基于格林函数的浮置板参数对高架桥梁垂向振动的影响

邹义龙

摘要：根据城市轨道交通高架桥梁轻型浮置板线路的结构特点，建立车辆 轻型浮置板轨道 高架桥梁垂向耦合振动模型，利用格林函数得到浮置板轨道与桥梁垂向振动响应的解析表达式，分析在轨道不平顺振动载荷激励下浮置板参数对轨道系统振动的影响。结果表明：浮置板参数的变化对高架桥梁垂向振动的影响主要集中在70 Hz以下的低频段;减小钢弹簧刚度对降低桥梁垂向振动功率、增大振动传播的衰减有利;浮置板厚度对桥梁垂向振动的影响较为复杂，需要根据情况区别对待。

关键词：

浮置板; 高架桥梁; 格林函数; 耦合振动

中图分类号：U211.3;TP391.99

文献标志码：B

Influence of floating slab parameters on vertical vibration of elevated bridge based on Green function

ZOU Yilong

（Lanzhou Rail Transit Co.， Ltd.， Lanzhou 730000， China）

Abstract：

According to the structure characteristics of elevated bridge of urban rail transit with light floating slabs， the vertical coupling dynamics model of the vehicle and light floating slab track and elevated bridge is established. The analytical function of vertical vibration response of the floating slab track and elevated bridge is solved by Green function. The influence of the floating slab parameters on the track system vibration when it is excited by the irregularity vibration loading is analyzed. The results show that the influences of floating slab parameters on the vertical vibration of elevated bridge concentrates on the low frequency （below 70 Hz）; the reduction of the steel spring stiffness is beneficial to reduce the vertical vibration power and to increase the attenuation of vibration propagation; the effect of the floating slab thickness on the vertical vibration of elevated bridge is complex， which should be treated differently according to the situation.

Key words：

floating slab; elevated bridge; Green function; coupling vibration

0 引 言

近年來，我国城市轨道交通大力发展，已成为缓解城市交通拥堵的方式之一。但是，城市轨道交通引起的结构振动、噪声等问题也日益显现。浮置板轨道是控制列车振动的方法之一，在城市轨道交通建设中应用广泛。国内外很多学者对浮置板轨道减振降噪性能进行研究。NELSON[1]研究预制式和现场浇注式2种浮置板轨道的工程应用和隔振效果。王澜等[2]把轨道几何不平顺载荷输入车辆 轨道耦合动力系统作为振动激励源，研究普通碎石道床轨道和浮置板轨道的动力响应，发现浮置板轨道比普通碎石道床轨道隔振效果更好。侯德军等[3]建立浮置板轨道双层连续弹性梁模型，利用傅里叶变换求得轨道的振动响应，获得地面最大激振力与激振频率的关系曲线。李增光等[4 5]建立地铁列车车辆 浮置板轨道耦合动力学模型，分析浮置板轨道激励振动的形成原因和影响规律。

本文针对城市轨道交通中高架桥梁轻型浮置板轨道的结构特点，建立地铁列车车辆 浮置板轨道 桥梁的垂向耦合动力学频域模型，采用格林函数法快速求解轻型浮置板轨道与高架桥梁的耦合振动特性，分析在轨道随机不平顺载荷作用下浮置板参数对高架桥梁垂向振动的影响规律。

1 车辆 浮置板轨道 桥梁耦合动力学模型

1.1 物理模型

根据耦合动力学理论，建立地铁列车车辆 浮置板轨道 桥梁垂向耦合动力学模型，见图1。

车辆 浮置板轨道 桥梁垂向耦合系统共有3个子系统：车辆子系统、轻型浮置板轨道子系统和桥梁子系统。在车辆子系统中，将车体、转向架和轮对视为刚体，车体与2个转向架以及转向架与轮对之间的悬挂系统用弹簧阻尼单元模拟。在轨道系统中：钢轨视为无限长Timoshenko梁，采用离散点弹性支撑，具有垂向振动;扣件系统用弹簧阻尼单元模拟;浮置板道床用两端自由的Euler梁模拟，具有垂向运动;浮置板隔振器用线性弹簧和黏性阻尼元件模拟。在桥梁子系统中：桥梁用简支Euler梁模拟，具有垂向运动;桥梁支撑用线性弹簧阻尼元件模拟。车辆子系统与轨道子系统之间的耦合作用通过轮轨力传递，轨道子系统与桥梁子系统之间的耦合作用通过轨道与桥梁间的作用力传递。

1.2 浮置板轨道 桥梁系统运动方程

钢轨运动可用格林函数表示为

Gr（x1，x2）=u1e-ik1x1-x2+u2e-ik2x1-x2

（1）

式中：Gr（x1，x2）为在位置x2处施加单位力时在x1处引起的位移;e为自然对数的底数;i为虚数单位;k1、k2、u1和u2为计算参数，其与振动波沿钢轨的传播有关。[6]

