欧拉函数方程φ(abcd)=φ(a)+2φ(b)+3φ(c)+4φ(d)-6的正整数解

曹盼盼，赵西卿

(延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安716000)

对于任意正整数n，欧拉函数φ(n)定义为不大于n且与n互素的正整数的个数。欧拉函数在数论中有着重要的作用，近年来，有关欧拉函数的性质以及欧拉方程吸引了很多学者的研究兴趣[1]。近期文献[2-4]讨论了k的不同取值下二元欧拉方程φ(mn)=k(φ(m)+φ(n))的可解性问题；文献[5，6]讨论了三元变系数的欧拉函数方程φ(abc)=k1(φ(a)+φ(b)+φ(c))+k2的全部正整数解；文献[7]研究了四元欧拉函数方程φ(abcd)=φ(a)+2φ(b)+3φ(c)+4φ(d)的正整数解。由此，本文将研究欧拉函数方程

φ(abcd)=φ(a)+2φ(b)+

3φ(c)+4φ(d)-6

(1)

的可解性问题，并给出该方程的所有正整数解。

1 主要引理

引理3[7]对任意正整数n，n≥3时，φ(n)必为偶数。

2 定理与证明

定理欧拉函数方程φ(abcd)=φ(a)+2φ(b)+3φ(c)+4φ(d)-6的正整数解有：

(a,b,c,d)=(4,1,3,2),(4,2,3,1),(4,1,4,1),(3,1,4,2),(3,2,4,1),(6,1,4,1),(4,1,6,1),(4,3,5,1),(3,4,5,1),(2,2,2,1),(1,2,2,2),(2,1,2,2),(2,2,1,2),(2,2,2,3),(1,2,2,4),(2,1,2,4),(2,2,1,4),(1,2,2,6),(2,1,2,6),(2,2,1,6),(7,1,3,1),(7,1,4,1),(7,1,6,1),(7,1,3,2),(7,2,3,1),(9,1,4,1),(14,1,3,1),(8,1,5,1),(5,1,8,1),(12,1,5,1),(5,1,12,1)。

证明对于欧拉函数方程

φ(abcd)=φ(a)+2φ(b)+3φ(c)+4φ(d)-6，

由引理2得

由引理3，所以φ(abcd)=φ(a)+2φ(b)+

3φ(c)+4φ(d)-6≥φ(a)φ(b)φ(c)φ(d)，

即φ(abcd)=φ(a)+2φ(b)+3φ(c)-6≥

φ(d)[φ(a)φ(b)φ(c)-4]≥

φ(a)φ(b)φ(c)-4，

故有φ(a)+2φ(b)+3φ(c)-2≥

φ(a)φ(b)φ(c)；

同理有φ(a)+2φ(b)-2≥

(φ(a)φ(b)-3)φ(c)≥φ(a)φ(b)-3，

即φ(a)+2φ(b)-2≥φ(a)φ(b)-3。

故有(φ(a)-2)(φ(b)-1)≤3。

因此，可以分以下几种情况讨论。

情形1 当(φ(a)-2)(φ(b)-1)<0时，则有φ(a)=1，φ(b)≥2或者φ(a)≥4，φ(b)<1(不存在)。

1.1 当φ(a)=1，φ(b)≥2时，此时

φ(abcd)=1+2φ(b)+3φ(c)+4φ(d)-6≥

φ(b)φ(c)φ(d)，

即3φ(c)+4φ(d)-5≥φ(b)[φ(c)φ(d)-2]

