考虑时间因素的加筋土应力-应变关系

庞传山 高海军 景宏君 叶万军 陈斐

摘 要：加筋土結构在工程行业有着广泛的应用，但是加筋材料的蠕变特性带来了很多的工程问题。当前虽然已有考虑加筋材料蠕变对加筋土变形影响的研究，但考虑的因素依旧不够全面，鉴于此进行了考虑筋土相对位移与时间因素的加筋复合材料应力应变关系的推导。基于自洽理论推导了加筋复合材料中筋土微观应变比例关系的计算方法，并将该式应用到了考虑时间因素的加筋复合材料应力-应变关系推导当中，得出了加筋复合材料水平应变表达式，确定了影响变形发展速度和最终变形量的关键参数。随后选取一实例对该公式进行了规律分析。研究表明加筋材料和填料微观应变比值只与填料和加筋材料的泊松比、弹性模量和体积占比有关，且在性质相同的填料中埋入的加筋材料弹性模量越大，该比值越小;筋材的粘滞系数决定了应变的发展速度，参量（E1+E2）/E1E2和进入塑性变形时的应力水平共同决定了稳定后的变形值，因此在选择加筋材料时，应当进行蠕变试验选取参量较小的材料;加筋材料的蠕变对加筋体变形的影响非常显著，且水平应变主要产生在塑性变形阶段，其随时间的发展逐渐增大，但增长速率逐步放缓，最后趋于稳定，在设计选材及变形计算中应当尤为注意这一点。关键词：土木工程;加筋土;筋土相对位移;应力-应变关系

中图分类号：TU 43

文献标志码：A

文章编号：1672-9315（2020）01-0118-08

DOI：10.13800/j.cnki.xakjdxxb.2020.0116开放科学（资源服务）标识码（OSID）：

Stress-strain relationship of reinforced soil

considering time factor

PANG Chuan-shan 1，GAO Hai-jun 2，JING Hong-jun 3，4，YE Wan-jun 3，4，CHEN Fei 5

（1.Shaanxi Water Affair Group Co.，Ltd.，Xian 710068，China;

2.Shaanxi Yanan Road Administrative Bureau，Yanan 716100，China;

3.College of Civil and ArchitecturalEngineering，Xian University of Science and Technology，Xian 710054，China;

4.Road Engineering Research Center，Xian University of Science and Technology，Xian 710054，China;

5.School of Highway，Changan University，Xian 710054，China）

Abstract：Reinforced earth structure has been widely used in engineering industry，but the creep characteristics of reinforced materials bring many engineering problems.At present，although the influence of creep of reinforced material on deformation of reinforced soil has been studied，the factors considered are still not comprehensive enough.In view of this，the relationship between stress and strain of reinforced composite material considering relative displacement of reinforced soil and time factors is deduced.Based on the self-consistent theory，this paper deduced the calculating method of the micro-strain ratio of reinforcement and soil in reinforced composites，applied this formula to the derivation of the stress-strain relationship of reinforced composites considering the time factor，obtained the expression of the horizontal strain of reinforced composites，and determined the key parameters affecting the development speed and final deformation.Thenan example was selected to analyze the rule of the formula.The results show that the ratio of micro-strain of reinforced materials and fillers is only related to Poissons ratio，elastic modulus and volume ratio of fillers and reinforced materials，and the larger the elastic modulus of reinforced materials embedded in fillers with the same properties，the smaller the ratio.The viscous coefficient of reinforcement determines the strain development speed，and the deformation value after stabilization is determined by both the parameters and the stress level when plastic deformation occurs.Therefore，creep tests should be carried out to select materials with smaller parameters when selecting reinforced materials.The creep of reinforced material has a very significant effect on the deformation of the reinforced body，and the horizontal strain mainly occurs in the plastic deformation stage.The strain value increases gradually with the development of time，but the growth rate slows down gradually，and finally tends to be stable.This should be paid special attention to in the design，selection of materials and deformation calculation.Key words：civil engineering;reinforced soil;relative displacement of reinforced soil;stress-strain relationship

