-2018年人水和谐度评价指标数据及分级标准阈值进行一致性处理，利用最佳投影向量a计算文山州各年度投影值z(i)及各分级标准阈值投影值z(k)(k=5，为评价分级数)，利用分级标准对实例2006-2018年人水和谐状况进行评价。

3.4 模型求解

基于文山州2006-2018年人水和谐度评价指标构建人水和谐度评价待优化投影目标函数Q(a)，利用NFA优化求解Q(a)最佳投影向量a。经求解，投影向量a=(0.2575 0.2733 0.2403 0.2371 0.2340 0.2437 0.2469 0.2617 0.2364 0.2507 0.2612 0.2699 0.2425 0.2493 0.2463 0.2450)。

3.5 评价结果与分析

依据NFA-PP人水和谐度评价模型实现步骤，利用投影向量a计算文山州2006-2018年投影值z(i)及各分级标准阈值投影值z(k)。经计算，文山州2006-2018年人水和谐度评价综合投影值见表3。人水和谐度评价5个等级划分标准分别为：z1级/和谐>2.8511，z2级/较和谐∈(2.1944, 2.8511]，z3级/基本和谐∈(1.5352, 2.1944]，z4级/不和谐∈(0.8945, 1.5352],z5级/级不和谐≤0.8945。依据分级划分标准得到文山州各年度人水和谐度评价结果，并与模糊综合评价法评价结果进行比较，见表3。

表3 2006-2018年文山州人水和谐度评价投影值及评价结果对比

从表3可以得出以下结论：

(1)从NFA-PP模型评价结果来看，2006-2011年文山州人水和谐度评价为“不和谐”，2012-2016年评价为“基本和谐”，2017-2018年评价为“较和谐”。采用Man-Kendal1秩次相关法对文山州2006-2018年人水和谐度投影值的Kendall统计量|M|进行计算。经计算，统计量|M|值为4.50，大于置信水平0.05时的相应临界值1.96，表明文山州2006-2018年人水和谐度水平呈上升趋势，且上升趋势显著。

(2)从表3评价结果来看，NFA-PP模型评价结果与模糊评价法评价结果仅在2011年上存在1个等级的差异，2种方法评价结果基本一致。从具体评价数据来看，2008年投影值要大于2009年和2010年，其原因在于2008年属丰水年份，年降水量1 386.8 mm，高于2009年的812.9 mm和2010年的933.0 mm，降水量大小对产水量模数、人均水资源量、人均供水量、河道外生态用水比例和水功能区达标率等指标产生直接影响。2006-2011年，文山州水资源管理水平、经济社会发展、生态环境质量虽然得到逐年增长或提升，但总体人文系统和水系统协调程度低，人水和谐度评价为“不和谐”符合客观实际；2012-2016年，随着文山州经济社会的快速发展、节水型社会建设的持续推进和最严格水资源管理制度的贯彻落实，人水和谐度水平得到进一步提升，和谐度评价为“基本和谐”较为客观；2017-2018年，随着文山州河长制工作的有效开展、水生态文明建设和最严格水资源管理工作的稳步推进，人水和谐度水平得到较大提升，和谐度评价为“较和谐”符合现状。

(3)从文山州人水和谐度评价变化趋势来看，虽然文山州2006-2018年人水和谐度水平得到了显著提升，但囿于文山州地处西南边陲，经济社会发展水平相对滞后；水资源开发利用难度大、管理水平不高，亲水景观建设滞后，水系统抗干扰能力弱，加之降水时空分布不均，水环境污染日趋严峻等等，文山州人水和谐水平距“和谐”尚有一定差距。

4 结 论

(1)介绍了新型萤火虫算法(NFA)，选取国际通用的8个典型测试函数对NFA进行仿真验证，并与TLBO、WOA、GWO和基本FA的仿真结果进行比较。结果表明：NFA寻优效果优于TLBO、WOA、GWO算法，显著优于基本FA，具有较好的寻优精度全局搜索能力。

(2)从水资源、经济社会、生态环境3个方面遴选16个指标构建区域人水和谐度评价指标体系和分级标准，在各评价指标标准阈值间随机生成数据样本构造投影目标函数，利用NFA搜索目标函数最佳投影向量，提出NFA-PP人水和谐度评价模型，以文山州2006-2018年人水和谐度评价为例进行实例研究，评价结果与模糊评价法的评价结果进行对比，验证了本文方法的可行性和有效性。

(3)从NFA-PP模型实例评价结果来看，文山州2006-2011年人水和谐度评价为“不和谐”，2012-2016年评价为“基本和谐”，2017-2018年评价为“较和谐”。2006-2018年文山州人水和谐度水平呈上升趋势，且上升趋势显著。下步建议在区域最严格水资源管理、水生态文明建设、河长制等工作中融入人水和谐论。