≥φ(c)φ(d)-2，

则有(φ(c)-4)(φ(d)-3)≤9。因此，可以继续分情况讨论。

1.1.1 当(φ(c)-4)(φ(d)-3)<0时，则有φ(c)=1,2，φ(d)≥4或者φ(c)≥6，φ(d)=1,2。

(1)当φ(c)=1，φ(d)≥4时，有

φ(abcd)=1+2φ(b)+3×1+4φ(d)-6=

2φ(b)+4φ(d)-2≥φ(b)φ(d)，

即2φ(b)-2≥φ(d)[φ(b)-4]，

又4≤φ(d)≤5，所以φ(d)=4。

因此φ(abcd)=1+2φ(b)+3×1+4×4-6=

14+2φ(b)≥4φ(b)，

得φ(b)≤7，即2≤φ(b)≤7。由于a=1，2，c=1，2，d=5，8，10，12，经检验，方程(1)无解。

(2)当φ(c)=2，φ(d)≥4时，有

φ(abcd)=1+2φ(b)+3×2+4φ(d)-6=

2φ(b)+4φ(d)+1≥2φ(b)φ(d)，

即2φ(b)+1≥φ(d)[2φ(b)-4]，

因此φ(d)不存在，所以方程(1)无解。

(3)当φ(c)≥6，φ(d)=1时，

有φ(abcd)=1+2φ(b)+3φ(c)+4×1-6=

2φ(b)+3φ(c)-1≥φ(b)φ(c)，

即2φ(b)-1≥φ(c)[φ(b)-3]，

因此6≤φ(c)≤7，所以φ(c)=6。

有φ(abcd)=1+2φ(b)+3×6+4×1-6=

17+2φ(b)，

显然此式不成立，所以方程(1)无解。

(4)当φ(c)≥6，φ(d)=2时，

有φ(abcd)=1+2φ(b)+3φ(c)+4×2-6=

2φ(b)+3φ(c)+3≥2φ(b)φ(c)，

即2φ(b)+3≥φ(c)[2φ(b)-3]，

因此6≤φ(c)≤7，所以φ(c)=6。

有φ(abcd)=1+2φ(b)+3×6+4×2-6=

21+2φ(b)，

显然，此式不成立，所以方程(1)无解。

1.1.2 当(φ(c)-4)(φ(d)-3)=0时，则有φ(c)=4，φ(d)任取或者φ(c)任取，φ(d)=3(不存在)。

(1)当φ(c)=4,φ(d)任取时，

φ(abcd)=1+2φ(b)+3×4+4φ(d)-6=

2φ(b)+4φ(d)+7。当φ(d)≥1，有

φ(abcd)=2φ(b)+4φ(d)+7，

显然，此式不成立，所以方程(1)无解。

1.1.3 当(φ(c)-4)(φ(d)-3)=1时，则有φ(c)=5(不存在)，φ(d)=4，所以此时方程(1)无解。

1.1.4 当(φ(c)-4)(φ(d)-3)=2时，则有φ(c)=5，φ(d)=5(不存在)或者φ(c)=6，φ(d)=4。

(1)取φ(c)=6，φ(d)=4时，有

φ(abcd)=1+2φ(b)+3×6+4×4-6=

29+2φ(b)，

显然，此式不成立，方程(1)无解。

1.1.5 当(φ(c)-4)(φ(d)-3)=4时，则有φ(c)=5，φ(d)=7(不存在)或者φ(c)=8，φ(d)=4或者φ(c)=6，φ(d)=5(不存在)。

(1)取φ(c)=8，φ(d)=4时，有

φ(abcd)=1+2φ(b)+3×8+4×4-6=

35+2φ(b)，

显然，此式不成立，方程(1)无解。

1.1.6 当(φ(c)-4)(φ(d)-3)=6时，则有φ(c)=5，φ(d)=9(不存在)或者φ(c)=10，φ(d)=4。

(1)取φ(c)=10，φ(d)=4时，

φ(abcd)=1+2φ(b)+3×10+4×4-6=

41+2φ(b)，

显然，此式不成立，方程(1)无解。

1.1.7 当(φ(c)-4)(φ(d)-3)=8时，则有φ(c)=5，φ(d)=11(不存在)或者φ(c)=6，φ(d)=7(不存在)或者φ(c)=8，φ(d)=5(不存在)或者φ(c)=12，φ(d)=4。

