关于弯曲时空中的量子场论的一种新构想

董振铭

摘  要：在弯曲时空中的无穷远处设置一个量子实验室，该无穷远处的度规是闵可夫斯基度规，即将弯曲时空的无穷远处视为平直时空，在量子实验室的参考系中量子的产生和湮灭可以按照平直时空的量子场论来处理，对于同一个粒子的产生或湮灭，在非无穷远处的弯曲时空某一点参考系当中看来，要满足广义相对论中的时间和空间膨胀收缩的结果。即在量子实验室的参考系看来，空间中某一点x某一时刻t产生或者湮灭的一个粒子，在弯曲时空中某一点参考系看来，是x'处和t'时刻产生或湮灭的粒子，时间和空间的差异是按照两个参考系之间进行变换后的结果。如果仅仅把引力视为时空弯曲的效应，将量子实验室参考系和弯曲时空参考系平权，认为在弯曲时空参考系中的量子产生湮灭现象在量子实验参考系中也满足这种对应关系，则能利用量子力学的平移算符和弯曲时空的度规张量构造出弯曲时空中的量子场论。

关键词：弯曲时空  量子场论  平移算符  度规张量

中图分类号：O412.3;O413.4    文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2020）01（b）-0218-03

Abstract： Set a quantum laboratory in a point at infinity in the curved spacetime， the metric of the point is minkowski metric. The creation and annihilation of quantum in quantum laboratory reference frame can be handled in accordance with the flat space-time quantum field theory， for the same particle‘s creation or annihilation， in another point on the curved spacetime reference frame， to meet the result of the general theory of relativity in time and space expansion or shrinkage. Assume a particle that is created or annihilated at some point x at some time t in quantum lab reference frame， the same particle that is created or annihilated at x and t at some point in the reference frame of in curved spacetime， the difference in time and space is the result of a transformation between two reference frames. If only regard the effect of gravity as bending spacetime， quantum laboratory reference frame and the reference frame of a curved spacetime are equal， we can think quantum phenomena in curved spacetime reference frame also meet this kind of corresponding relation between the reference frames， so we can use the translation of quantum mechanics operator and the metric tensor to structure the quantum field theory in curved spacetime.

Key Words： Curved spacetime; Quantum field theory; Translation operator; The metric tensor

關于弯曲时空中的量子场论介绍，国内比较著名的有北京师范大学刘辽先生所著的《弯曲时空量子场论与量子宇宙学》教材，书中讨论的是经典引力场背景下的量子场论，而非量子引力理论。不同于书中通过一个量子物质场的有效作用量[1]将引力场方程和量子物质场联系起来的方法，文章将引力视为一种纯粹的时空弯曲作用，而不将经典引力场与量子场论中的粒子场同等视为一种场，从而避开引力场和量子场之间的矛盾以及引力量子化带来的种种困难，试图提出一种关于弯曲时空量子场论的新构想、新观点。

1  量子实验室参考系与弯曲时空参考系（以史瓦西度规为例，文章中的度规均使用国际单位制，而不是自然单位制）

假设一个静止的球对称大质量密度天体，该天体的对外部空间的作用结果是空间不再是平直的闵可夫斯基度规，而是史瓦西度规，时空的线元满足：

在史瓦西时空的无穷远处设置一个量子实验室，在量子实验室中进行相对论性的量子实验。根据量子场论，相对论性的量子现象会有粒子的产生或者湮灭，粒子数可以不守恒，这是量子场论区别于非相对论量子力学的最大区别[2]。在无穷远的平直时空中产生或湮灭的某些种类的微观粒子是具有非零的静止质量的，比如电子。按广义相对论的观点，这些实物粒子可以弯曲时空，产生引力作用，但是，就算有微观粒子的产生，其带来的引力作用是可以忽略的，比起电磁、强相互作用和弱相互作用，微观领域的引力作用也是忽略不计的[3]。那么我们忽略掉产生或湮灭的微观粒子所带来的对时空度规的影响，即在量子实验室参考系里面，量子实验的结果遵循平直时空的量子场论，即一般的量子场论。

如果我们在量子实验室里进行实验，得到的其中一个现象是在t1时刻在r1处湮灭了一个光子，然后又在t2时刻在r2处产生了一个光子，设它们之间是类光间隔，记为事件1。其中t1、r1、t2、r2都是相对于量子实验室参考系而言的。

而在非无穷远处（弯曲时空），比如史瓦西空间中的r处，在该处设一个观测点，以它为参考系，在该参考系中，事件1是在t1'时刻在r1'处湮灭了一个光子，然后又在t2'时刻在处r2'产生了一个光子，由于在平直时空中是类光间隔，那么变换到弯曲时空中依旧是类光间隔[4]。

那么t2-t1与t2'-t1'之间的关系、x2-x1与x2'-x1'之间的关系由什么来决定呢？

2  弯曲时空的膨胀与收缩

无论在平直时空还是在弯曲时空，光的传播的间隔（类光间隔）都满足ds2=0。

以一把尺子自己本身作为参考系，即参考系相对尺子静止，测得的尺子长度都是尺子的固有长度[5]，是洛伦兹不变量，不会因尺子位置的时空状态而改变。

如果尺子在平直时空，一束光从一把尺子的一段传播到另一端，由r1到r2，经过时间t1到t2，径向传播，那么：在平直时空中用光测量尺子的固有长度用时t2-t1，在弯曲时空中用光测量尺子的固有长度用时t2'-t1'，光速不变，尺子固有长度一致，由式（6）可知弯曲时空（史瓦西度规）中时间比平直时空较慢。

