层状边坡岩体的屈曲和溃屈性态研究

陈笑楠，张慧梅，周洪文

(1.西安科技大学力学系，陕西 西安 710054；2.上海应用技术大学城市建设与安全工程学院，上海 201418)

在层状边坡岩体结构稳定性分析中，屈曲是针对结构分岔变形的，溃屈是针对材料强度破坏的[1-2]。从这个角度讲，边坡岩体结构的稳定性是关于材料和结构的稳定性，或关于材料和结构的不稳定性。已有的研究成果和目前的研究进展主要是针对完善结构依据线性理论在屈曲层面上开展探讨[3-5]。

实际上，缺陷结构的临界点与分岔点是不一致的；初始缺陷的主要影响是完善结构的基本状态，对于缺陷结构不是一个临界平衡构形[6]。当人们将从线性理论确定的临界载荷值与实验测得的破坏载荷值比较时，发现平板结构的破坏载荷远高于由线性理论确定的临界载荷，而壳体结构的破坏载荷远低于由线性理论确定的临界载荷。缺陷结构与完善结构的后屈曲性态是大不相同的[6-7]。

采用线性理论的局限性还表现在：由线性理论得到的临界载荷公式是正确的，但以结构模态幅值为摄动参数的后屈曲平衡路径却退化为一条过分岔点的水平线，得出了关于临界点的平衡性态是随遇的、模态幅值是未定的结论却是不正确的[6,8]。由线性理论得出了边坡岩体的临界载荷，却未能判断结构屈曲后平衡状态的稳定性。目前，在边坡工程中通常采用线性理论推导临界载荷公式，用非线性理论介绍边坡岩体平衡状态的稳定性，然后通过大挠度理论屈曲实验和工程应用加以验证[9-10]。边坡工程中岩体结构的分岔屈曲并不意味着其承载能力的丧失，而只是结构稳定性发生改变的分岔特征。只要结构在承载的相关阶段平衡稳定，则可继续加载，直至溃屈破坏[11-14]。

结构稳定性属于几何非线性问题，层状边坡岩体结构的稳定性则是一个由初始缺陷引起的非完善非线性问题。初始后屈曲理论是以结构分岔点附近的邻域为研究对象，基于渐近分析，确定结构邻近分岔点的初始后屈曲模态和平衡路径；应用能量准则，判定结构基本状态、分岔点及邻近后屈曲平衡状态的稳定性[6-8]。突变理论针对结构初始缺陷和突变模型的特点，由结构的分岔集确定缺陷结构的分岔载荷，由平衡曲面的不可达特性描述结构在不同平衡状态之间的转变，由分岔集与平衡曲面之间的对应关系判定结构的稳定与不稳定[15-16]。应用初始后屈曲理论和突变理论研究边坡岩体结构在稳定和不稳定发展的各个阶段的后屈曲性态，其目的就是探讨岩体结构从基本平衡状态到邻近平衡状态再到岩体结构整体溃屈破坏，关注边坡岩体在稳定和不稳定发展的各个阶段岩体材料承载能力的发挥[17-20]。

1 边坡岩体的初始后屈曲

位能增量泛函可表达边坡岩体结构在临界载荷作用下，从基本平衡状态过渡到同一载荷下邻近的运动许可状态后体系位能的增量。对于给定了的边坡岩体屈曲模态函数和脱离底层长度，增量泛函中的各阶变分仅是模态幅值的函数[6,11]。为了确定图1所示的边坡岩体在分岔状态下所承受的载荷和位移，需将泛函的二阶变分在分岔点附近展开为级数，以探讨边坡基本状态附近小邻域的性态,在展开的级数中仅取一阶项，可使边坡岩体结构的非线性稳定性问题线性化。于是，引入基本参数并作近似，且考虑缺陷影响后的位能增量泛函表达如下[11,13]：

F(am,λ)=(λ-λ1)F′2(am)+

Π4(w,am)+Π0(w,am)

(1)

式中:am——模态幅值/m；

w——屈曲模态函数；

λ——载荷因子；

λ1——临界载荷因子；

F′2(am)——二阶变分对载荷因子的偏导数；

Π4(w,am)——泛函的四阶变分；

Π0(w,am)——泛函的零阶余项。

图1 边坡岩体屈曲力学模型Fig.1 Mechanical model of buckling slope rock

式(1)是边坡岩体的位能增量泛函经无量纲化，并引入满足其边界条件的变形模态后得到的；式(1)是近似的，是关于模态幅值和载荷因子的一个二参数函数族。将位能增量泛函中各被积函数按泰勒级数展开，整理并略去四次方以上各项，由F′2(am)及符合边坡岩体边界条件的屈曲模态得式(1)的各项表达式为:

