关于“博弈”模型应用的数学教学思考

李妙宁

【摘要】在经济社会中各种问题的研究都经常用到博弈模型，但教师却往往忽略跟学生打交道其实也经常存在博弈。要知道，学生也是人，他们也会思考，也有自己的主张和想法，要令他们听你的话跟你合作，要是没有好的策略作为指导，真的很难。小学数学的教学，在一定的“背景”下，在一定“规则”的约束下，有老师与学生这两种似对立又关联的角色的参与，他们有意或无意地进行自己的教或学的行为，并依据课堂内外的种种教与学的相关影响因素，不约而同选择各自的最优策略。如此看来，我们的数学教学符合博弈模型的前提条件，是一场标准的博弈，而且还是一场能动的、发展着的博弈。“智猪博弈”“金牌销售者”“囚徒的困境”是最优决策问题的经典例子，如何结合数学教学与这些“博弈”模型，从而提高教学效果，这是需要大家学习与思考的。

【关键词】博弈论；智猪博弈；数学教学；销售者；囚徒的困境

博弈论常用在经济社会中的各种问题研究，其实在我们日常生活中到处存在博弈，在商场上战胜对手需要博弈，在家里要让妻子（或者丈夫）同意你的决策需要博弈，即使是朋友间也无时无刻不存在博弈，我们跟学生打交道其实也经常存在博弈。不过这里所说的博弈并非一般人们理解为的游戏或对抗比赛。而是处事的策略。人们总认为教学只是师生间的交流，并不存在功利得失，所以不存在博弈中的较量，这是人们对博弈理解的一个误区。博弈论（Game Theory）是数学，更确切地说是运筹学的一个分支，是使用严谨的数学模型研究冲突对抗条件下最优决策问题的理论。简单地说，博弈论是研究决策主体在给定信息结构下如何决策以最大化自己的效用，以及不同决策主体之间决策的均衡。

小学数学的教学，在一定的“背景”下，在一定“规则”的约束下，有老师与学生这两种似对立又关联的角色的参与，他们有意或无意地进行自己的教或学的行为，并依据课堂内外的种种教与学的相关影响因素，不约而同选择各自的最优策略。无论是教与学都是在谋求各自利益的最大化，其实就是在探求一种教学结构和教学空间上的均衡和谐。这样看来，我们的数学教学符合博弈的前提条件，是博弈，而且还是一场能动的，发展着的博弈。小学教师能在小学处理好教与学的关系，则对刚刚进入对立局的小学生来说，是人生一大幸，现就数学教学中的“博弈”浅探一番。

一、善用“智猪博弈”中的新规则

“智猪博弈”（Pigs′payoffs）是一个著名博弈类的例子。意思是说，猪圈里有两头猪，大猪和小猪。在猪圈的一边装有踏板，远离踏板的另一边装有投食口，踩一下踏板，投食口就会落下少量的食物。此时就会出现两种情况，当小猪踩动踏板时，大猪会在小猪跑到食槽之前吃光所有的食物；当大猪踩动了踏板，就可以在小猪吃完落下的食物之前跑到食槽，争吃到另一半残羹。那么，两只猪会选择什么策略？结果是，大猪为了自己不饿肚子只能劳碌奔跑，而小猪一定会偷懒，选择等在食槽边。对小猪而言，踩动踏板一定没得吃，所以，它绝对不会踩动踏板，只会选择“等吃”策略。反观大猪，已明知小猪绝对不会去踩动踏板，自己去踩总比不踩强，所以只好亲力亲为了。

数学课堂上也会出现这样的场景。一种场景是学习不是很好的学生做“小猪”，学习好的学生做“大猪”。在课堂合作学习上“小猪”经常是不练习不发言，把别人的答案意见当自己的，“大猪”眼看着自己的成果被“小猪”利用，但为了小组的成绩，为了不被老师批评，还是要不停努力完成任务。另一种场景是老师做“大猪”,课堂上不停讲，不停灌，就为了学生能多考一分，而大部分学生只愿做“小猪”，只要稍微专心听课成绩就能合格，不用刻苦学习就能勉强达标，不用做“大猪”疲于奔命。

