随机终止时间下确定缴费型养老金的最优投资策略

王伟 黄鹏飞 黄婵

摘 要：假定养老金管理者投资的终止时间是不确定的，研究风险资产价格满足马尔可夫调节的几何布朗运动时确定缴费型养老金的最优投资问题。通过随机动态规划方法和HJB方程，得到最优投资策略。最后，通过数值例子分析市场的模型参数对最优投资策略的影响，

关键词：缴费型养老金;最优投资;HJB方程;指数效用函数

中图分类号：F830        文献标志码：A      文章编号：1673-291X（2020）04-0063-06

引言

确定缴费型养老金的投保人按照固定缴费率缴费，到退休时领取的养老金完全取决于其个人账户的缴费及其投资收益。由于确定缴费型养老金的特点是投保人退休后待遇不能确定，账户和基金的投资风险全部由投保人个人承担，因此如何实现确定缴费型养老金的最优投资成为金融理论界非常关心的问题。近年来，国内外学者在这方面做了很多研究。Thomson建立了一个连续时间动态规划模型，利用退休时刻财富的期望效用最大化准则，得到了确定缴费型养老金的最优投资策略[1]。Gao考虑了对数效用函数，通过Legendre转换和对偶理论，获得了确定缴费型养老金的最优资产配置的显式解[2]。Battocchio和Menoncin进一步假定养老金缴存人员的工资是随机的且市场中存在通货膨胀风险，得到了该模型下确定缴费型养老金的最优投资策略[3]。谷爱玲等假定风险资产价格满足Ornstein-Uhlenbeck模型，研究了幂效用函数下确定缴费型养老金的最优投资问题[4]。王伟和甘少波假定风险资产价格服从马尔可夫调制的几何布朗运动且市场中的贷款利率高于存款利率，采用随机动态规划原理得到了确定缴费型养老金的最优投资策略[5]。

以上的文献都是假定投资终止时间是确定的。然而，在实际生活当中，投资的终止时间不一定是确定的，很多时候一些突发原因会造成投资者提前终止投资，例如：投资者死亡或发生破产等。郭文旌和胡奇英在投资终止时间不确定的条件下，研究了多阶段最优投资组合问题[6]。Li和Xie同样在投资终止时间不确定的条件下，研究了多阶段均值—方差框架下的资产—债务管理问题[7]。Yi等考虑了一个连续时间均值方差模型，并且假定企业员工收入是随机的，研究了该模型下不确定退出时间时的最优投资组合问题[8]。姚海祥等进一步考虑市场中存在通货膨胀风险，利用随机动态规划方法和Lagrang对偶原理得到了最优投资策略和有效边界[9]。与这些文献不同的是，本文考虑了经济状态对投资策略的影响，利用一连续时间马尔可夫链来描述经济状态，假定风险资产价格满足马尔可夫调节的几何布朗运动模型，并研究了当投资时间为随机终止情况时确定缴费型的最优投资问题。

本文结构如下：第二节介绍金融模型和一些基本假设，第三节考虑了一般效用函数下的确定缴费型养老金的最优投资问题，第四节给出了指数效用函数下的最优投资策略，第五节通过数值结果分析了模型参数对最优策略的影响，第六节给出了结论。

在下页图1中，我们考虑了市场经济状态处于“牛市”时绝对风险厌恶系数？酌对最优投资策略π*的影响。从图1可以看出，随着绝对风险厌恶系数？酌的增加，养老金投资者购买风险资产的比例越来越小，这是因为投资者对风险的厌恶程度越高，越不愿意投资风险资产，而宁愿选择购买无风险资产。

在下页图2中，我们考虑了市场经济状态处于“熊市”时绝对风险厌恶系数？酌对最优投资策略π*的影响。与图1的结果一样，随着绝对风险厌恶系数？酌的增加，养老金投资者购买风险资产的比例越来越小，造成这个结果的原因也是一样的。然而，对比图1和图2我们可以发现，当市场处于“牛市”时，投资者购买风险资产的比例是高于市场处于“熊市”时购买风险资产的比例的。这是因为当市场处于“牛市”时，投资者从风险资产中获得的回报是高于市场处于“熊市”时的回报。此外，我们不仅假定了市场处于“牛市”时风险资产的回报率高于市场处于“熊市”的时候，还假定了“牛市”时风险资产的波动率低于处于“熊市”的时候，而波动率越高，风险越大，投资者投资风险资产的兴趣就会减少，这个现象在下页图5和图6中可以发现。