0 引 言

加筋材料拉伸强度高，耐久性好，制作方便，运输快捷，在土木工程领域、交通工程领域和水利工程领域有着广泛的应用[1-2]。但从材料属性而言，加筋材料一般为高聚物，因此具有显著的蠕变特性。当材料受力不变时，加筋材料的应变随着时间的发展逐步增大，验收合格的加筋土路基在运营期间出现了各种各样的变形破坏，故分析考虑时间因素下加筋复合材料的应力应变关系具有重要意义。

近年来，国内外专家学者采取理论推导、模型试验[3-6]、数值模拟[7-8]等手段针对加筋土变形破坏展开了大量研究，发现构建加筋复合材料的本构模型在加筋土变形研究中至关重要，并取得了一些积极的成果。Harrison利用正交各向异性弹性方程求解了加筋土复合材料的应力应变关系[9]。Sawicki研究了复合材料的宏观本构关系表达式，并通过加筋土实例进行了验证[10]。Sawicki针对纤维加筋土定义初始屈服面并通过复合材料弹塑性增量方程求解[11]。Shukla提出了软土地基上土工合成材料加筋土沉降计算的普遍力学模型，但其只能求解一维问题[12]。周世良基于应变相容理论和自洽理论，推导了加筋复合材料的模量矩阵和屈服条件，随后应用于实际计算验证其正确性[13]。Zou考虑了材料蠕变并通过有限元分析程序进行了验证[14]。肖成志、李丽华等推导了加筋复合材料的水平应变与时间的关系表达式[15-16]。周志刚等针对低应力条件下加筋土变形的弹性和塑性2个阶段分别建立各阶段的模型方程[17-18]。王磊利用修正的剑桥模型建立纤维加筋土的两相本构模型，并通过三轴试验对该模型进行了验证[19]。王贺则基于复合材料在水平和垂直方向上的弹性模量，代入公式对模型试验结果进行了验证[20]。刘德顺则在试验的基础上，拟合得到了邓肯-张模型的参数[21]。

上述学者认为，现有理论采取的假设通常较为复杂，考虑的因素也不够全面。有的学者未考虑时间因素，有的学者未考虑加筋材料和填料的相对位移，都对研究工作带来了不确定性。故文中基于自洽理论推导了加筋复合材料中筋土微观应变比例关系的计算方法，并将该式应用到了考虑时间因素的加筋复合材料应力-应变关系推导当中，得出了加筋复合材料水平应变表达式，确定了影响变形发展速度和最终变形量的关键参数。同时，通过实例分析，探究了时间因素对加筋复合材料宏观水平应变的影响规律。

1 筋土微观应变比例关系

在当前的研究中，宏观应力与微观应力之间关系的确定比较简单，一般可以直接通过材料体积占比建立联系。而宏观应变和各组分微观应变之间的关系确定则相对复杂，目前多是通过假设“复合材料宏观应变=填料应变=加筋材料应变”建立联系。事实上，由于模量和泊松比等材料性质的不同，填料应变和加筋材料应变是不相等的。针对这一问题，考虑基于自洽理论求解弹性阶段筋土应变之间的比例系数，继而使宏观应变和各组分微观应变之间的关系得以确定。

自洽理论来源于复合材料细观力学，是由Hershey提出的一种研究多晶体弹性特性的简化近似方法[22]。Hill将其推广到了复合材料弹性性能研究之中，证实了通过一定的方法，自洽理论是可以应用于复合材料力学并建立复合材料的与各组分之间材料特性的表征关系[23]。故复合材料等效平均后是均质的，文中选取一个单元进行计算即可。

为方便公式推导，对加筋体复合材料做出的基本假定如下：①填土和筋材为各向同性材料;②路基变形分析问题属于平面应变问题;③蠕变主要影响水平变形，因此仅考虑水平向变形。现用

