有导体的静电问题

王天会

摘   要：静电平衡、静电感应和静电屏蔽本质上是一类问题，都是导体达到静电平衡的问题。然而，这类问题无论是在高中还是在大学物理教学中都很难讲清楚，通常让学生越听越糊涂。笔者经过长期的思考，总结了学生糊涂的地方，并尝试给出了理论解释。文章分为两部分，罗列出了解决这类问题所需要的理论知识，并利用所列知识讲解了若干典例。

关键词：静电平衡;静电屏蔽;静电感应;空腔导体;唯一性定理;细导线

中图分类号：G633.7 文献标识码：A    文章编号：1003-6148（2020）2-0061-4

1    高中知识

同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引;

正电荷从高电势走向低电势;

导体内部场强处处为零，导体是等势体，导体表面是等势面，导体表面场强垂直于导体表面;

达到静电平衡的导体电荷只能分布在导体表面;

在导体外部，紧靠导体表面的点的电场强度与导体表面垂直，电场强度大小与导体表面对应点的电荷面密度成正比，尖端电荷密度大。

2    电场线的两个基本性质及证明[1]

性质一：发自正点电荷q（以及止于负点电荷q）的场线条数正比于q。

性质二：电势沿电场线不断减小，电场线不构成闭合曲线。

（1）绘制电场线图的附加规定

为了使场线图能表现E的大小，人们特别约定，穿过电场中任一面元ΔS的场线条数正比于该面元的电通量，即

穿过ΔS的场线数=KE·ΔS

其中，K（K>0）为事先选定的比例常数，K值越大描写越准确。只要遵守这一规定，必有场线密度=KE，其中场线密度为穿过单位面元的场线条数。

可见，只要在绘制场线图时遵守附加规定，场线的疏密就能描写E的大小E。

（2）性质一的证明

以任意场点P为心作小球面S，设S面的电通量是Φ，从S面穿出的场线条数为N，则由附加规定可知N=KΦ

另一方面，对球面S使用高斯定理又得Φ= q ，其中q 是S面内的电荷。

以上两式结合便有N= q （性质一得证）

（3）反证法证明性质二

安培环路定理  E·dl=0

设有一条电场线构成闭合曲线，沿这曲线计算积分  E·dl时，因每点的切线方向（即dl方向）与电场强度方向相同，E·dl=Edl>0，故 E·dl>0，与环路定理矛盾。可见，电场线不能构成闭合曲线。

3    静电唯一性定理

只要每个导体的电荷（或电势）被事先指定，静电场就能被唯一决定。静电唯一性定理保证了静电现象结果的唯一性。

在导体表面取一个高斯面，易得E=

上式告诉我们当导体表面电场被唯一确定时，表面的电荷分布也被唯一确定了;电场强度大小与导体表面对应点的电荷面密度成正比。

唯一性定理的两个推论：

推论一：

外屏蔽：壳内电场不受壳外电荷的影响;

内屏蔽：接地球壳保证壳外电场不受壳内电荷的影响。

推论二：壳内表面电荷和壳内电荷在壳内壁之外任意一点的合电场为零，壳外表面电荷和壳外电荷在壳外壁之内任意一点合电场为零。

导体上的电荷和电势不是独立的，不可能在已经指定导体电荷的情况下还能同时指定导体上的电势，也不可能在已经指定导体电势的情况下还能同时指定导体上的电荷[2]。

4    两个理想化模型

细导线模型：把导线连接的两球看作一个孤立的导体，导线自然也是这一孤立导体的一部分，其表面也应存在电荷。

然而直观地想，只要导线足够细，这一影响就可以忽略，连接两个导体的细导线的唯一作用是使导体间可以交换电荷直至等势，一旦达到等势，导线就不再有任何影响。此时撤去导线，导体电荷的分布（导体内外的静电场）不会有任何变化[3]。