浮置板运动可用格林函数表示为

Gs（x1，x2）=Nsn=1Ws，n（x1）Ws，n（x2）（1+iηs）ω2s，n-ω2

（2）

式中：Ns为浮置板的计算模态数;Ws，n（x）为自由 自由Euler梁的第n阶振型函数;ηs为浮置板的损耗因子;ωs，n为浮置板的固有频率，ωs，n=k2s，n×EsIs/ρsAs，ks，n是与振型有关的参数[7]，Es为浮置板的弹性模量，Is为浮置板的转动惯量，ρs为浮置板的密度，As为浮置板的横截面积;ω为激励力的角频率。

高架桥梁运动可用格林函数表示为

Gb（x1，x2）=Nbn=1Wb，n（x1）Wb，n（x2）（1+iηb）ω2b，n-ω2

（3）

式中：Nb为桥梁的计算模态数;Wb，n（x）为简支梁的第n阶振型函数;ωb，n为桥梁的固有频率，ωb，n=k2b，nEbIb/ρbAb，kb，n=nπ/Lb，Lb为桥梁的长度，Eb为桥梁的弹性模量，Ib为桥梁的转动惯量，ρb为桥梁密度，Ab为桥梁的横截面积。[8]

利用叠加原理，钢轨、浮置板和桥梁在频域内的运动方程组为

ur（x）=Aa=1Gr（x，xa）Fw，a-

Nn=1Gr（x，xn）Kf（ur（xn）-us（xn））

us（x）=Nn=1Gs（x，xn）Kf（ur（xn）-us（xn））-

Mm=1Gs（x，xm）Kj（us（xm）-ub（xm））

ub（x）=Mm=1Gb（x，xm）Kj（us（xm）-ub（xm））-

Zz=1Gs（x，xz）Kzub（xz）

（4）

式中：Fw，a為第a个车轮在纵向xa处对钢轨施加的轮轨力;ur（xn）和us（xn）分别为钢轨和浮置板在扣件纵向坐标xn处的垂向位移;us（xm）和ub（xm）分别为浮置板和桥梁在钢弹簧纵向坐标xm处的垂向位移;ub（xz）为桥梁在桥梁支座纵向坐标xz处的垂向位移;Kf、Kj和Kz分别为扣件、浮置板基座和桥梁支座的复刚度（包含损耗因子）;A、N、M和Z分别为作用在钢轨上的车轮数、扣件支点数、浮置板钢弹簧支点数和桥梁支点数。

整理式（4），写成矩阵型式为

GKu=F

（5）

式中：GK为由钢轨、浮置板和桥梁的格林函数系数乘以Kf、Kj和Kz组成的矩阵;u为由待求解的由钢轨、浮置板和桥梁的垂向位移组成的向量;F为载荷向量。求解式（5）即可得到轮轨力作用下轨道 桥梁结构的频域位移动力响应。

当钢轨受到单位垂向简谐力时，由式（5）可求解得到钢轨受力位置的位移响应，即为轨道的原点位移导纳矩阵αt。

1.3 车辆运动方程

车辆系统的位移导纳矩阵为

αv=（-ω2Mv+iωCv+Kv）-1

（6）

式中：Mv、Cv和Kv分别为车辆系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵。车辆在轮对处的导纳矩阵为

αw=HαvHT

（7）

式中：H为车辆系统对轮对接触点处的转换矩阵。

1.4 轮轨接触关系

车辆与轨道耦合关系通过轮轨相互作用力实现，即

Fw，a（ω）=Δz（ω）αt+αw+αh

（8）

式中：Fw，a（ω）为轨道不平顺引起的垂向轮轨力;αh为轮轨接触弹簧的导纳，αh=1/k，k为线性化轮轨接触刚度，取值为1.4×109 N/m;Δz（ω）为输入的系统随机不平顺度，可通过虚拟激励法获得，具体求解过程参考文献[9 10]。车辆、轨道和路基系统的动态响应可按照式（5）和（6）求解。

2 数值分析与结果讨论

根据以上理论分析，在MATLAB中编制车辆 浮置板轨道 桥梁垂向耦合振动模型，分析在轨道不平顺载荷激励下浮置板参数对高架桥梁垂向振动的影响。采用A型地铁车辆模型，钢轨为60 kg/m的标准钢轨，损耗因子为0.01，其他部件模型参数见表1。

为反映高架桥梁 浮置板轨道系统的振动传递特性，用振动功率流理论分析高架桥梁与浮置板轨道间的振动传递。频域内结构的平均功率可表示为

P（ω）=12Re（F*（ω）·V（ω））

（9）

式中：Re（）表示复变函数的实部;F*（ω）为结构受到的力幅值向量的伴随阵;V（ω）为结构振动速度向量。振动功率常采用功率级表示，单位为dB，参考功率值为1×10-12 W。