(1)取φ(c)=12，φ(d)=4时，

φ(abcd)=1+2φ(b)+3×12+4×4-6=

47+2φ(b)，

显然，此式不成立，方程(1)无解。

情形2 当(φ(a)-2)(φ(b)-1)=0时，则有φ(a)=2，φ(b)任取或者φ(a)任取，φ(b)=1。

2.1 当φ(a)=2，φ(b)任取时，有

φ(abcd)=2+2φ(b)+3φ(c)+4φ(d)-6=

2φ(b)+3φ(c)+4φ(d)-4≥

2φ(b)φ(c)φ(d)，

即2φ(b)+4φ(d)-4≥

φ(c)[2φ(b)φ(d)-3]≥2φ(b)φ(d)-3，

故2φ(b)+4φ(d)-4≥2φ(b)φ(d)-3。

所以2φ(b)-1≥φ(d)[2φ(b)-4]，得

即φ(d)=1。因此

φ(abcd)=2+2φ(b)+3φ(c)+4×1-6=

2φ(b)+3φ(c)≥2φ(b)φ(c)，

即2φ(b)≥φ(c)[2φ(b)-3]，

所以φ(c)=1,2,4。

2.1.1 当φ(c)=1时，有

φ(abcd)=2+2φ(b)+3×1+4×1-6=

2φ(b)+3，

显然，此式不成立，方程(1)无解。

2.1.2 当φ(c)=2时，有

φ(abcd)=

2+2φ(b)+3×2+4×1-6=2φ(b)+6。

(1)当φ(b)=1时，有φ(abcd)=8，即abcd=15，16，20，24，30。其中a=3，4，6，b=1，2，c=3，4，6，d=1，2，经计算，方程(1)有解

(a,b,c,d)=(4，1，3，2)，(4，2，3，1)，(4，1，4，1)，(3，1，4，2)，(3，2，4，1)，(6，1，4，1)，(4，1，6，1)。

(2)当φ(b)=2时，有φ(abcd)=10，即abcd=11，22。其中a=3，4，6，b=3，4，6，c=3，4，6，d=1，2，经计算，方程(1)无解。

(3)当φ(b)≥4时，有

φ(abcd)=2+2φ(b)+3×2+4×1-6=

2φ(b)+6≥4φ(b)，

得φ(b)=1，2与φ(b)≥4矛盾，所以方程(1)无解。

2.1.3 当φ(c)=4时，有

φ(abcd)=2+2φ(b)+3×4+4×1-6=

2φ(b)+12。

(1)当φ(b)=1时，有φ(abcd)=14，此值不存在，所以方程(1)无解。

(2)当φ(b)=2时，有φ(abcd)=16，即abcd=17，32，34，40，48，60。其中a=3,4,6,b=3,4,6,c=5,8,10,12,d=1,2，经计算，方程(1)有解