r为加筋材料;s为填土;c为复合材料;v为泊松比;E为弹性模量;η为体积占比进行分析。

基于上述假設，可以得出填料的本构方程为

σs=Dsεs

，加筋材料的本构方程为

σr=Drεr.根据自洽理论[9]，将复合材料的应变和各组分的应变之间可用结构矩阵

A来联系，等效平均后的复合体用c表示，则各组分同等效平均后的筋土复合体可以通过下式建立联系

（1）

式中 i=r或i=s.由于考虑筋土相对位移，反映在应变上则存在下式，

α为比值系数

αεcx=αεsx=εrx

（2）

对于均质材料，根据胡克定律，以填土为例表达式如下

上式可以简化写为σi=Diεi.利用复合材料力学的基本假设和公式，可以得到下式

Dc=ηsDsAs+

ηrDrAr

（4）

依据材料应变能守恒原理，等效平均后复合材料储存和消耗的应变能和各组成成分储存和消耗的应变能相等，结合式（1）和式（4）可得下式

Wc=ξsε cTA

sTDsAsεc

+

ξrε rTA

rTDrArεc

=

ε cT[ξsA

sTDsAs+

ξrA

rTDrAr

]εc

（5）

从等效平均后复合材料的角度上考虑，应变能还可以是

Wc

=

ε cT[ξsDsAsεc+

ξrDrAr

εc]

=

ε cT[ξsDsAs+

ξrDrAr

]εc

（6）

对比式（5）和式（6），显然

ηsA sTDsAs

+

ηrA rTDrAr

=

ηsDsAs+

ηrDrAr

（7）

由于加筋复合材料为两相复合体则有下式

E=ηsAs+

ηrAr

（8）

式中E为三阶方阵。联立公式（4）和公式（8），对式（7）化简可得

Ar=[ηsDr+ηrDs]-1Ds

（9）

对上式进行分析，根据矩阵乘法和分块矩阵的概念，不难发现结构矩阵

Ar的一般表达式为一三阶对称矩阵，其表达式为

为便于推导，定义ψr，ψs如下式

ψr=（1+vr）（1-2vr）（12）

将式（10）、式（3）带入式（9），可知

对方程组求解可得α为

α=

（1+vr）[ηrE2sψs+ηsEsEr（1+vr）

（1-vs-vr）]

[ηrEsψr+

ηsErψs]

[ηrEs（1+vr）+

ηsEr（1+vs）]

（14）

上式即为筋土相对位移的比值的计算公式。可以看出：比值只与填料和加筋材料的泊松比、弹性模量和体积占比有关，与其他因素无关，且随着加筋材料弹性模量的增加，该值逐渐减小。

参考文献[20]根据横观各向同性理论也提出了筋土相对位移的计算公式，为

根据文献[14]，将不同填土和筋材参数带入文中公式（14）和他人公式（15）进行比较，可知对于黄土为填料常见的加筋土结构，其结果具有相同的趋势，且2个公式所得结果具有相同的量级，差值为15%左右，因此可以认为文中公式对常见的黄土加筋结构具有一定指导意义。而且相对于公式（15），公式（14）还引入了各组分体积参数η，这使得其不但体现了加筋土复合材料自身的材料特性，而且也反映了加筋复合材料中各组成成分的体积占比对于填料和加筋材料微观应变的影响，考虑的因素更加全面。

2 三参数标准线性固体模型确定

三参数标准线性固体模型是一种可以表示土工加筋材料在长期受力状态下粘弹性特征的方程，这对于投入运营时间较长、加筋材料蠕变显著的加筋土路基工程尤为适用。该模型将加筋材料的整个变形过程抽象为2个元件的变形：一个弹簧元件和一个Kelvin元件，二者采用串联的方式进行连接。

由于加筋材料的蠕变主要影响加筋路基的水平变形，因此只考虑单方向的蠕变变形。在这一条件下，三参数标准线性固体模型可以用下式表示

式中 E1为弹簧1的弹性模量;E2为弹簧2的弹性模量;F为加筋材料单位宽度承受的拉力;η为牛顿黏壶的粘滞系数;εr为加筋材料的应变。

采用Laplace变换，可将加筋材料的三参数标准线性固体模型表达为[25]

根据《公路土工合成材料应用技术规范》的规定，加筋材料的工作应力约为材料极限抗拉强度的30%.在该应力比条件下，由于文中将加筋材料的蠕变用三参数标准线性固体模型，因此需要在文献[11]所得试验数据的基础上求解出2个弹簧的弹性模量E1，E2以及牛顿黏壶的粘滞系数η来实现2种模型的转化。

求解这3个参数一般采用多元非线性方程拟合的方法。采用基于解决非线性数据拟合最小二乘问题的Levenberg-Marqutdt法及最优化求解理论，在拟合软件中编译出相应的代码后对原数据进行三元非线性拟合，拟合所得结果见表1.

