基于生长数学下的学生思维培养研究

杨利金

摘 要：在数学教学中，我们需要培养学生的思维，以发展学生的数学素养。本文通过对数学知识的生长，以浙教版九上“3.5圆周角（1）”为例，引导学生在数学学习中会发现问题，解决问题，从而能找到内在逻辑，充实自己的数学知识结构，完善知识体系。

关键词：生长数学 理解 知识链

中图分类号：G633文献标识码：A文章编号：1003-9082（2020）03-0-02

在四基落地，素养生根的时代下，作为初中的数学教育者需要面临很多挑战。在数学教学过程中，我们不但需要让学生能获得基本的知识和经验，更重要的是需要给学生在获得技能的同时培养学生的基本素养，这个获得需要在教学中，教师能挖掘知识潜在的价值和内涵，也就是我们让学生在学习数学的过程中根据数学知识的生长，用以得到思维的发展和完善，然后给学生终身受益的过程。下面以浙教版九上“圆周角”为例，进行阐释。

一、生长数学下的数学研究

1.提出新知概念，获得研究对象

“圆周角”这个知识内涵中蕴含了数量与位置关系，这个辩证关系在先前的学习中可以说出现过很多的，比如在同一平面内的两条直线的关系——相交中的特殊关系垂直和平行，都是揭示了数量和位置之间的辩证统一。在教学中如何提出圆周角的概念？笔者在教学过程中也思考过以下四个思路：思路1：利用实际问题（灯光问题）构造圆心角和圆周角的图形，借机通过类比得到概念;思路2：把圆周角看成是两条弦的特殊位置关系：含公共端点的情况时的图形;思路3：给出圆心角，利用改变圆心角角的顶点的位置得到圆周角，类比得出概念;思路4：作三角形的外接圆。但最终基于生长数学下，还是采用类比圆心角得出圆周角，在学生的思维链上容易理解。

2.探究发现定理，确定研究内容

在学习“圆周角”之前，学生已经具有有序的形和本源的形的理解，在符合学生认知发展的规律上来说，学习这个定理是螺旋上升的。但是学生积累的圆的知识还是不够多，需要教师一定的教学引导。定理中有个前提是一条弧，也就是要同弧。 所以我们认为弧可能是提出圆周角定理的关键桥梁。

变化中（位置）的不变性（角度）是由于它们所对的弧是同一条引起的。 从而去猜想圆周角与其所对弧的度数之间可能存在某种数量关系;弧的度数是通过其所对圆心角的度数来刻画的，由此联系在一起。

3.精准学习内容，制定研究方法

我们选择的是几何定理研究的一般方法：“实验（测量）——猜想——验证——证明”的方式进行定理的探究过程。蕴含着从特殊到一般的思想。在特殊中进行猜想，在一般中进行证明。这个过程中需要将无限转化为有限的过程，形成新的学习经验。

二、教学研究下的教学设计

1.内容解析

圆周角（第1课时），是在圆的有关知识、圆心角的概念和性质上对圆周角的概念学习、圆周角与圆心角关系的探索。在研究圆与其它平面图形中起着桥梁和纽带作用。

2.目标解析

2.1理解圆周角的概念。

2.2经历探索圆周角与圆心角之间关系的过程。

2.3了解并证明圆周角定理及其推论。

2.4能简单应用圆周角定理及其推论。

3.重、难点分析

探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系;了解并证明圆周角定理及其推论是重点。

经历探索圆周角与圆心角之间关系的过程，同时证明圆周角定理需要“分类讨论”，是本节课的难点。

4.流程概述

问题一：图1哪一个是圆心角？

问题二：图1中的第2个图与圆心角在位置上有什么相同点和不同点？

图1

设计意图：从“数学内在的逻辑”引入课题，通过“圆心角”来类比“圆周角”，得出圆周角的概念，符合学生的认知发展，也是在学生已有基础上，马上能习得的知识，也为后续学习埋下伏笔。

问题三：找出图2中所有的圆周角。

设计意图：根据几何研究路径：定义——判定——性质——应用的知识链来研究。概念辨析，达成目标：能说出圆周角的定义，会画出一条弧所对的圆周角，能在具体的情境或较复杂的图形中辨认出同弧或等弧所对的圆周角。

问题四：如何来研究性质：在所给的圆中画出圆周角，量一量大小，并猜一猜其中的规律。

设计意图：通过画和量，让学生感受一条弧所对的圆周角有无数条，但是圆心角却是唯一的，所以引发学生内心认知冲突，将圆周角的大小刻画通过研究圆心角来判断。并通过猜测，引起学生兴趣，激发证明的欲望。