(a,b,c,d)=(4,3,5,1),(3,4,5,1)。

(3)当φ(b)≥4时，有

φ(abcd)=2+2φ(b)+3×4+4×1-6=

2φ(b)+12≥8φ(b)，

得φ(b)=1,2与φ(b)≥4矛盾，所以方程(1)无解。

2.2 当φ(a)任取，φ(b)=1时，有

φ(abcd)=φ(a)+2×1+3φ(c)+4φ(d)-6=

φ(a)+3φ(c)+4φ(d)-4≥φ(a)φ(c)φ(d)，

即3φ(c)+4φ(d)-4≥

φ(a)[φ(c)φ(d)-1]≥φ(c)φ(d)-1，

故3φ(c)+4φ(d)-4≥φ(c)φ(d)-1。所以

4φ(d)-3≥φ(c)[φ(d)-3]，得

即φ(c)=1,2,4,6,8,10,12。

2.2.1 当φ(c)=1时，有

φ(abcd)=φ(a)+2×1+3×1+4φ(d)-6=

φ(a)+4φ(d)-1≥φ(a)φ(d)，

即φ(a)-1≥φ(d)[φ(a)-4]，

即φ(d)=1,2。

(1)当φ(d)=1时，有

φ(abcd)=

φ(a)+2×1+3×1+4×1-6=φ(a)+3。

当φ(a)=1时，有

φ(abcd)=1+2×1+3×1+4×1-6=4，

即abcd=5，8，10，12。

其中a=1，2，b=1,2,c=1,2,d=1,2，经计算，方程(1)有解

(a,b,c,d)=(2,2,2,1),(1,2,2,2),(2,1,2,2),(2,2,1,2)。

当φ(a)≥2时，有

φ(abcd)=φ(a)+2×1+3×1+4×1-6=

3+φ(a)，

显然此值为奇数，故不成立，所以方程(1)无解。

(2)当φ(d)=2时，

φ(abcd)=

φ(a)+2×1+3×1+4×2-6=φ(a)+7。

当φ(a)=1时，有

φ(abcd)=1+2×1+3×1+4×2-6=8，

即abcd=15，16，20，24，30。

其中a=1，2，b=1,2,c=1,2,d=3,4,6，经计算，方程(1)有解

(a,b,c,d)=(2,2,2,3),(1,2,2,4),(2,1,2,4),(2,2,1,4),(1,2,2,6),(2,1,2,6),(2,2,1,6)。

当φ(a)≥2时，有

φ(abcd)=φ(a)+2×1+3×1+4×2-6=

7+φ(a)，

显然此值为奇数，故不成立，所以方程(1)无解。

2.2.2 当φ(c)=2时，有

φ(abcd)=φ(a)+2×1+3×2+4φ(d)-6=

φ(a)+4φ(d)+2≥2φ(a)φ(d)。

(1)当φ(a)=1时，

φ(abcd)=1+2×1+3×2+4φ(d)-6=

4φ(d)+3，

显然，此式不成立，所以方程(1)无解。

(2)当φ(a)=2时，

φ(abcd)=2+2×1+3×2+4φ(d)-6=

4φ(d)+4≥4φ(d)。

经计算，方程(1)有解

(a,b,c,d)=(3,1,4,3),(4,1,3,3),(3,1,3,4)。

(3)当φ(a)=4时，有

φ(abcd)=4+2×1+3×2+4φ(d)-6=

4φ(d)+6≥8φ(d)，

即φ(d)=1。

因此φ(abcd)=10，即abcd=11,22，经计算，方程(1)无解。

(4)当φ(a)=6时，有

φ(abcd)=6+2×1+3×2+4φ(d)-6=

4φ(d)+8≥12φ(d)，

即φ(d)=1。因此φ(abcd)=12，即abcd=13，21，26，28，36，42。其中a=7,9,14,18,b=1,2,c=3,4,6,d=1,2，经计算，方程(1)有解

(a,b,c,d)=(7,1,3,1),(7,1,4,1),(7,1,6,1),(7,1,3,2),(7,2,3,1),(9,1,4,1),(14,1,3,1)。

(5)当φ(a)≥8时，有

φ(abcd)=8+2×1+3×2+4φ(d)=

4φ(d)+10≥16φ(d)，

即φ(d)不存在，所以方程(1)无解。

2.2.3 当φ(c)=4时，有

φ(abcd)=φ(a)+2×1+3×4+4φ(d)-6=

φ(a)+4φ(d)+8≥4φ(a)φ(d)。

(1)当φ(a)=1时，

φ(abcd)=1+2×1+3×4+4φ(d)-6=

4φ(d)+9，

显然，此式不成立，所以方程(1)无解。

(2)当φ(a)=2时，

φ(abcd)=2+2×1+3×4+4φ(d)-6=

4φ(d)+10≥8φ(d)，

即φ(d)=1,2。经计算，方程(1)无解。

(3)当φ(a)=4时，有

φ(abcd)=4+2×1+3×4+4φ(d)-6=

4φ(d)+12≥16φ(d)，

即φ(d)=1。

因此φ(abcd)=16，即abcd=17,32,34,40,48,60。其中a=5,8,10,12,b=1,2,c=5,8,10,12,d=1,2，经计算，方程(1)有解

