妙用“连心线”巧解“带电粒子在圆形磁场中的运动”问题

摘 要：带电粒子垂直射入圆形有界磁场时，粒子在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，粒子运动的“轨迹圆”与磁场的“边界圆”就会形成两圆相交的几何关系.由圆的几何知识可知，两相交圆关于它们的连心线对称，借助连心线的这一几何特征，就能较为轻松地解决带电粒子在圆形磁场中的运动问题.

关键词：带电粒子;圆形磁场;相交圆;连心线;对称性

文章编号：1008-4134（2020）07-0064中图分类号：G633.7文献标识码：B

作者简介：李玮（1983-），男，甘肃平凉人，本科，中学一级教师，研究方向：高中物理学科教学.

带电粒子在圆形有界磁场中的运动问题是高中物理常见的一类典型问题，解决此类问题的基本思路：定圆心→画圆弧→找关系→求变量.但在教学中常发现学生不能依据圆的几何知识确定圆心，画不出粒子运动的圆弧，问题也就不能有效解决;若学生能够抓住两圆相交时，两圆关于它们的连心线对称，就会发现连心线是公共弦的中垂线、也是两圆心角的角平分线.在解決带电粒子在圆形磁场中的运动问题时，巧妙应用连心线的对称性，就能简化问题，更能快速解答问题，本文通过三道典型例题的分析求解进行了论证说明.

1 两圆相交的几何关系

带电粒子进入圆形有界磁场时，粒子在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，其运动的轨迹圆与磁场的边界圆形成两圆相交的情景如图1、2所示，其中实线圆为磁场圆、虚线圆为轨迹圆.由图1、2可知两圆相交时，圆心O1、O2分布在公共弦AB的两侧或同侧两种情形，在这两种情形下两圆都关于它们的连心线O1O2对称.由对称性可得到以下重要几何关系：

（1）连心线垂直平分公共弦;

（2）连心线平分公共弦所对应的两圆心角.

2 典型例题分析

带电粒子射入磁场的方向不同时，粒子运动的轨迹也有所不同.本文选取粒子沿磁场半径方向射入、粒子沿平行磁场直径方向射入和粒子沿与磁场直径成一夹角方向射入磁场的三种典型问题进行分析求解，旨在说明借助连心线解决此类问题操作方法和连心线的重要几何特性.

2.1 类型一：粒子沿圆形磁场的直（半）径方向射入

例题1 如图3所示，一个电荷量为q（q>0）、质量为m的粒子，由静止经电场加速后沿半径方向进入半径为R的圆形区域磁场，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B，已知粒子射出磁场方向与射入磁场方向的夹角为60°，则加速电场的电压为（不计重力）

A.3qB2R22m B.2qB2R2m

C.5qB2R22m D.3qB2R2m

解析：该题中已知电荷射入磁场的速度方向和射出磁场时速度的偏向角，根据半径与速度垂直关系和连心线是两圆心角的角平分线，分别作出AO的垂线AO′和∠AOB的平分线OO′，则交点O′为电荷运动的轨迹圆的圆心，线段AO′为轨迹圆的半径，作出电荷运动的圆弧如图4所示，在RtΔOAO′中有：AOAO′=tan30°，将AO=R代入解得AO′=3R;设电荷的速度为v，根据洛伦兹力提供向心力有：qvB=mv23R，解得v=3qBRm;再根据电场力对电荷做功有：qU=12mv2，解得U=3qB2R22m，则A选项正确.

2.2 类型二：粒子沿平行于圆形磁场的直（半）径方向射入

例题2 （2013·新课标Ⅰ卷）如图5所示，半径为R的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面（纸面），磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外.一电荷量为q（q>0）、质量为m的粒子沿平行于直径ab的方向射入磁场区域，射入点与ab的距离为R/2.已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为60°，则粒子的速率为（不计重力）

A.qBR2mB.qBRm

C.3qBR2mD.2qBRm

解析：过点c作速度的垂线dc，由题可知cd=R2，则有∠dcO=60°;又由粒子射出磁场的偏向角为60°，根据偏向角等于圆心角的关系可知两相交圆的公共弦与dc的延长线（半径方向）的夹角也为60°，作出公共弦ce，再过点O作ce的垂直平分线OO′，则OO′与dc的延长线的交点O′为粒子运动的轨迹圆的圆心，进而作出粒子运动的圆弧如图6所示.由连心线OO′是∠cO′e的角平分线，可知ΔOcO′为等腰三角形，则有cO′=cO=R;根据洛伦兹力提供向心力有qvB=mv2R，解得v=qBRm，则B选项正确.

2.3 类型三：粒子沿与圆形磁场的直（半）径方向成一夹角射入

例题3 如图7所示，平面直角坐标系中存在一个垂直于纸面向里的圆形磁场区域，该圆形区域的圆心是坐标系的原点O，半径为R.一带电粒子从P点（O，R）射入磁场，粒子的速度方向与y轴负方向成60°，速度大小为υ.粒子在磁场中偏转后，从圆形磁场区域的某点沿x轴负方向离开磁场.已知带电粒子的质量为m，电荷量为-q，粒子的重力不计.试求：（1）匀强磁场的磁感应强度B的大小;（2）带电粒子离开磁场的位置坐标;（3）带电粒子在磁场中运动的时间.

解析：（1）过点P分别作速度方向的延长线PE和垂线PF，则有∠FPO=30°;又由粒子沿x轴负方向离开磁场，则粒子在磁场中运动的偏向角为150°，圆弧所对圆心角为150°;再根据相交两圆关于其连心线对称可判断两圆心与两圆交点构成的四边形为菱形.过点O作PF的平行线OD，点D为OD与磁场边界圆的交点;再过点D作y轴的平行线O′D，点O′为O′D与PF的交点，也为粒子运动的轨迹圆的圆心，进而作出粒子运动的轨迹圆如图8所示（虚线圆）;连接O′O和PD，它们互相垂直平分，则有PO′=PO=R，又由洛伦兹力提供向心力有qυB=mv2R，解得v=qBRm;（2）过点O′作PO的垂线O′H，在ΔPHO′中有O′H=O′P·sin30°=R2，PH=O′P·cos30°=3R2，则带电粒子离开磁场的位置坐标为（-R2，-3R2）;（3）带电粒子在磁场中运动的周期T=2πmqB，又粒子在磁场中运动的圆心角为150°，则粒子运动的时间t=150°360°×T=5πm6qB.

3 小结

本文通过对两相交圆的几何关系进行分析，明确了连心线对称性特征，从而得到了连心线既是公共弦的中垂线，又是圆心角的角平分线，借助连心线的这两个几何关系，对带电粒子沿三个不同方向射入圆形磁场的运动问题进行了分析求解，旨在强调连心线的重要应用和解决带电粒子在圆形磁场中运动问题的求解方法.

参考文献：

[1]周峰.带电粒子在圆形磁场中运动的几个结论[J].中学物理教学参考，2014（11）：33-35.

[2]魏安辉.带电粒子在圆形磁场中的运动[J].湖南中学物理，2014（03）：90-91.

[3]王恒荣.圆形有界磁场中三个有用的结论[J].中学物理教学参考，2012（10）：48-50.

[4]吕未寒.带电粒子在圆形有界匀强磁场中的圆周运动[J].物理教学，2009（10）：43-45.

（收稿日期：2020-01-13）