在图3和下页图4中，我们分别考虑了市场处于不同状态时风险资产的回报率对最优投资策略的影响。从这两个图可以发现，无论市场处于“牛市”还是“熊市”，风险资产的回报率越高，投资者对该资产的投资比例也越高，这符合市场规律，投资者投资风险资产的目的就是追求高回报率。

在图5和图6中，我们分别考虑了市场处于不同状态时风险资产的波动率对最优投资策略的影响。从这两个图可以看到，随着波动率的增加，投资者投资风险资产的比例在减小，这是由于波动率越大，投资该风险资产的风险也越高，较高的风险会降低投資者的兴趣，因此风险资产的波动率对投资比例是负的影响。

结语

本文采用随机控制中的一些方法对不确定终止时间时确定缴费型养老金的最优投资问题进行了研究，并利用HJB方程和验证定理得到了指数效用函数下最优投资策略的显示解，最后给出了最优投资策略的数值结果，并分析了模型参数对最优投资策略的影响。通过数值结果我们得到以下结论：一是在不同市场经济状态下最优投资策略是有明显差别的，说明市场经济状态对投资者的投资决策有很大的影响;二是绝对风险厌恶系数？酌和风险资产的波动率越大，投资者购买风险资产的比例越低，表明投资者对风险的厌恶程度和资产的价格波动风险对投资决策的影响也是不可忽视的;三是最优投资策略π*（t）关于？滋递增，这意味着风险资产的回报率越高，投资者将增加购买风险资产的比例。

参考文献：

[1]  Thomson R.J.The use of utility functions for investment channel choice in defined contribution retirement fund[J].British Acturial Journal，2003，（9）：653-709.

[2]  Gao J.Stochastic optimal control of DC pension funds[J].Insurance：Mathematics and Economics，2008，（42）：1159-1164.

[3]  Battocchio P.，Menoncin F.Optimal pension management strategies in the presence of a minimum guarantee[J].Insurance：Mathematics and Economics，2004，（34）：79-95.

[4]  谷愛玲，李仲飞，曾燕.Ornstein-Uhlenbeck模型下DC养老金计划的最优投资策略[J].应用数学学报，2013，（4）：715-726.

[5]  王伟，甘少波.存贷利差下确定缴费型养老金的最优投资策略[J].统计与决策，2017，（8）：162-165.

[6]  郭文旌，胡奇英.不确定终止时间的多阶段最优投资组合[J].管理科学学报，2005，（2）：13-19.

[7]  Li Z.F.，Xie S.X.Mean-variance portfolio optimization under stochastic income and uncertain exit time[J].Dynamics of Continuous，Discrete and Impulsive SystemsB：Applications and Algorithms，2010，（17）：131-147.

[8]  Yi L.，Li Z.F.，Li D.Mutli-period portfolio selection for asset-liability management with uncertain investment horizon[J].Journal of Industrial and Management Optimization，2008，（3）：535-552.

[9]  姚海祥，吴慧玲，曾燕.不确定终止时间和通货膨胀影响下风险资产的最优投资策略[J].系统工程理论与实践，2014，（5）：1089-1099.

[10]  Pliska S.R.，Ye J.Optimal life insurance purchase and consumption investment under uncertain lifetime[J].Journal of Banking and Finance，2007，（31）：1307-1319.

Optimal Investment Strategies for a Defined Contribution Plan Under a Stochastic Time Horizon

WANG Wei，HUANG Peng-fei，HUANG Chan

（School of Mathematics and Statistics，Ningbo University，Ningbo 315211，China）

Abstract：This paper supposes that the pension managers can invest risky assets and the termination time is uncertain，we study the problem of an optimal portfolio strategy for a defined contribution pension plan when the dynamics of a risky asset follows a Markov-modulated geometric Brownian motion.By applying stochastic dynamic programming approach and the HJB equation，we obtain the optimal investment strategies.Finally，some numerical examples are provided to analyze the effects of the model parameters on the optimal investment strategies.

Key words：contributory pension;optimal portfolio;HJB equation;exponential utility function