关于分数阶q-多项式生成函数的注记

蔡利平，曹 健

(杭州师范大学理学院，浙江 杭州 311121)

0 引言

分数阶q-积分作为描述经典物理及其相关理论的数学分析工具，在数学，物理，工程科学[1-2]等诸多领域起着重要作用，通过分数阶q-积分的角度研究分数阶q-多项式的生成函数是探索特殊函数的一个有效途径.在这篇文章中，首先介绍一下q-级数的一些相关定义：

和(a1,a2,…,am;q)n=(a1;q)n(a2;q)n…(am;q)n，其中m是一个正整数，n是一个非负整数或∞.

q-二项式系数和q-二项式定理[3]：

Riemann-Liouville分数阶q-积分算子[5]：

(2)

Predrag-Sladjana-Miomir[6]得到了以下的分数q-恒等式.

命题1[6]设α∈R+,λ,λ+α∈R{-1,-2,…}，那么

其中Pλ(x,a)=xλ(a/x;q)λ=(x-a)(x-aq)(x-aq2)…(x-aqλ-1).

命题2[7]设α∈R+,0

(3)

定义1若α∈R+,k+α∈R{-1,-2…},我们有

(4)

注记在定义1中，令y=0，等式(4)变为等式(3).

接下来的文章，在第2部分中，我们用q-差分方程的方法给出了Predrag-Sladjana-Miomir拓广多项式和Al-Salam-Carlitz多项式的混合生成函数；在第3部分中，我们得出了Srivastava-Agarwal类型的Predrag-Sladjana-Miomir生成函数；在第4 部分中,我们得到了Predrag-Sladjana-Miomir多项式与罗杰斯多项式的混合生成函数；在第5 部分中，我们得到了U(n+1)型的Predrag-Sladjana-Miomir生成函数.

1 Predrag-Sladjana-Miomir和Al-Salam-Carlitz多项式的混合生成函数

Al-Salam-Carlitz多项式[8]在正交多项式中起着至关重要的作用，在函数、量子群和编码理论等众多领域中都有广泛的应用和推广.广义的Al-Salam-Carlitz多项式[10]

Al-Salam-Carlitz多项式的生成函数[10-11]

(5)

(6)

在这一部分中，我们用q-差分方程的方法给出了Predrag-Sladjana-Miomir拓广多项式和Al-Salam-Carlitz多项式的混合生成函数.

定理1设α∈R+,0

(7)

定理2设α∈R+,0

(8)

推论1[7]设α∈R0,0

(9)

(10)

注记在定理1与定理2中，令(y,s,t,u,v)=(0,0,0,s,t)，等式(7)和等式(8)可变为等式(9)和等式(10).

引理1设α∈R+,0

(11)

证明引理1等式(11)的左边等价于

化简后等于等式(11)的右边，证毕.

引理2[11]设f(r,s,t,u,v) 是一个含有5个参数的函数，且(r,s,t,u,v)=(0,0,0,0,0)∈C3.

u[f(r,s,t,u,v)-(1+q-1t)f(r,s,t,u,qv)+q-1vf(r,s,t,u,q2v)]=

v{[f(r,s,t,u,v)-f(r,s,t,qu,v)]-(r+s)[f(r,s,t,u,qv)-f(r,s,t,qu,qv)]+

rs[f(r,s,t,u,q2v)-f(r,s,t,qu,q2v)]}.

(12)

(13)

q-1u[f(r,s,t,u,v)-(1+q-1t)f(r,s,t,u,qv)+q-1vf(r,s,t,u,q2v)]=

v{[f(r,s,t,u,v)-f(r,s,t,q-1u,v)]-(r+s)[f(r,s,t,u,qv)-f(r,s,t,q-1u,qv)]+

rs[f(r,s,t,u,q2v)-f(r,s,t,q-1u,q2v)]}.

(14)

则可以得到

f(r,s,t,u,v)=∑∞n=0ηn·Ψ(r,s;t)n(u,v|q).

其中μn,ηn与变量r,s,t,u,v无关.

证明定理1令

(16)

由An和A0之间的关系，我们可根据等式(16)逆迭代得到

(17)

令等式(18)中u=0 ，由等式(11),我们得到

从而f(r,s,t,u,v) 等于等式(7)的左边，证毕.同样的，我们也可以推导出等式(8).定理2得证.

2 Srivastava-Agarwal类型的Predrag-Sladjana-Miomir生成函数

在这一部分中，我们利用分数阶q-积分得到了Srivastava-Agarwal类型的Predrag-Sladjana-Miomir生成函数.

引理3[12]设max{|t|,|xt|}<1,我们有

(19)

引理4[7]设α∈R+,0

(20)

(21)

定理3设α∈R+,0

注记令λ=0,等式(22)可变为等式(11).令y=0,等式(22) 可推出等式(21).令λ=y=0,等式 (22)可变为等式 (20).

引理5[3]设max{|x|，|b|，|c|}<1,则有

(23)

证明定理3等式(22) 的左边等价于

上式通过等式(20)化简后，等于等式(22)的右式，证毕.

3 Predrag-Sladjana-Miomir多项式与Rogers-Szegö多项式的混合生成函数

Rogers-Szegö 多项式[13]

(24)

在正交多项式的研究中有很重要的应用，它的推广生成函数

在这一部分我们得到了Predrag-Sladjana-Miomir拓广多项式与Rogers-Szegö多项式的混合生成函数.

定理4设α∈R+,0

(25)

定理5设α∈R+,0

(26)

推论2[7]设α∈R+,0

(27)

注记在定理4中，令(y,w,s,t)=(0,t,s/t,rs/t)，等式(25) 可变为等式(27).

引理6设α∈R+,0

(28)

证明定理4等式(25) 的左式等价于

通过等式(28)化简后，等于等式(25)的右式.同样的，我们可以推导出等式(26).定理5得证.

4 U(n+1)型的Predrag-Sladjana-Miomir生成函数

许多学者已经建立了超几何级数与U(n+1)群之间的关系，详细内容可参阅[14-17].

Milne 研究了经典的贝利变换和贝利引理的U(n+1)型推广的理论和应用，其中还包含了非终止U(n+1)的二次项定理的推广.

命题3[17]若b,z和x1,…,xn都是不确定的值，并且n≥1.假设下列恒等式中没有一个分母消失，且0

(29)

其中e2(y1,…,yn) 是关于{y1,…,yn}的初等对称函数.

在这一部分中，我们得到了U(n+1)型的Predrag-Sladjana-Miomir生成函数的推广.

定理6若x,y和x1,…,xn都是不确定的值，并且n≥1.假设下列恒等式中没有一个分母消失，且0

(30)

其中e2(y1,…,yn) 是关于 {y1,…,yn}的初等对称函数.

注记在定理6中，令 (α,x,y)=(0,1,b) ,等式(30) 可变为等式(29).

(31)

在等式(31)中，利用引理4和等式(11)，经过化简后等价于等式(30)的右边，证毕.