采用桥梁相对钢轨的振动功率衰减值衡量轨道结构间的振动衰减，即

Δp=10log 10（Pr/Pb）

（10）

式中：Δp为振动功率衰减，单位为dB;Pr为钢轨振动功率的有效值;Pb为桥梁振动功率的有效值。

采用美国6级轨道谱作为系统激励输入，车速为70 km/h，选取桥梁垂向振动功率、从钢轨传播到桥梁的振动衰减和第一个轮对所在横截面上桥梁的垂向加速度功率谱为研究对象，分析钢弹簧刚度和浮置板厚度对高架桥梁垂向振动的影响。

2.1 钢弹簧刚度的影响

在钢弹簧刚度分别为4、10、15和20 MN/m时，桥梁垂向振动与频率关系的计算结果对比见图2，其中桥梁垂向振动功率参考值为1×10-12 W。

由图2可知：钢弹簧刚度的减小和纵向间距的增大对桥梁垂向振动的影响规律基本一致;减小钢弹簧刚度更容易控制桥梁垂向振动。

2.2 浮置板厚度的影响

分别取浮置板厚度为15、20、25和30 cm，浮置板厚度变化对桥梁垂向振动影响的计算结果见图3。

由此可知，浮置板厚度的变化对桥梁垂向振动的影响比较复杂：在7～20 Hz范围内，浮置板越厚桥梁垂向振动加速度功率谱的峰值越小;在70 Hz左右桥梁垂向加速度功率谱峰值最大;在37 Hz左右，桥梁垂向振动加速度功率谱出现波峰，此处浮置板厚度为20 cm时峰值最大，浮置板厚度为15 cm时峰值最小;在10 Hz左右，随着浮置板厚度的增大桥梁垂向振动功率减小，而其他频段浮置板厚度变化几乎不影响桥梁垂向振动功率;浮置板厚度的变化对振动从钢轨传播到桥梁的衰减几乎没有影响。

4 结束语

浮置板参数变化对高架桥梁垂向振动的影响主要集中在低频振动段，为进一步研究高架轻型浮置板轨道线路引起的环境振动和噪声提供参考。减小钢弹簧的刚度对降低桥梁垂向振动功率、增大由钢轨传播到桥梁的振动衰减更有利。浮置板厚度对桥梁垂向振动的影响较复杂。浮置板厚度对桥梁垂向振动加速度影响比较明显，对桥梁垂向振动功率和从钢轨传播到桥梁的振动衰减影响较小。

参考文献：

[1] NELSON J T. Recent developments in ground borne noise and vibration control[J]. Journal of Sound and Vibration， 1996， 193（1）： 367 376. DOI： 10.1006/jsvi.1996.0277.

[2] 王澜， 宣言， 万家， 等. 浮置板式轨道结构隔振效果仿真研究[J]. 中国铁道科学， 2005， 26（6）： 48 52. DOI： 10.3321/j.issn：1001 4632.2005.06.010.

[3] 侯德军， 雷晓燕， 刘庆杰. 浮置板轨道系统动力响应分析[J]. 铁道工程学报， 2006， 11（8）： 18 24. DOI： 10.3969/j.issn.1006 2106.2006.08.005.

[4] 李增光， 吴天行. 浮置板轨道动柔度计算方法及隔振性能研究[J]. 振动工程学报， 2007， 20（3）： 207 212. DOI： 10.3969/j.issn.1004 4523.2007.03.001.

[5] 李增光， 吴天行. 浮置板轨道二维建模及隔振性能分析[J]. 铁道学报， 2011， 33（8）： 93 98. DOI： 10.3969/j.issn.1001 8360.2011.08.016.

[6] CARLONE L， THOMPSON D J. Vibration of a rail coupled to a foundation beam through a series of discrete elastic supports： SU ISVR TM—873[R]. Southampton ： Southampton University， 2001.

[7] 翟婉明. 车辆 轨道耦合动力学[M]. 北京： 科学出版社， 2007.

[8] 刘海平. 高速铁路轮轨滚动噪声建模、预测与控制研究[D]. 上海： 上海交通大学， 2011.

[9] 杨新文， 翟婉明. 轨道交通轮轨噪声机理、预测与控制[M]. 上海： 同济大学出版社， 2017.

[10] 杨新文， 宫全美， 周顺华， 等. 高速列车作用下双塊式无砟轨道与路基垂向耦合振动分析[J]. 铁道学报， 2014， 36（16）： 75 83. DOI： 10.3969/j.issn.1001 8360.2014.08.013.

（编辑 武晓英）