故事中的游戏规则导致了“小猪躺着大猪跑”的現象，如果改变一下核心指标：每次落下的食物数量和踏板与投食口之间的距离，猪圈里还会出现同样的“小猪躺着大猪跑”的景象吗？

我们可以假设以下几种新的规则，以便先尝试解决第一种场景的问题。

新规则一：增量方案。增大投食量，以保证不管是小猪还是大猪去踩踏板，大家都能吃上食物。如此一来虽解决了“小猪躺着”的问题，但却造成竞争意识不强，大家都不愿意多踩踏板，最后只会是“两个和尚没水喝”。有些老师的课堂上倡导“欣赏教育”，但是当课堂上学生得到的表扬和好的评价大于他们的付出，甚至不努力也有好的评价，此时就会导致完全没有竞争。有些老师在课堂上倡导“严师出高徒”，一昧地批评、训导学生，大大降低了学生的学习积极性，学生的竞争意识自然不高。以上两种情况都是增量过程中，量的多少问题，过多的好的或不好的评价都很难成为强化学生所学知识的手段，课堂教学中老师把握好其中的尺度，才能以期更大程度激发学生的学习能动性。

新规则二：减量加移位方案。减量，减少原来的投食量；移位，把踏板位置移到投食口的旁边。在新规则条件下，不管是大猪还是小猪，只要踩动踏板就能就近获得食物，由于食物量不能一次吃饱，还需要多次踩动踏板，多劳多得，猪们都会拼命踩，不劳动就没有收获。对于游戏设计者，这是最佳方案之一。成本不高，但收获大。

以上的新规则强调的是“多劳多得，不劳不得”，收获不是人人都有，而是直接针对个人。在教学的过程中教师也要采用有效激励评价机制，评价的作用在于强调学生的形成性作用，有的放矢，削除“搭便车”现象，注重学生个体的个性化评价。特别是在数学课堂教学上教师还可以借助现代化信息，及时检测反馈每一位学生的知识生成过程，监测到每一位学生的学习效果，从面生成有关学习能力和学习效果的评价，给予学生学习的导向和动力。

新规则三：不改变踏板和投食口的距离，只把大猪和小猪分开，让小猪和小猪在一个圈，大猪和大猪在一个圈，这样“小猪躺着大猪跑”就变成了小猪、大猪在自己的地方到处跑。

把小猪和大猪分开，就是“因材施教”。在常态编班的前提下，对于同一班级、不同类型的学生采用分层教学，这是符合新课标“让每位学生都得到发展”的理念的。教师可以通过分层备课、分类指导，分层练习等手段改变学生“吃不饱”“齐步走”的现象，以促使不同层次的学生的知识与技能在原来的基础上得到较好的提高，从而促进全体学生的发展，使教学的实施更具有实际意义。

二、做一个聪明的“销售者”

不管是对什么事物的研究，通常都喜欢用一些生动形象的例子作为研究的模型。为此，笔者也尝试把教学中一些有关博弈的模型用一个有趣形象的例子进行说明。小学生初到学校，就像进入了一间新开的商场。无论是对学校的人和事，还是对刚刚接触的新知识，甚至是一节新课，都充满着好奇。所以，笔者将通过对孩子进入商场后的遭遇来说明教学博弈是怎么一回事。

对于一般人来说，到商场通常是为了买东西的。当然不可否认，有的人到商场其实只是为了消磨时间。但是，不管是出于什么目的。每一个到商场的人通常都会在自己没见过的或好奇的商品前停留一段时间。这时销售员就要充分利用这个时间进行销售，有的销售员是“姜太公钓鱼，愿者上钩”，让客人自己看自己挑，主动性不强；有的使出浑身解数把商品推介给顾客，力求销售成功；说到这里，大家应该猜到在这个模型里，学生扮演着顾客的角色，而老师就是销售者。虽然这种说法很残酷，或者说很无奈。但是，如果我们接受这样的一个现实的话，我们就会从一个“销售员”的角度出发了，转变自己的观念，老师不再是高高在上的“传道授业者”，而是一个为了在有限的时间里多推销出枯燥的数学“商品”的聪明的“销售员”。过去我们在教学的过程当中很少考虑到自己所教的知识怎么样才能让学生喜欢学,怎样才能把学生的注意力和学习兴趣吸引到自己的课堂上,今天我们不研究不行了,如果学生不选择你的课,你就面临失业.在我们的课堂上,就要思考如何增加课堂知识的趣味性和对知识传授的感染力, 提高学生获得知识的成功感，从而获得最佳教学效果,就必须增加知识教授的附加值，让学生喜欢我们的课堂。