(a,b,c,d)=(8,1,5,1),(5,1,8,1),(12,1,5,1),(5,1,12,1)。

(4)当φ(a)≥6时，有

φ(abcd)=6+2×1+3×4+4φ(d)-6=

4φ(d)+14≥24φ(d)，

得φ(d)不存在，所以方程(1)无解。

2.2.4 当φ(c)=6时，有

φ(abcd)=φ(a)+2×1+3×6+4φ(d)-6=

φ(a)+4φ(d)+14≥6φ(a)φ(d)。

(1)当φ(a)=1时，

φ(abcd)=1+2×1+3×6+4φ(d)-6=

4φ(d)+15，

显然，此式不成立，所以方程(1)无解。

(2)当φ(a)=2时，

φ(abcd)=2+2×1+3×6+4φ(d)-6=

4φ(d)+16≥12φ(d)，

即φ(d)=1,2。

经计算，方程(1)有解

(a,b,c,d)=(4,1,7,3),(3,1,7,4)。

(3)当φ(a)≥4时，有

φ(abcd)=4+2×1+3×4+4φ(d)-6=

4φ(d)+18≥24φ(d)，

得φ(d)不存在，所以方程(1)无解。

2.2.5 当φ(c)=8时，有

φ(abcd)=φ(a)+2×1+3×8+4φ(d)-6=

φ(a)+4φ(d)+20≥8φ(a)φ(d)。

(1)当φ(a)=1时，

φ(abcd)=1+2×1+3×8+4φ(d)-6=

4φ(d)+21，

显然，此式不成立，所以方程(1)无解。

(2)当φ(a)=2时，

φ(abcd)=2+2×1+3×8+4φ(d)-6=

4φ(d)+22≥16φ(d)，

即φ(d)=1。

因此φ(abcd)=26，此式不成立，所以方程(1)无解。

(3)当φ(a)≥4时，有

φ(abcd)=4+2×1+3×8+4φ(d)-6=

4φ(d)+24≥32φ(d)，

得φ(d)不存在，所以方程(1)无解。

2.2.6 当φ(c)=10时，有

φ(abcd)=φ(a)+2×1+3×10+4φ(d)-6=

φ(a)+4φ(d)+26≥10φ(a)φ(d)。

(1)当φ(a)=1时，

φ(abcd)=1+2×1+3×10+4φ(d)-6=

4φ(d)+27，

显然，此式不成立，所以方程(1)无解。

(2)当φ(a)=2时，

φ(abcd)=2+2×1+3×10+4φ(d)-6=

4φ(d)+28≥20φ(d)，

即φ(d)=1。

因此φ(abcd)=32，abcd=51,64,68,80,96,102,120。其中a=3,4,6，b=1,2，c=11,22，d=1,2，经计算，所以方程(1)无解。

(3)当φ(a)≥4时，有

φ(abcd)=4+2×1+3×10+4φ(d)-6=

4φ(d)+30≥40φ(d)，

得φ(d)不存在，所以方程(1)无解。

2.2.7 当φ(c)=12时，有

φ(abcd)=φ(a)+2×1+3×12+4φ(d)-6=

φ(a)+4φ(d)+32≥12φ(a)φ(d)。

(1)当φ(a)=1时，

φ(abcd)=1+2×1+3×10+4φ(d)-6=

4φ(d)+33，

显然，此式不成立，所以方程(1)无解。

(2)当φ(a)=2时，

φ(abcd)=2+2×1+3×12+4φ(d)-6=

4φ(d)+34≥24φ(d)，

即φ(d)=1。

因此φ(abcd)=38，此式不成立，所以方程(1)无解。

(3)当φ(a)≥4时，有

φ(abcd)=4+2×1+3×12+4φ(d)-6=

4φ(d)+36≥48φ(d)，

得φ(d)不存在，所以方程(1)无解。

情形3 当(φ(a)-2)(φ(b)-1)=1时，则有φ(a)=3(不存在)，φ(b)=2。所以方程(1)无解。

情形4 当(φ(a)-2)(φ(b)-1)=2时，则有φ(a)=3，φ(b)=3(不存在)或者φ(a)=4，φ(b)=2。

4.1 当φ(a)=4，φ(b)=2时，有

φ(abcd)=4+2×2+3φ(c)+4φ(d)-6=

3φ(c)+4φ(d)+2≥8φ(c)φ(d)，

即3φ(c)+2≥φ(d)[8φ(c)-4]，得

故3φ(c)+2≥8φ(c)-4，

所以φ(c)=1。

4.1.1 当φ(c)=1时，有

φ(abcd)=4+2×2+3×1+4φ(d)-6=

4φ(d)+5，

显然，此式不成立，所以方程(1)无解。