问题五：验证这条弧对的无数个圆周角的度数。

设计意图：这个过程是学生经历实验——猜想——验证——证明中的证明过程。如何将无数个圆周角化归为有限个角，需要学生学会这个分类标准。利用几何画板，引导学生利用圆心进行分类，确定角的位置。第一类：圆心在圆周角一边上;第二类圆心在圆周角的内部;第三类圆心在圆周角的外部。

由圆的轴对称性联想到把硬纸片对折、发现过圆周角的顶点C作辅助线“直径”，可以把第二、第三类情况转化为第一类来验证。

设计意图：通过证明圆周角的大小，在无限到有限的过程中，能培养学生思维的严谨，缜密，为后续思维的生长奠定了良好的基础。

问题六：半圆所对的圆周角是多少？直径所对的圆周角是多少？

设计意图：通过练习让学生巩固应用圆周角的性质，从而得出圆周角定理的推论。

问题七：课堂小结

设计意图：通过黑板框架图的呈现，让学生一目了然本节课内容，并赋予学生思考几何问题的一般路径。

三、教学设计下的教学反思

1.理解数学是学习的前提条件

章博士指出要理解数学，对于一线教师来说，想要教好学生，先要把数学理解透彻，避免在教学的时候本身对数学理解是一知半解的，那么给学生的也是比较肤浅或者片面的。所以对教材的知识应该弄清楚来龙去脉，从哪里来，到哪里去，一些定理、公式和法則中存在的价值体现需要教师去深入挖掘，只有真正理解其中内涵，才能教好学生，让学生思维得到培养.。

在几何学习上，可以说是横向联系或类比之前或之后所学的知识;纵向理清整一章节的知识体系，突出知识脉络的呈现方式。一线教师应该对课标进行解读，不能让学生在学习数学过程中成为操作者和打工者，而是领跑者和创造者。圆周角这一课时可以说对学习圆和其他平面图形有着非常重要的桥梁作用，在数学理解上教师必须关注知识链的整体设计，让方法、思维形成一条暗线，初“形”串式，一题一线，基本图形的演变，知识形成一条明线，贯穿其中。

2.理解学生是学习的重要机制

课堂教学离开了学生可以说是空的，所以在教育教学中必须关注学生的学习力。每一课时都是需要符合学生的认知发展。在教材中安排的知识是螺旋上升的，但不同的学生学习背景也是不同的，学习能力也存在着差异，所以在教学中可以设计一些前测、后测进行调查学生已有的知识经验和掌握的程度，那么整个课堂就会是高效精准的。学生在学习圆周角之前，已经学习了圆心角的内容，利用旧知，对知识进行衔接、类比新知从而可以顺势而为。当对概念提出后，教师设置了概念辨析，以达到知识的内化，当探究圆周角定理的时候，设计了自己动手操作进行感知，让学生能对知识的理解深刻，随后又进行了精致化的过程，也就是进行了巩固练习，这让圆周角的学习过程完整。实质上理解学生最终还是为了在课堂上怎么教，让学生提高课堂效率。学生的课堂效率能真正提高思维能力。

3.理解教学是学习的根本保障

课堂教学在理解教材和理解学生下，最终体现的是对教学的理解。在课堂上怎么讲，讲什么还是需要一线教师考虑周全的。课堂的精准引导和智慧生产都是需要教师的教育机智的，因为在课堂上会产生一些没有预设的突发事件，这个时候需要教师对教学过程中设计的弹性和预留。

圆周角定理的证明需要分三种情况进行，对于分类标准，学生不易想到。设想是先不分類，在证明定理时，发现一个图形不能概括一般情况时，产生分类的必要性，而对于位置的分类则一般需要参照物，由此去联系与圆心的位置关系作为分类标准。当课堂上有学生以角的大小作为分类标准的时候，即锐角的时候、直角的时候、钝角的时候，这个时候教师需要教育机智，引导学生这两种分类是否有联系，引导学生的思维层次到高阶层去，从而培养了学生的高阶思维。课堂中生成的是学生和老师碰撞智慧的结果，是教学相长的过程，所以说课堂是宝贵的场所，需要珍惜。

4.理解技术是学习的重要补充

在教学过程中，随着媒体技术的发展，我们需要不断的学习，让技术支撑我们的教学，作为教学的重要补充。尤其是几何学习，我们需要动态的演示其中的过程，就会借助几何画板，让学生能一目了然。圆周角定理的探索过程中可以借助几何画板让学生发现角度不变的过程，从而为验证起了非常重要的作用。所以一线教师在教学过程中需要不断地增加自己的源头活水，让学生在思维层面得到显性的理解。

参考文献

[1].义务教育数学课程标准[M].北京：师范大学出版社.2011.