前面的讨论是同一把尺子分别放在平直时空和弯曲时空测量固有长度，由光速不变可得时间膨胀收缩公式（6）式。

接下来是一把尺子放在弯曲时空，在弯曲时空参考系和平直时空参考系两个系看同一个事件的区别。

将尺子置于弯曲时空中，在尺子的该点参考系测量其固有长度，光的传播用时t2'-t1'，测量所得的距离（固有长度）c（t2'-t1'）是同时在无穷远处的平直时空参考系看来，在弯曲时空处光的传播用时t2-t1，测得的距离（非固有长度）是c（t2-t1），空间膨胀收缩公式：结合时间膨胀收缩公式（6）式和空间膨胀收缩公式（7）式，显然同一物体的固有长度不会发生改变。

3  事件1在量子实验室参考系和弯曲时空参考系的区别

发生在量子实验室（平直时空）的事件1，在弯曲时空的处观测点所观测得到的结果必然满足时空的收缩。那么相对的，如果事件1是发生在弯曲时空中的观测点，那么在量子实验室观测到的结果也应该满足时空的膨胀。

也就是说，如果把引力看作一种纯粹的时空效应，那么原来在平直时空的量子场论，当变换到弯曲时空时，只需考虑时空的弯曲效应。

从第二点中的讨论可以看出，这种时空的弯曲可以直接与度规张量的矩阵元聯系在一起。

以标量粒子为例，原来在量子实验室的相对论性量子实验，满足下面式子的描述（四维形式，爱因斯坦约定求和，此处使用了自然单位制）：

当事件1发生在弯曲时空时，弯曲时空观测点的结果仍然可以用上述式子描述（类似固有长度，在引力场尺度下忽略实验室尺寸），位于量子实验室（平直时空）的观测结果则要求上述式子所表述的物理结果满足时空膨胀的结果。

4  平移算符与膨胀收缩算符

曾谨言先生所著的《量子力学教程（第四版）》中有一个用来描述量子体系坐标平移的算符，被称为平移算符[6]，如下：。当平移算符作用于波函数（x）时，得。

对算符进行泰勒级数[7]展开，得：

平移算符相当于使原来的波函数的坐标x变为x-a。

以史瓦西度规（球对称）为例，g00是时间t项的度规矩阵元，g11是r项的度规矩阵元，可以将平移算符改为：

暂时把上式称为史瓦西膨胀收缩算符，用exp（g）表示。

如果令算符作用后的坐标r，t为r'，t'，那么由，，可得第二点中的时空膨胀收缩公式（6）式和（7）式。

当exp（g）作用于场量（r，t，...）、外源J（r，t，...）两者和其余的表达式中的时空坐标量r，t时，空间坐标量由r变为，此时再处理出来对应的会得到空间膨胀的结果，时间坐标量由t变为，同理会得到时间膨胀的结果，此时得到的描述结果符合时空效应。不同的度规应该根据时空效应求得对应的膨胀收缩算符，结果的形式与exp（g）是类似的。

假设我们处于弱场或者平直时空中，讨论一个处于史瓦西度规强场（弯曲时空）中的相对论性量子实验（标量粒子），那么在我们看来，描述这个量子实验的一套数学工具应该是：场量'（x）=exp（g）（x）。外源J'（x）=exp（g）J（x）;其余地方的时空坐标x'=exp（g）x。剩下的式子用上述3类量写出可保证算符不重复作用，上述式子描述的结果符合时空效应。

5  观测者时空和量子实验时空

再根据第二点的方法计算观测者时空和量子实验室时空之间的膨胀收缩关系，得出对应的膨胀收缩算符exp（g实验室对于g观），再作用于'（x）和其他各种物理量，则可得到符合观测者观测结果的量子场论描述。

6  结论

如果将引力作用视为纯粹的时空弯曲效应，利用时空的度规可得时空之间的膨胀收缩关系，再根据膨胀收缩关系构建膨胀收缩算符（一般使用度规矩阵元表示），算符作用于场量、时空坐标等物理量和式子，即可得到满足时空效应的量子场论，即弯曲时空中的量子场论。

7  应用与局限

弯曲时空量子场论不同于量子引力论，是一种具有一定局限性的、出于某些应用和研究目的的广义相对论和量子场论的融合产物。但一个有效或者说在一定精度上近似有效的弯曲时空量子场论对天体高能粒子物理、实验室高能粒子对撞机等都有很大的应用，而且启发人们去探寻宇宙引力现象与微观粒子现象之间的联系。

参考文献

[1] 刘辽，黄超光.弯曲时空量子场论与量子宇宙学[M].北京：科学出版社，2013.

[2] 黄涛.量子场论导论[M].北京：北京大学出版社，2015.

[3] 陆瑞征，羊亚平.四种相互作用的强度之比及其于宇宙结构之间的关系[J].工科物理，1998（3）：39-41.

[4] 刘辽，赵峥.广义相对论[M].2版.北京：高等教育出版社，2004.

[5] 赵峥，刘文彪.广义相对论基础[M].北京：清华大学出版社，2010.

[6] 曾谨言.量子力学教程[M].4版.北京：科学出版社，2014.

[7] 曹广福，叶瑞芬，赵红星.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2009.