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指对融合构造函数法巧解一类函数难题

2020-04-09张行

学校教育研究 2020年7期
关键词:凹凸指数函数单调

张行

在高考和模拟考试中,常把指数函数与一次二次函数的混合,或者把对数函数与一次、二次函数的混合,来考察学生对函数适当处理,再利用求导法等解决问题的能力,很少出现指对混合起来考察学生,最近几年,我们发现,指数函数与对数函数的混合函数,也逐渐出现,而且有逐漸增多的趋势,这类题型难度大,解题方法比较少,常通过凹凸函数构造法,放缩法等来解决,最近笔者发现有一类指对混合函数题型,直接求导、凹凸转化法或者放缩法很难做出来。但只要构造指对融合函数,结合函数的单调性,利用参数分类法,很好的解决了这类题型。

一、问题呈现

例题:设实数,若对任意,不等式恒成立,则m的最大值是(     )

解析:指对混合,直接分离参数法难求出,不分离直接求导也很难做。

方法1:融合为对数型函数

二、指对融合函数技巧总结

那些函数可以进行指对融合构造呢?根据上面例题的经验,下面集合函数可以统一成一个函数:

上面这6个函数都是考试必考的函数,如果每对出现在同一题目中,我们可以把他们融合成一个函数,再利用单调性法化简,再用求导解决这类问题。

三、变式训练:

从以上可见,指数函数与对数函数同在一道题中,增加了求导的难度,如果用指对融合法变成一个函数,无疑减小了难度,优化了解题过程,是一个值得推广的方法。

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