式中:Pk——边坡的临界载荷/kN；

Er——岩层的等效弹性模量/MPa；

I——岩层横截面的惯性矩/m4；

μ——岩层的泊松比。

边坡岩体基本平衡状态附近的平衡构形可由函数F(am,λ)的驻值确定，当驻值为本征最小时，平衡构形是稳定的。为了确定边坡岩体的模态幅值和平衡构形，可利用驻值定理∂F(am,λ)/∂am=0，得平衡模态幅值方程:

(2)

l——边坡脱离底层的长度/m；

q——边坡单位宽度分布载荷/(kN·m-2)；

α——边坡的倾角/(°)。

式(2)的点的集合是一个临界流型，其几何形态是一个平衡曲面。临界流型具有突跳、双模态、不可达等特性[21]。由式(1)知，当λ=λ1时，使模态幅值am减少为零的变形路径是真正的后屈曲平衡路径。

2 边坡岩体的后屈曲性态

位能增量泛函仅在其二次变分中考虑了与载荷因子有关的项，当增量泛函的奇点满足其一阶和二阶导数为零时，可得位能增量泛函奇点的一个子集，即系统状态突变的控制方程：

(3)

式中：D1——分岔集中的正则因子；

D2——分岔集中的剖分因子。

式(3)也称为尖点突变模型的分岔集方程[22]。显然，当D1>0时，即当作用在边坡岩体上的载荷小于分岔载荷时，边坡岩层保持稳定的基本状态。当D1≤0时，即当作用在边坡岩体上的载荷大于分岔载荷，并D1和D2同时满足分岔集时，体系从基本平衡状态到达邻近的平衡状态。将D1、D2代入分岔集方程，得跨越分岔集载荷的增量：

(4)

式(4)以载荷增量的形式给出了分岔点附近的邻域，而跨越分岔点的载荷增量是由初始缺陷确定的，与边坡的长度无关。当边坡岩体处于临界平衡状态时，对于任意的am值，由泛函的二阶变分为零，可得临界载荷Pk。应用与增量泛函二阶变分为零相一致的条件，以及几何边界条件，得载荷参数的最小值λ1=1。因此，由式(4)可确定边坡的分岔载荷：

(5)

式(5)给出了缺陷结构的分岔载荷，表明在与临界载荷相邻的载荷下，缺陷结构的屈曲性态与完善结构是很不相同的。

(6)

(7)

即

(8)

时，边坡岩体的屈曲模态构形平衡稳定。平衡构形的稳定性表明，边坡岩体从基本状态到达邻近的后屈曲状态后还可继续承载，后屈曲平衡路径的性态揭示了后屈曲状态下边坡岩体的平衡稳定性，平衡路径上任一点表达了作用在边坡岩体上的载荷和屈曲后的位移。

3 边坡岩体的稳定性性态

3.1 边坡岩体的屈曲长度

在对层状边坡岩体结构进行稳定性分析时，屈曲是针对结构分岔变形的。随着边坡上部滑动段l0的增加，滑动段所提供的下滑力[23]P=(qsinα-qcosαtanφ-C0)l0，对于确定的边坡上部滑动段长度、岩体材料、以及赋存状况，由式(5)，即边坡岩体的分岔载荷：

(9)

式中：φ——软弱夹层内摩擦角/(°)；

C0——软弱夹层内黏聚力/MPa；

l0——边坡的上部滑动段长度/m。

由式(9)得后屈曲分岔状态下以边坡脱离底层长度表达的分岔方程：

a1l3+b1l2-c1=0

(10)

其中，

用迭代法解式(10)得后屈曲分岔状态下的屈曲长度：

(11)

式(11)确定了分岔状态下边坡脱离底层的长度，表明边坡岩体的上部滑动段长度和脱离底层长度满足了式(11)，岩体结构就从基本平衡状态到达邻近的平衡状态。

由式(11)知，l0愈大，稳定性愈好。为了使式(11)存在有意义的解，根号项必须是非负值。显然，a1>0；当b1<0时，a1l+b1>0，即当

(12)

时，

(13)

边坡岩体才会出现分岔屈曲。式(12)是由边坡赋存状况决定了的上部滑动段的一个阈值或上限；式(13)表达了一定条件下岩体出现分岔的下限。当b1=0，在数值上，表明下滑力由初始缺陷所平衡，由式(9)，此时岩体结构的分岔屈曲完全由其自重实现。

式(13)还是关于l和l0的二元一次不等式，当A>0，B>0，Al+Bl0-C>0表示直线Al+Bl0-C=0在ll0平面右上方的平面区域。

3.2 边坡岩体的溃屈长度

根据岩层渐进性破坏机理[13,24]，随着边坡岩体上部滑动段的滑动，当模态幅值达到一定值时，在岩层幅值横截面边缘出现塑性屈服。随着模态幅值的进一步增大，整个截面发展为塑性区域而形成塑性铰，进而材料屈服，结构失去承载能力，岩体结构出现如图2所示的溃屈破坏。设后屈曲状态下边坡岩体结构幅值截面上出现的塑性极限值为MP，由分岔点载荷和平衡模态幅值确定的弯矩极限值为Mmax=P·am，则由

