含混合型简数根函数的两个数论函数方程的解

张明丽，高 丽，郑 璐

(延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安716000)

1 相关引理

引理1[3，4]由简数定理知，

引理2[8]当n≥2时，有φ(n)

引理3[10]对于素数p与k≥1，有

φ(pk)=pk-pk-1。

引理4[10]对任意素数p≥3，Z(p)=p-1。

引理5[10]对任意素数p≥3及k∈N+，Z(pk)=pk-1。当p=2时，则有Z(2k)=2k+1-1。

引理6[10]Z(n)非加性函数，即Z(n+m)不恒等于Z(n)+Z(m)，且Z(n)也非积性函数，即Z(nm)不恒等于Z(n)Z(m)。

2 主要结论及其证明

定理1 对于任意的正整数n，k>1时，混合函数方程：

Z(nk)=sim(φ(n2))

仅有正整数解n=1。

证明对于混合函数方程

Z(nk)=sim(φ(n2))

(1)

由引理2，主要分以下两种情形讨论：

情形一：当0

情形二：当n2>3时，φ(n2)为偶数，由引理1知，此时

sim(φ(n2))=

1.当φ(n2)≡0(mod9)时，令φ(n2)=18l(l∈N+)，此时sim(φ(n2))=sim(18l)=9，即Z(nk)=9。

1.1 当n为奇数时，由引理3—引理7，我们分为以下几种情况进行讨论：

i)n=p，且p≥3为素数，Z(pk)=pk-1=9，即pk=10与其为素数矛盾，故此时(1)无解。

ii)n=ps，p≥3为素数且s>1，k≥2时，Z(pks)=pks-1=9，即pks=10(不存在)，故此时(1)无解。

iii)n=p1s1p2s2…ptst，(其中p1s1，p2s2，…，ptst均大于等于3，si≥1，0≤i≤t，t≥2)，如果Z(nk)=9，根据Z(n)的定义，既满足定义又满足nk|45的情况只有k=1，n=45。

当k=1，n=45，sim(φ(45))=sim(24)=6，与前提条件矛盾，故此时(1)无解。

1.2 当n为偶数时，Z(nk)=9，根据Z(n)的定义，即nk|45，显然不存在这样的n，使得其同时满足n为偶数且nk|45，故此时式(1)无解。

2.当φ(n2)≡r(mod9)且0

2.1 当l为奇数时，k>1，由于r=1，即Z(nk)=1时，即n=1，归类于情形一，下面依次讨论r=3，5，7的情况。

当r=3，Z(nk)=3时，即nk=2，6，又k>1，显然不存在这样的n，故此时式(1)无解。

当r=5，Z(nk)=5时，即nk=15，又k>1，显然不存在这样的n，故此时式(1)无解。

当r=7，Z(nk)=7时，即nk=4，14，28，，又k>1，可能的取值为k=2，n=2，带入(1)式验证不符合，故此时式(1)无解。

2.2 当l为偶数时，k>1，下面依次对r=2，4，6，8进行讨论。

当r=2，Z(nk)=2时，即nk=3，又k>1，显然不存在这样的n，故此时式(1)无解。

当r=4，Z(nk)=4时，即nk=5，10，又k>1，显然不存在这样的n，故此时式(1)无解。

当r=6，Z(nk)=6时，即nk=7，21，又k>1，显然不存在这样的n，故此时式(1)无解。

当r=8，Z(nk)=8时，即nk=9，12，18，36，又k>1，可能的取值为k=2，n=3或者k=2，n=6，带入(1)式验证均不符合，故此时式(1)无解。

定理2 对于任意的正整数n，x≥2，y>2时，混合函数方程：

Z(nx)=sim(φ(ny))

仅有正整数解n=1。

证明对于混合函数方程

Z(nx)=sim(φ(ny))

(2)

由引理2，主要分以下两种情形讨论：

情形一：当n=1时，φ(ny)=1，此时sim(φ(ny))=

sim(1)=1，而Z(nx)=Z(1x)=1，故此时式(2)有解为n=1。

情形二：当n≥2时，φ(ny)为偶数，由引理1知，此时

sim(φ(ny))=

1.当φ(ny)≡0(mod9)时，令φ(ny)=18l(l∈N+)，此时sim(φ(ny))=sim(18l)=9，即Z(nx)=9。

1.1 当n为奇数时，由引理3—引理7，我们分为以下几种情况进行讨论：

i)n=p，且p≥3为素数，Z(px)=px-1=9，即px=10与其为素数矛盾，故此时式(2)无解。

ii)n=ps，p≥3为素数且s>1，Z(psx)=psx-1=9，即psx=10(不存在)，故此时式(2)无解。

iii)n=p1s1p2s2…ptst(其中p1s1，p2s2，…，ptst均大于等于3，si≥1，0≤i≤t，t≥2)，如果Z(nx)=9，根据Z(n)的定义，既满足定义又满足nx|45，经检验故此时式(2)无解。

1.2 当n为偶数时，Z(nk)=9，根据Z(n)的定义，即nk|45，显然不存在这样的n，使得其同时满足n为偶数且nk|45，故此时式(2)无解。

2.当φ(ny)≡r(mod9)且0

2.1 当l为奇数时，x≥2，由于r=1，即Z(nx)=1时，即n=1，归类于情形一，下面依次讨论r=3,5,7的情况。

当r=3，Z(nx)=3时，即nx=2,6，又x>1，显然不存在这样的n，故此时式(2)无解。

当r=5，Z(nx)=5时，即nx=15，又x>1，显然不存在这样的n，故此时式(2)无解。

当r=7，Z(nx)=7时，即nx=4，14，28，又x>1，

可能的取值为x=2，n=2，即求sim(φ(2y))=Z(22)=7，而sim(φ(2y))=sim(2y-1)=2，4，8，故此时式(2)无解。

2.2 当l为偶数时，x>1，下面依次对r=2，4，6，8进行讨论。

当r=2，Z(nx)=2时，即nx=3，又x>1，显然不存在这样的n，故此时式(2)无解。

当r=4，Z(nx)=4时，即nx=5，10，又x>1，显然不存在这样的n，故此时式(2)无解。

当r=6，Z(nx)=6时，即nx=7，21，又x>1，显然不存在这样的n，故此时式(2)无解。

当r=8，Z(nx)=8时，即nx=9，12，18，36，又x>1，可能的取值为x=2，n=3或者x=2，n=6，下面对这两种情况分类讨论：

当x=2，n=3时，即sim(φ(3y))=Z(32)=7。而当y=1,2时，sim(φ(3y))=sim(2×3y-1)=2,6；当y≥3时，sim(φ(3y))=sim(2×3y-1)=9(与前提条件矛盾)，故此时式(2)无解。

当x=2，n=6时，即sim(φ(6y))=Z(62)=7。而当y=1,2时，sim(φ(2y3y))=sim(2y×3y-1)=2,4；当y≥3时，sim(φ(2y3y))=sim(2y×3y-1)=9(与前提条件矛盾)，故此时式(2)无解。