含参DC复合优化问题值函数的Fréchet次微分*

肖程凤，胡玲莉

(吉首大学数学与统计学院，湖南 吉首 416000)

1 问题的提出

约束优化问题在最优化理论中占重要地位.许多学者研究了目标函数是凸或DC函数、约束条件是任意多个(可能无限)凸或DC不等式的约束优化问题，得到了相应的Farkas引理、Lagrange对偶及最优性条件等结论[1-6].

(1)

其中几何约束为

F(x)∶={y∈Y:(x，y)∈C}，

(2)

不等式约束为

G(x)∶={y∈Y:ft(x，y)≤0，t∈T}.

(3)

当φ为单位算子时，Dinh等[6]在f，g，ft(t∈T)是下半连续函数、C是闭集的情况下，通过闭性条件建立了含参DC优化问题值函数的Fréchet次微分的上估计；方东辉等[7]在函数不一定下半连续、集合不一定是闭集的情况下，利用弱于文献[6]中闭性条件的约束规范条件建立了值函数Fréchet次微分的上估计.受这些研究的启发，笔者拟引入新的约束规范条件，建立(1)～(3)式中定义的值函数的Fréchet次微分的估计式.

2 记号与定义

Z⊕∶={x*∈X*:〈x*，x〉≥0，∀x∈Z}，

凸子集D在点z0∈D的法锥定义为

N(z0;D)∶={x*∈X*:〈x*，z-z0〉≤0，∀z∈D}.

对于X上的子集族{St:t∈T}，约定∩t∈ØSt=X.

设f是X上的广义实值函数，定义f的有效定义域、上图和共轭函数分别为

domf∶={x∈X:f(x)<+∞}，

epif∶={(x，r)∈X×R:f(x)≤r}，

f*(x*)∶=sup{x*，x-f(x):x∈X} ∀x*∈X*.

显然，epif*是弱*闭集.当f是凸函数时，f在点x∈domf的次微分定义为

∂f(x)∶={x*∈X*:f(x)+〈x*，y-x〉≤f(y)，∀y∈X}.

当∂f(x)≠Ø时，称f在点x次可微.特别地，由法锥定义可知N(x;Z)=∂δZ(x)，∀x∈Z.一般地，f∶=f(x，y)在点(x，y)相应的偏次微分分别表示为∂xf(x，y)和∂yf(x，y).设Ω⊆X×Y，点(x，y)∈Ω，则法锥N(x;Z)相应的投影分别为

NX((x，y);Ω)∶={x*∈X*:∃y*∈Y*s.t.(x*，y*)∈N((x，y);Ω)}，

NY((x，y);Ω)∶={y*∈Y*:∃x*∈X*s.t.(x*，y*)∈N((x，y);Ω)}.

domG∶={x∈X:G(x)≠Ø}，

gphG∶={(x，y)∈X×Y:y∈G(x)}.

φ(tx1+(1-t)x2)≤Ktφ(x1)+(1-t)φ(x2)，

则称函数φ是K-凸函数.设φ:X→R∪{±∞}是实值延拓函数，x0∈domφ且满足|φ(x0)|<+∞.根据文献[8]，定义φ在点x0的ε次微分为

(4)

3 值函数Fréchet次微分估计

设

M(x)∶={y∈F(x)∩G(x):μ(x)=(f∘φ)(x，y)-g(x，y)}.

若无特殊说明，均假设dom(f∘φ-g)∩A≠Ø，domM≠Ø.用T(x0，y0)表示点(x0，y0)∈X×Y的活动指标集，即T(x0，y0)∶={t∈T:ft(x0，y0)=0}.定义(x0，y0)∈gphM和y*∈Y*的KKT乘子集为

(5)

为了研究含参DC复合优化问题的值函数的Fréchet次微分的上估计式，引入以下约束规范条件：

定义1(ⅰ)设点(x0，y0)∈dom(f∘φ-g)∩A，若

(6)

则称系统{f，φ，g，δC;ft:t∈T}在点(x0，y0)满足F-(BCQ)条件.

(ⅱ)设点(x0，y0)∈A，若

则称系统{δC;ft:t∈T}在点(x0，y0)满足(BCQ)条件[9].