三、勇于走出“囚徒的困境”

“囚徒的困境”是一个著名的博弈模型，是说两个共犯被抓进了公安局，由于没有足够的证据，无法对他们进行定罪。在这种情况下，警察将两个犯人分别进行审讯。在审讯时告诉他们，如果他们供出同伙的罪行转为污点证人，他们就会因立功而轻判两年；如果他被别人供出了罪行，他就将单独被重判八年。因此，囚徒的处罚有了三种可能：其一，两者都保持沉默，从而无罪释放；其二，把对方供出来，自己轻罚两年；其三，被对方供出来，自己重罚八年。在这种情况下，每位犯人都在猜测对方是否会为了减轻自己的惩罚把对方供出来，虽然明知两个人都保持沉默是最好的方法，不管对方是否把自己供出来，自己把对方供出来都是有利的。于是，最终的结局最大可能出现的情况就是两人都把对方供出来，结局是两名犯人都被重判。

假设在同一个班上，学生只学语文和数学两门课程，但实际上学生还要学习更多的课程，这里为了简化问题，我们假设只有两门。语文和数学老师为了让学生在自己的学科上考出好的成绩，都会在作业布置上尽可能抢占学生的课后作业时间。这时，两位老师之间的博弈就开始了，假设原来学生每天抄一篇课文的生字词和做五道数学题就可以了，现在语文老师让学生除了抄生字词还要背一篇课文，把学生的空余的时间利用起来，短期内，这种增量的方法是有效的，但是，长此以往，学生为了保用活动的时间，尽然会缩短数学作业的时间。数学老师很快就会意识到这个问题是，学生尽管按时完成了作业，但质量已大不如前，为了解决问题，数学老师也一定会增加数学的作业量，从语文老师那里把学生的时间抢回来，甚至还可能多抢了时间。同样的道理，语文老师也不是省油的灯，于是他又……如此循环下去，而且博弈的主体也不断地增多，其他老师也意识到了这个问题，大家明知不可为而为之，就算火坑也必须跳了。

當所有老师都参与进来以后，学生的负担就严重超载了。学生的学习时间硬是被老师间的博弈大量增加了。家庭作业就低效甚至无效，只是为了应付老师的检查。这时，老师就会要求家长也参与进来，加强监督学生的作业效果，越来越多的角色参与到这个博弈，而且长此以往，不但家长和老师耗时耗精力，学生的学习积极性越来越低，大家明知不可为，却没有人愿意率先退出，以免让别的科目得益。

数学作业也是我们教学的一个重要部分，它对于学生掌握知识，形成技能、培养能力，提高素质有着十分重要的作用。教师应该优化作业的设计，数学作业的量与质并重，设计实践性作业，让学生摸索生活问题；设计层次性的作业，让差异学生都有知识获得感；设计探索性的作业，让学生把数学与生活联系起来，增强动手能力；设计自主性作业，让学生成为学习的主动者；使家庭作业成为学生业余生活中热衷的一项活动。这样既能激发学生对数学的兴趣，也能让学生摆脱沉重的作业包袱，教师才能真正走出“囚徒的困境”。

被誉为新教育之父的英国教育家塞西尔·雷迪也强调说：“教育的目的应该在于协调。”我们的课堂，无论是老师的“满堂灌”和“一言堂”，还是学生自主探究时缺少掌控的散乱，都是空间的不平衡，结构的和谐。刘文哲先生的“3S”布局理论的另两个原则就是结构与空间，这是巧合也是尽然。我们能感受到博弈思想与小学数学教学和而不同、不同而和的默契和与渊源。在博弈思想的牵引下，我们要追求一种给定对方的最优策略而选择了最好策略的空间与境地，我们要营造一种平衡的、和谐的、稳定的结构与状态，让我们的数学课堂从倾斜走向均衡，从低效走向高效，让我们课堂的各种“博弈”令教学更高效。

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