理想化地球模型（大地与无穷远等势）：实测表明地球表面带负电，总电荷达到Q≈-4×105 C，在地面造成的静电场强度达到100 V/m[4]。在室内，由于墙壁的屏蔽作用，室内近似有V =V =0;而在室外，事实上只有当我们所研究的导体带电量足够大，以至于它在地球表面产生的场强远大于100 V/m时，才可以忽略地球带电，此时近似有V =V =0。

然而，忽略上述的应用条件有两个好处：一方面，它可以适用于某些特殊情况;另一方面，可以简化问题、方便教学，以利于脑力锻炼。

5    典例分析

例1 导体B接地，如图1（无论是近端接地还是远端接地），B上任何位置都无正电荷分布。

证明 若B上某点分布有正电荷，则它所发出的电场线只能延伸至无穷远，故VB>V 。另一方面，B接地导致VB=V =V ，与VB>V 矛盾，故B上任何一点无正电荷。

评论 中学阶段在分析此题时往往是混淆不清的，图1（a）的结果是清晰的，可用静电感应解释，导体近端带负电，远端带正点。图1（b）远端接地，近端带负点，所有正电荷进入大地。然而，把导线近端接地的问题，引起了很多老师的争论。有人说远端的正电荷本来就受到近端负电荷的吸引，现在近端又有接地线，自然会流到近端并沿导线进入大地。有人说它流向近端时会受到施感电荷q的排斥，因而不会流到近端。还有人用正电荷流向电勢低的地方来解释，远端刚接地时，远端电势高于地的电势，所以正电荷沿线入地;近端接地时，正电荷要沿线入地就要先走到近端，但远、近端原本电势是相等的，正电荷怎能走向近端。无论是从“异性相吸”的角度或者是“正电荷从高电势走向低电势”的角度，在解释近端接地时都感到矛盾重重。

在这里笔者用唯一性定理说明，近端接地和远端接地是等价的。无论是近端接地或是远端接地，本质上都是指定了导体表面的电势，导体表面的电势条件和导体外的施感电荷一起构成了混合边界条件，唯一确定了导体外空间的电场，导体表面的电荷分布也是唯一确定的。因此，唯一性定理给这类题指明了方向，我们不应该追求电荷移动这种“动态分析”的方式，而应该应用唯一性定理进行“静态分析”。

例2 如图2所示，两个相同的空心金属球M和N，M带电荷量为-Q， N不带电（M、N相距很远，互不影响），旁边各放一个不带电的金属球P和R，当将带正电Q的小球O分别放入M和N的空腔中时（     ）

A.P、R上均出现感应电荷

B.P、R上均没有感应电荷

C.P上有而R上没有感应电荷

D.P上没有而R上有感应电荷

解答 根据电场线性质一，小球O发出的电场线条数正比于Q，这些电场线既不能在无电荷处中断，又不能穿过导体球壳，就只能终止于球壳内壁，故壳内壁的总电荷为-Q。 不管球壳本身带多少电荷，总之球壳内壁的电荷一定是-Q。金属球M原本带电总量为-Q，计算可得金属球M外壳带电量为零，同理可得金属球N外壳带电为Q。根据唯一性定理的推论二可以知道，球壳内部电荷和球壳内壁电荷对球外空间不产生影响，故只有金属球外壁的电荷对球外空间产生影响。金属球M外壳不带电，金属球P不会产生感应电荷。金属球N外壁带正电，会使金属球R产生感应电荷。

评论 虽说电场线性质一需要用到高斯定理才能推导出来，可是直接告诉学生电荷和电荷发出电场条数的关系，学生是可以接受的，而且可以利用这个性质来推知空腔内壁的电荷。

例3  如图3所示，一带正电的绝缘金属球壳a，顶部开孔，有两个带正电的金属球b、c用金属导线连接，让b球置于球壳a的空腔中与内表面接触后又提到如图位置，c球放a球壳外离a球较远，待静电平衡后，正确的说法是（     ）

