用好模拟题，快速提升复习效率

王丹

摘要：又是一届高三复习，在一轮快要结束，模拟考试接踵而至的时候，怎样用好模拟试题，有针对性的调整复习策略，快速提升复习效率是之后的复习要想的、要做的。

关键词：反思复习策略函数的性质学生主体性参与

中图分类号：G632.479文献标识码：A文章编号：1992-7711（2020）04-073-2

7月8号、9号我校高三第一次模拟考试数学文科卷中有这样一道试题：

问题：对于函数f（x），若f（x0）=x0，则称x0为f（x）的“不动点”，若f[f（x0）]=x0，则称x0为f（x）的“稳定点”。函数f（x）的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A={x︱f（x）=x}，B={x︱f[f（x）]=x}

（1）设函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），且A=Φ，求证：B=Φ;

（2）设函数f（x）=3x+4，求集合A和B ，并分析能否根据中的结论判断A=B恒成立？若能，请给出证明，若不能，请举一反例。

一、考后试卷讲评

教师：这次考试的第20题得分率“超低”，其它的试题带有一定的方向性和模式化。打个比方，我们做过的复习如同为你准备了一个工具箱：榔头，钳子、螺丝刀、扳手、电笔等等。但是这道题，有同学翻遍了自己的工具箱，找不到合适的工具去解决。现在老师将为数不多的同学的考试时的解答过程以及试卷提供的答案都写在黑板上，请同学们再次反观此题，“难”在何处？

部分学生的解答：

学生1：令f（x）=x，即就是ax2+bx+c=x，A=Φ即就是△=（b-1）2-4ac<0。

再令f[f（x）]=x，即就是a（ax2+bx+c）+b（ax2+bx+c）=x，（应该证明此方程无解，可是化简太繁琐，不知道下面应该怎么做。）

学生2：同上面，令f（x）=x，即就是ax2+bx+c=x，A=Φ，即就是△=（b-1）2-4ac<0。

令t=ax2+bx+c，于是方程a（ax2+bx+c）+b（ax2+bx+c）+c=x变为at+bt+c=0计算其△=（b-1）2-4ac<0。

学生3：假设B≠Φ，则存在x使得方程f[f（x）]=x有解，则与题设A=Φ矛盾，所以假设不成立，原命题成立，∴B=Φ

学生4：f[f（x）]=a[f（x）]2+bf（x）+c=x

即a[f（x）]2+bf（x）+c-x=0又∴x=f（x）

∴a[f（x）]2+（b-1）f（x）+c=0其△=（b-1）2-4ac<0

故B=Φ

学生5：（1）空

（2）集合A={x︱f（x）=x}={-2}，集合B={x︱f[f（x）]=x}={-2}，根据（1）和（2）的结论知A=B成立。因为若f（x）=x则x=f（x）有代入f[f（x）]=x中，又得f（x）=x，故A=B成立。

学生6：（1）同上

（2）集合A={x︱f（x）=x}={-2}，集合B={x︱f[f（x）]=x}={-2}。不能断定A=B成立，取函数y=1x，知集合A={x︱f（x）=x}={-1，1}。集合B={x︱f[f（x）]=x}={x︱x=x}={x︱x≠0，x∈R}，故A≠B。

