随机游走问题分析与求解

高宏

【摘要】随机游走问题是一个著名的数学问题，其答案被誉为数学史上250个里程碑式的发现之一.本文首先分析得出随机游走问题的本质是求解随机过程样本轨道特性，并指出Polya使用概率方法在状态空间求解样本軌道特性的方法错误，以及将状态空间原点当作样本轨道原点的概念错误.本文使用函数分析方法分别在时域和频域求解随机游走样本轨道位移，得出了醉汉不断远离原点的结论，从而推翻了Polya醉汉最终一定会返回原点的结论.

【关键词】随机游走，样本轨道，状态空间，常返性

一、引 言

随机游走（Random Walk）是概率论与随机过程学科中用于描述随机现象的一种基本随机过程.液体中悬浮微粒的布朗运动、空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动、惯性导航仪表中的随机漂移等现象均可用随机游走模型进行描述.

1905年，英国统计学家Pearson（1905）在《自然》杂志上公开求解随机游走问题：如果一个醉汉走路时每步的方向和大小完全随机，经过一段时间之后，在什么地方找到他的可能性最大？1921年，美籍匈牙利数学家Polya在研究随机游走问题后，提出了著名的随机游走定理（Matrix，2012），证明一维或二维随机游走返回原点的概率为100%，从而得出了醉汉最终会返回原点的结论.Polya随机游走定理被誉为数学史上250个里程碑式的发现之一（Pickover，2015），日本著名数学家角谷静夫将其形象地表述为：醉鬼总能找到回家的路.

本文指出Polya使用概率方法在状态空间求解样本轨道特性的解题方法错误，以及把状态空间原点当作样本轨道原点的概念错误，并使用函数分析方法分别在时域和频域求解随机游走问题，得出了一维随机游走随时间不断远离原点的结论，从而推翻了Polya醉汉最终一定会返回原点的错误结论.

二、问题分析

（一）一维随机游走问题

即醉汉或质点距原点的距离与时间成正比，醉汉或质点离原点越来越远.

下图为利用式（1）的随机游走样本轨道模型仿真10条样本轨道n=1 000步时的曲线，其中的白噪声ε（n）服从（0，1）正态分布.从仿真曲线可以看出，每条样本轨道距原点的距离均与时间成正比，即从原点出发的随机游走醉汉或质点离原点越来越远.

六、结 论

本文首先指出Pearson的随机游走问题是求解随机过程样本轨道特性问题，同时指出Polya使用概率方法在随机过程状态空间求解随机游走问题的方法错误，并将随机过程状态空间原点当作样本轨道原点的概念错误.本文使用函数分析方法分别在时域和频域求解随机游走过程样本轨道的位移，均得出一维随机游走随时间不断远离原点的结论，从而推翻了Polya一维随机游走最终一定会返回原点的错误结论.

【参考文献】

[1]Karl Pearson.The Problem of the Random Walk[J].Nature，1905（72）：294.

[2]Matrix.神奇的数学定理[J].数学教学通讯，2013（26）：4-5

[3]Clifford A.Pickover.数学之书：数学史上250个里程碑式的发现[M].陈以礼，译.重庆：重庆大学出版社，2015.

[4]Sheldon M.Ross.随机过程[M].龚光鲁，译.北京：机械工业出版社，2013.

[5]Jonathan Novak.Polya的随机游走定理[J].数学译林，2016（3）：281-285.

[6]王国胜，王震.谈谈简单随机游动[J].德州师专学报，1998（2）：9-12.