解答 空腔内部场强和电荷处处为零，那么移动空腔内部的导线和小球对空间电场不产生影响，可以把小球b和细导线贴着空腔内壁，画出下面的等效图（图4），小球b可以看作空腔内壁的一部分，c球和球壳外壁相连构成一个大导体，a空腔和c小球带同种电荷，故本题选B选项。

评论 一些教辅资料在讲解这个问题时都提到了要整体分析，可怎么整体分析资料中都没有讲清楚。笔者在经过长时间思考后得出了上述可行的解释方式。在这里顺便指出小球c通过导线和内壁相连或是和外壁相连是等价的。

例4  静电感应和静电起电的演示实验（图5）。将带电体靠近静电计棒的小球[图5（a）]，指针偏转;将静电计棒接地，指针下垂[图5（b）];撤去棒的接地线，指针仍不动[图5（c）];移去带电体，指针又复偏转[图5（d）]。请说明每一步的道理。

例5  用一根跟毛皮摩擦过的硬橡胶棒，靠近不带电验电器的金属小球a（图6），然后用手指瞬间接触一下金属杆c后拿开橡胶棒，这时验电器小球a和金箔b的带电情况是（      ）

解答 用毛皮摩擦过的橡胶棒带负电，验电器的金属球感应出正电荷，指针上感应出负电。手指接触金属棒后和大地等势，指针上就不能存在负电荷了。假设存在，从无穷远发出终止于负电荷会推出指针电势小于零，和接地矛盾。移开橡胶棒后，金属球和指针这个整体带正电，因此指针和金属球都带正电，本题选C选项。

评论 本例和例4类似，之所以单独拿出来讲，是因为本例要讲笔者对“手指接触导体”的理解。手指瞬间接触一下金属杆c是什么含义，有些老师认为人相当于接地导线。笔者倍感疑惑，把普通导线看作细导线模型是可以理解的，而把人体看作细导线模型笔者就难以接受了。经过长时间的思索，笔者发现完全可以避免人体作为导线这个说法，因为人体与大地是等势的，手指接触金属棒相当于金属棒直接接地，从而舍弃了人体作为导线这种讲法。笔者注意到这一类题目往往在手指接触金属棒的前面加了“瞬间”二字，给人的感觉似乎是如果手指长时间接触金属棒结果就不一样了，或者说命题人的潜意识认为长时间接触金属棒电会被放掉。我们知道导体达到静电平衡的过程是很快的，大概在10-19这个量级[5]。在这里笔者借助唯一性定理说明瞬时接触和长时间接触是等价的，导体表面的电势条件和导体外的施感电荷一起构成了混合边界条件，唯一确定了导体外空间的电场，导体表面的电荷分布也是唯一确定的。唯一性定理给我们的条件从来就没有提到过时间。

例6  如图7所示，一个带正电的金属球壳A内部有一不带电的金属球B，现将小球B接地，证明小球B带负电。

证明 接地后的小球B和大地等势，而球壳A带正电，电势为正，则电场线由球壳内壁指向金属球B，电场线从正电荷出发终止于负电荷，因此球壳内壁带正电，金属球B带负电。

评论 本例特殊在接地后空腔内表面和外表面都带正电。

6    结   语

通过上述的分析，可以知道定性解决静电问题的法宝是唯一性定理和电场线的两个性质。本文旨在总结静电现象所涉及到的原理，难免有不足之处，还请各位专家批评指正。

参考文献：

[1]梁灿彬，秦光戎，梁竹健.电磁学[M].北京：高等教育出版社，2018：20-23.

[2]郭硕鸿.电动力学[M].北京：高等教育出版社，2008：45-46.

[3]費恩曼，莱顿，桑兹. 费曼物理学讲义第二卷[M].上海：上海科学技术出版社，2013：80.

[4]费恩曼，莱顿，桑兹. 费曼物理学讲义第二卷[M].上海：上海科学技术出版社，2013：109-110.

[5]梁灿彬，曹周健，陈步陶. 电磁学（拓展篇）[M].北京：高等教育出版社，2018：39.（栏目编辑    罗琬华）