基于泛形理论与概率统计理论的结合面接触刚度分析

曹海龙，梅显军

(延安大学建筑工程学院，陕西延安716000)

结合面表面形貌的随机性、多尺度性和不连续性导致了结合面[1]接触刚度问题至今还是固体力学领域的一大挑战。当前已有的结合面接触刚度模型主要包括分形接触模型[2-5]、概率统计接触模型[6]以及其他一些新的数值模型[7-9](这些新的数值模型包括神经网络接触模型、分子动力学接触模型等)。分形接触模型在众多接触刚度模型中很具代表性，也是被广泛认可的接触模型之一。然而，随着对分形理论研究的不断深入，当需要考虑结合面表面微凸体测度时，分形理论逐渐地出现了一些困惑。具体到结合面接触问题上来，这些困惑包括：按照分形理论的定义来分析，测量尺度可以无限趋近于零，那么假设测量尺度趋近于零，结合面微凸体接触面积也应该是趋近于零，这一点显然是不合理的。当需要考虑研究对象测度时，诸如此类的困惑在其他领域也存在。依据分形理论的缺陷，Ou等[10-13]提出了泛形理论，自然界的物理对象应该采用泛形几何来描述而不是采用分形几何来表征，对于自然界中的几何或物理对象都是有限层次的自相似迭代，分形理论表征的对象都是一些经过无数次迭代形成的理想的数学几何形态，用分形几何来近似代替泛形几何是不可行的，这种不合理性Ou等已在理论上进行了证明。泛形理论的产生，从源头上解决了分形应用中产生的困惑，使得在泛形力学的框架下，对泛形机械结合面接触刚度进行深入探讨成为可能。

1 数值模型

1.1 粗糙表面接触面积模型

本文研究的是单个粗糙面与刚性平面接触的情形。如图1所示，z为轮廓高度，h为轮廓曲线中心线与刚性平面所在位置的高度差。

当轮廓z高度大于h时，粗糙面与刚性平面发生接触。z>h的轮廓部分具有随机性，因此采用概率密度曲线来描述[14]。

(1)

假设粗糙表面总的峰点个数为n，参与接触的峰点数为m，那么二者之间的关系为

(2)

各个接触峰点的法向变形量z>h。由接触力学知识可得实际接触面积A为

(3)

接触峰点支撑的总载荷量W为

(4)

一般情况下粗糙接触表面的轮廓曲线高度采用高斯分布来描述。在高斯分布中，靠近m值较大的部分近似，它的具体形式是Ψ(z)=exp(-z/σ)。由此计算可得

参与接触凸起个数m表达式

m=nσexp(-h/σ)

(5)

将Ψ(z)的表达式带入(3)式得到真实接触面积的表达式

Ar=πnRσ2exp(-h/σ)

(6)

将Ψ(z)的表达式带入(4)式得到法向载荷的表达式

(7)

由(6)、(7)可得到真实接触面积与法向载荷的表达式

(8)

在此引入泛形复杂度与粗糙面轮廓曲线统计参数之间的关系[15]

(9)

式中，G是尺度系数；γ是随机轮廓的空间频率，通常γ=1.5；D是轮廓曲线的泛形复杂度，L是采样长度。

将(9)带入(7)，得到下式

(10)

1.2 粗糙表面接触刚度模型

有弹性接触点支撑的法向总载荷W

(11)

式中：E为粗糙表面的弹性模量；n为粗糙峰总数；m为参与接触的粗糙峰个数。

粗糙表面的轮廓高度按照高斯分布来描述。在高斯分布中，z值较大的峰值部分采用指数型分布来描述。

(12)

因为变形与高度变量仅差一个常数，因此接触刚度可以由法向总载荷对变形求导得到

(13)

将(9)式带入(13)，得到泛形接触刚度表达式

(14)

2 数值计算与结果讨论

取G=2，L=1×10-6m，γ=1.5，W=2MPa。将这些参数带入式(14)中，得到图2结果。

由图2可知，随着复杂度的增加，泛形粗糙面法向接触刚度呈上升趋势。根据泛形理论的几何意义可知，结合面的复杂度越大，结合面表面微凸体充满空间的程度就越高，也就是结合面表面越“平缓”，接触面越接近理想平面，结合面实际接触面积越大，从而导致的接触刚度也会越大。

取E=207GPa，H*=210GPa，G=1×10-3，R=10-5m，L=1×10-2m，γ=1.5。将这些参数带入式(8)中，得到图3结果。

由图3可知，泛形粗糙面的真实接触面积随着法向接触载荷增加而增加。当载荷在1.1 MPa～1.4 MPa这个范围内，法向接触载荷增加时，泛形粗糙面的真实接触面积增大的相对缓慢；当载荷在1.4 MPa～1.7 MPa这个范围内，法向接触载荷增加时，泛形粗糙面的真实接触面积增大的相对迅速，且二者呈近似线性关系。

取E=207GPa，H*=210GPa，G=1×10-3，R=10-5m，L=1×10-2m，h=5×10-4m，γ=1.5，n=1000。将这些参数带入式(10)中，得到图4结果。

由图4可知，泛形粗糙面轮廓曲线的复杂度随着法向接触载荷增加呈上升趋势。当结合面刚开始受压接触时，结合面的微凸体相互接触处于初始阶段，泛形粗糙面轮廓曲线的复杂度增大的很明显；当载荷继续增大时，泛形粗糙面轮廓曲线的复杂度增长的相对缓慢一些。

由图5可知，泛形粗糙面的法向接触刚度随着法向接触载荷增加呈上升趋势。当载荷增大时，微凸体轮廓曲线的平均高度会下降，因此接触面与刚性平面接触的面积会增加，从而引起了结合面接触刚度越大。而且由图还可以发现，在法向载荷一定时，复杂度D越大，法向接触刚度越大。

3 结论

通过数值计算发现，影响结合面接触刚度的因素很多：复杂度和结合面接触面积都随着法向载荷的增大而增大。由泛形理论复杂度的物理意义出发，复杂度由从一逐渐趋近于二的过程中，接触平面逐渐趋近理想平面。换言之，复杂度越大，结合面的表面粗糙度越小。由此可以得出，在相同载荷下，复杂度越大，结合面接触面积越大。结合面接触面积越大，法向接触刚度越大，这也就间接地解释了复杂度和法向载荷增大时，法向接触刚度也随之增大的原因。总体来讲，虽然影响结合面接触刚度因素有很多，但是从结合面接触的微观机理出发，这些影响因素都是通过引起泛形复杂度的变化，从而影响结合面法向接触刚度。