一道数项级数求和问题解法探讨

郑丽娜

摘  要：在无穷级数中，求常数项级数的和是难点.而计算常数项级数和的方法有多种，该文对构造幂级数的和函数，利用幂级数的和函数的分析运算性质求常數项级数的和进行了研究。针对一道求常数项级数和的具体问题进行了探讨，给出了4种构造幂级数的方法，并对每种方法的注意事项、使用技巧进行了简单的分析和说明。

关键词：幂级数  和函数  逐项求导

中图分类号：O173    文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2020）01（b）-0223-02

Abstract： in infinite series， it is difficult to find the sum of series of constant terms. There are many ways to find the sum of series of constant terms. in this paper， we study how to construct the sum function of power series and find the sum of the series of constant terms by using the analytic property of the sum function of power series. This paper discusses a specific problem of of finding the sum of series of constant terms， four methods of constructing power series are given，furthermore， the limitations， techniques for each method are analyzed and illustrated briefly.

Key Words： Power series; Sum function; Item by item derivation

无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具。求常数项级数的和是无穷级数的一个难点，通常的计算方法有两种，利用数项级数和的定义（即设，若存在，则）和借助幂级数的和函数。利用级数和的定义求数项级数和这种方法具有很大的局限性，只适应于某些特殊的级数。通过构造幂级数，利用幂级数的和函数求常数项级数的和更具有普遍性，该文就求一道常数项级数的和的题目进行探讨，提出构造4种不同的幂级数来求其和。

题目：求数项级数的和。

注4  解法4和解法3类似，通过构造一个幂级数利用两次逐项求导求幂级数的和函数。该解法与前3种解法相比较，计算量大，主要在于求函数的原函数相对麻烦;另外，要注意到是反常积分，x=0是被积函数的瑕点，故。该方法对于学生来说难度较大。

该文就一道数项级数求和问题的解法做了探讨，通过构造不同的幂级数求和函数的方法来求解。构造幂级数时，要根据数项级数的特点，构造合适的幂级数。从计算过程中可以看到，熟练掌握和函数的性质（幂级数的和函数在其收敛域上连续、可逐项积分、在收敛区间上可逐项求导）是求幂级数的和函数的关键。

参考文献

[1] 同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2014：7.

[2] 华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2001.