P·am=MP

(14)

和式(5)、(6)得边坡的溃屈方程

al3-bl2-c=0

(15)

图2 层状边坡岩体的溃屈破坏Fig.2 Buckling failure for bedding slope rock mass

由式(15)可求出边坡的溃屈长度：

(16)

式(16)表达了边坡岩体进入塑性状态引起了岩体结构溃屈，或者说是由于材料的不稳定引起了结构的不稳定，表明材料属性决定着分岔后结构的承载能力。

显然，当c>0，al-b>0，即

(17)

(18)

时，岩体结构才会出现溃屈破坏。式(17)、(18)分别表达了由边坡岩体赋存状况决定了的结构溃屈破坏时岩体材料的阈值或上限，以及脱离底层的下限。式(18)还表示直线l-C=0上方的平面区域。比较式(13)与式(18)知，当l0=0时，屈曲下限与溃屈下限重合。

3.3 边坡岩体的稳定性判据

当作用在边坡岩体结构上的载荷满足分岔方程时，结构从基本平衡状态到达了附近的平衡状态。在模态幅值不断增大的过程中，结构从邻近平衡状态直至发生溃屈破坏。设边坡脱离底层的长度为l，当

l≥l1

(19)

时，边坡岩体结构处于分岔后的溃屈状态。而当

l=l*

(20)

时，边坡岩体发生溃屈破坏。

4 工程算例

霸王山边坡的实际长度为1 462 m，属于中厚层灰岩并夹有黏土层夹层的板裂岩体层状边坡，边坡倾角α=40°，容重γ=27 kN/m3，抗拉、压弹模El=3.2×103MPa，Ec=50×103MPa，泊松比μ=0.25；摩擦角φ=17°，黏聚力C0=0.04 MPa，抗压强度σc=80 MPa，可滑动段长度l0=260 m，岩层厚度h=10 m[25]。

霸王山边坡是一种板裂介质岩体以结构失稳方式破坏的边坡模型。板裂岩体结构的提出，给梁板理论在岩体工程中的应用提供了地质模型。

(1)关于屈曲

由式(12)，赋存状况确定的上部滑动段上限为：

由式(13)上部滑动段确定的分岔屈曲的下限为：

542.59-210.56=332.03 m

由式(11)，边坡岩体的屈曲长度为：

(2)关于溃屈

由式(17)，赋存状况确定的岩体材料取值范围为：

由式(18)，赋存状况确定的溃屈破坏下限为：

由式(16)，边坡岩体的溃屈长度为：

边坡岩体的溃屈破坏，表明岩体材料属性决定着分岔后结构的承载能力。

算例表明：边坡岩体在脱离底层长度332.03 m之前不会出现分岔屈曲，在脱离底层长度542.79 m之前不会出现溃屈破坏。当边坡岩体的上部滑动段为260 m时，满足岩体结构后屈曲分岔条件，遂得出脱离底层长度为820.86 m，边坡岩体从基本状态到达分岔后的平衡状态；当边坡岩体的屈服极限为80 MPa时，满足溃屈长度大于542.79 m之后发生溃屈破坏的条件，确定了边坡脱离底层的长度为904.50 m，岩体结构由屈曲状态发展为溃屈破坏。边坡岩体结构由分岔点失稳发展为极值点失稳。图3给出了工程算例中的相关数据。

图3 工程算例Fig.3 An engineering example

5 结论

边坡岩体的屈曲是其基本状态附近的邻近状态。根据边坡岩体的赋存状况和初始缺陷，可判定岩体结构是否会出现屈曲，利用分岔方程可确定边坡岩体的屈曲长度，并进一步确定边坡岩体的模态幅值。

边坡岩体的溃屈是岩体材料不稳定引起的结构整体失效。根据边坡岩体的赋存状况和材料特性，可确定边坡溃屈破坏时岩体材料的阈值，判定岩体出现溃屈破坏的上限或下限，利用分岔载荷、模态幅值和岩体材料可确定边坡的溃屈长度。

边坡岩体分岔后出现了结构几何非线性和材料物理非线性的耦合作用，使得确定岩体结构从失稳到失效演化过程中所遇到的困难比在弹性稳定后屈曲理论中大得多。本文探讨层状边坡岩体结构的稳定性也是针对具体模型或具体结构进行的，有关材料弱化和损伤演化等后屈曲稳定性的一般理论还有待于进一步探讨。