(ⅲ)设点(x0，y0)∈A∩φ-1(domf)，若

(7)

则称系统{f，φ，δC;ft:t∈T}在点(x0，y0)满足(CBCQ)条件[10].

引理1[10]假设存在点(x0，y0)∈φ-1(domf)∩intA，使得f在φ(x0，y0)处连续，或存在点(x0，y0)∈φ-1(domf)∩A，使得f在φ(x0，y0)处连续且φ在(x0，y0)处连续.若系统{δC;ft:t∈T}在点(x0，y0)满足(BCQ)条件，则系统{f，φ，δC;ft:t∈T}在该点满足(CBCQ)条件.

命题1设(x0，y0)∈A，若系统{f，φ，δC;ft:t∈T}在点(x0，y0)满足(CBCQ)条件，则系统{f，φ，g，δC;ft:t∈T}在该点满足F-(BCQ)条件.

又(7)式成立，故

于是(6)式成立，结论得证.

由引理1和命题1可得以下推论：

推论1假设存在点(x0，y0)∈φ-1(domf)∩intA，使得f在φ(x0，y0)处连续，或存在点(x0，y0)∈φ-1(domf)∩A，使得f在φ(x0，y0)处连续且φ在(x0，y0)处连续.若系统{δC;ft:t∈T}在点(x0，y0)满足(BCQ)条件，则系统{f，φ，g，δC;ft:t∈T}在该点满足F-(BCQ)条件.

定理1若系统{f，φ，g，δC;ft:t∈T}在点(x0，y0)∈gphM满足F-(BCQ)条件，则对于∀γ>0，有

(8)

μ(x)-μ(x0)-〈u*，x-x0〉+γ‖x-x0‖≥0 ∀x∈x0+ηB.

(9)

注意到点(x0，y0)∈gphM，则有μ(x0)=f(φ(x0，y0))-g(x0，y0).对于任意点(x，y)∈A，有μ(x)≤f(φ(x，y))-g(x，y).结合(9)式可知，对于任意点(x，y)∈A∩((x0+ηB)×Y)，有

f(φ(x，y))-g(x，y)-f(φ(x0，y0))+g(x0，y0)-〈u*，x-x0〉+γ‖x-x0‖≥0.

(10)

h(x，y)∶=f(φ(x，y))-g(x，y)-〈u*，x-x0〉+γ‖x-x0‖，

则由(10)式可知

h(x0，y0)≤h(x，y)，∀(x，y)∈A∩((x0+ηB)×Y).

由(4)式可得

(11)

注意到点(x0，y0)是集合(x0+ηB)×Y的内点，故该集合的示性函数在点(x0，y0)连续，从而

(12)

根据函数h的定义和文献[1]中的命题2.2，可得

(13)

结合(11)～(13)式和系统{f，φ，g，δC;ft:t∈T}在点(x0，y0)满足F-(BCQ)条件，可得

(u*+x*，y*)+N((x0，y0);C)+

注意到对于∀t∈T，有

∂ft(x0，y0)⊆∂xft(x0，y0)×∂yft(x0，y0)，

N((x0，y0);C)⊆NX((x0，y0);C)×NY((x0，y0);C)，

结合(5)式可知

故(8)式成立.证毕.

由定理1可得如下推论:

推论2设x0∈domM，y0是含参DC复合优化问题

min(f∘φ)(x0，y)-g(x0，y)

s.t.y∈F(x0)∩G(x0)

(14)

(15)

由定理1、命题1、推论2和引理1，可得以下结论：

推论3若系统{f，φ，δC;ft:t∈T}在点(x0，y0)∈gphM满足(CBCQ)条件，则对于∀γ>0，(8)式成立.

推论5设(x0，y0)∈gphM∩φ-1(domf)∩intA.若函数f在φ(x0，y0)处连续，系统{δC;ft:t∈T}在点(x0，y0)满足(BCQ)条件，且

则对于∀γ>0，(8)式成立.

注1令φ为单位算子，则(1)式可以转化为文献[7]中的值函数，即

此时，本研究中的F-(BCQ)条件转化为文献[7]中的F-(BCQ)条件，即

由此可知，定理1推广了文献[7]中的结论.