標准答案为：

（1）由A=Φ得方程ax2+bx+c=x无实数解，则△=（b-1）2-4ac<0。

①当a>0时，二次函数y=f（x）-x，即函数y=ax2+（b-1）x+c的图像恒在x轴的上方。

所以对于任意的x∈R，f（x）-x>0恒成立，

即对任意的x∈R，f（x）>x恒成立，

对于实数f（x），则有f[f（x）]>f（x）成立，

所以对于任意的x∈R，f[f（x）]>f（x）>x恒成立，B=Φ。

②当a<0时，同理易得B=Φ。

综上对于函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），当A=Φ时B=Φ。

（2）集合A={x︱f（x）=x}={-2}，集合B={x︱f[f（x）]=x}={-2}。不能判断集合A=B成立，举例：函数如表中所给

则集合A≠B

学生参与讲评：

将所有本由教师看到的信息暴露到学生眼前，很快，得分率非常低，考试后抱怨此题“太难”的孩子发现了诸多问题：

学生1：标准答案的证明中方程ax2+bx+c=x无实数解，则△=（b-1）2-4ac<0好像对于后面证明当A=Φ时B=Φ就没有多大关系？

学生2：如果想找到一定的联系，应该是将函数看作是二次函数，以利于讨论开口方向。

教师：很好，那如果删去△=（b-1）2-4ac<0的判定，删去a>0和a<0的分类呢？

学生3：

∵A=Φ，所以对于任意的x∈R，f（x）≠x恒成立，

∴对于任意实数x∈R，f（x）-x>0或f（x）-x<0成立，

若f（x）-x>0成立即对于任意x∈R，f（x）>x成立

则对于实数f（x），则有f[f（x）]>f（x）成立，

所以对于任意的x∈R，f[f（x）]>f（x）>x恒成立，B=Φ

若f（x）-x<0时，同理易得B=Φ。

综上对于函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），当A=Φ时B=Φ。

教师：这位同学说的非常好，再反思题本身，在上面的证明中，去掉函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），对于任意函数f（x），都有若当A=Φ时B=Φ。揣测这道题编者的意图，是“多此一举”有意让大家误入对二次函数的“歧途”？还是为了降低抽象度，用具体的事例诠释函数抽象的性质？如果我们必须被引领至对二次方程“根”的判定上，此题又能怎样解答呢？

很長时间，学生陷入沉思。

教师：按照得6分的学生思路，由A=Φ得方程ax2+bx+c=x无实数解，则△=（b-1）2-4ac<0。

那么方程f[f（x）]=x即a[f（x）]2+bf（x）+c=x，此方程如果考虑到上面ax2+bx+c=x无解，即就是f（x）-x=0无解，能否从中获取对方程a[f（x）]2+bf（x）+c=x的化简思路呢？

学生4：老师，是不是方程中再出现一个f（x）-x的因式？

教师：很好，既然想到了，就试一试。

学生4：方程a[f（x）]2+bf（x）+c=x

即[f（x）-x][a2x2+a（b+1）x+ac+b+1]=0

方程a2x2+a（b+1）x+ac+b+1=0的△1=a2[（b-1）2-4ac-4]

所以[f（x）-x][a2x2+a（b+1）x+ac+b+1]=0无解，即B=Φ

教师：完美！再看第二问，对于多数同学来讲，由一次函数f（x）=3x+4，不难求出其集合A={x︱f（x）=x}={-2}，集合B={x︱f[f（x）]=x}={-2}。但是全年级能够大胆猜测集合A与B的关系的同学并没有几个，现在已经不是考试氛围了，大家能不能大胆猜想一下集合A与B的关系？

学生5：从答案中举例的函数可以看出A={1}，B={1，2，3}，应该AB。

教师：这位同学归纳的好，还有没有其他同学想举一些其他的例子？

学生6：我看到老师展示的同学考卷上所举的例子：y=1x。我想函数y=-x是不是也能说明问题？函数y=-x+1也可以吧？

教师：不愧为文科学生，有超强的联想能力。那能不能说说这一类函数的特点？

学生6：都关于直线y=x对称。

教师：集合A为函数f（x）与直线y=x的交点的集合，集合B是函数f（x）定义域内关于直线y=x对称的点的集合。被称之为不动点和稳定点。我们在复习研究函数的性质时，并未研究过函数的这类性质，使得大家感到无从下手。那函数的简单基本性质都有哪些？

学生齐：定义域、值域、奇偶性、单调性、对称性、周期性。

教师：还有吗？

个别学生：凹凸性！

教师：很好，具有稳定点的函数图像关于直线y=x对称，其实也是一种图像对称的性质。它的反函数是其本身，其中不动点集合A与稳定点B之间的关系是AB，我的问题又来了，你能够证明AB吗？另外，函数的这些性质用文字语言怎么表征？用符号语言怎么表征？用图形语言怎么表征？都留作课后作业自己论述完成。

针对此次模拟考试，“反思”不光是针对课堂教学，高三的整个复习其实也就是一个不断反思的过程，特别是对于一次次邻近的模拟试题，反思复习过程中的漏洞，从而经历知识的有效地重组与整合，加大学生自我复习的完善，使高三复习能够从知识的全面回顾到加深对知识的理解记忆，最后再到解题的高屋建瓴。反思，既能帮助教师更好的提高复习效率，也能帮助学生实实在在提高分数。

[参考文献]

[1]张大均.教育心理学[M].人民教育出版社，2004，4.

[2]张奠宙.一份“函数单元”的文化清单[J].中学数学教学参考，2007，1.

（作者单位：陕西省西安市第八十九中学，陕西 西安 710000）