该结果与原数据数值相差较小，故采用三参数标准线性固体模型表达加筋材料的蠕变特性是符合客观规律的。

3 加筋复合材料应力-应变关系推导

在考虑时间因素的加筋复合材料应力-应变关系推导前，为方便公式推导，做出的基本假定如下：①填土和筋材为各向同性材料;②路基变形分析问题属于平面应变问题;③蠕变仅考虑水平向变形。

根据胡克定义，平面应变问题中填土的应力应变关系可以表达为

式中 h为加筋材料的厚度;Δh为加筋材料的层间间距;F为加筋材料的应力。利用式（20）对式（19）进行简化，可得

上式即为弹性阶段复合材料的流变方程。

加筋材料的蠕变过程可以采用三参数标准线性公式表示为[26]

式中 E1和E2粘滞系数η为表征蠕变过程的参数;εr为加筋材料的应变。

综合式（18）、（20）和式（22）可得

分析式（22）可知，该式为筋材受力F的一阶线性非齐次微分方程，求解可得

F=F0-pqexp[-qt]+pq

（24）

式（24）即為加筋材料的微观应力公式，其大小与初始拉应力，加筋材料的弹性模量、体积占比、蠕变特性参数、时间，填料泊松比、弹性模量、加筋材料和填料微观应变比值以及复合材料单元所处的应力状态有关，需要指出式（24）是在填料单元为弹性的基础上求解的，因此其时间参数t存在一个取值范围，即t∈（0，TP），其中TP为复合材料处于粘弹性变形阶段的时间。

当筋材蠕变发展到一定程度时，与之相邻的填土进入塑性变形阶段，因此复合材料整体也就进入了塑性变形阶段。设填料屈服符合Mohr-Coulomb准则，如下式

（25）

综合公式（18）、（20）、（24）、（25）可求得弹性阶段的时间为

假设塑性阶段塑性势面与屈服面重合，则有

当x轴向和z轴向为2个主应力方向时，上式简化为

观察式（29）不难发现，在加筋复合材料宏观应力恒定的条件下当加筋材料单位宽度承受的拉力为定值时上式显然成立。这说明当填料土体单元进入塑性变形阶段之后，加筋材料所承受的拉力不再变化，但是其蠕变变形控制了填料单元的塑性流动。

相应的，此阶段加筋材料的三参数标准线性固体模型可以简化为下式形式

上式即为塑性阶段复合材料的流变方程。观察该式可知，粘滞系数直接影响了水平应变的增长速度，而稳定后的变形值则由

（E1+E2）/E1E2和Tp时刻的应力水平控制。因此在选择加筋材料时，应当进行蠕变试验，以获得相关参数，选取（E1+E2）/E1E2较小的材料。

4 实例分析

为更直观的了解加筋复合材料宏观和微观应力及应变的关系，探究加筋土复合单元及各组分在弹性和塑性阶段的应变变化特性，选取某加筋土路基深度Z=2.5 m处的一加筋土复合单元进行分析。填料的力学参数见表2，加筋材料TGSG 1515型土工格栅的基本物理性质参数见表3.

由复合材料力学的基本理论，根据静力平衡原理可知，复合材料的宏观应力与各组成成分微观应力之间的关系如图1所示。

根据上文计算公式及相应的材料参数，在T=0的初始条件下，可以确定复合材料的宏观应力为48.5 kPa，加筋材料的初始应力比为30%，该组分应力为-9 kPa.

由加筋材料单位宽度上承受的拉力F的计算公式可知，当复合材料处于弹性状态时，加筋材料的拉力是随着时间变化的，即微观应力是时间t的函数。加筋材料微观应力的变化将必然导致复合材料水平应变的变化，也就是说复合材料的水平应变也是时间t的函数。现从加筋材料的微观应力和复合材料水平应变2个角度出发，对复合材料的整个蠕变过程进行分析。

首先，由于加筋材料承受的拉力F的计算公式是在填料土体单元为弹性的基础上求解的，所以第1步应当确定填料处于粘弹性阶段的时间TP.根据式（26）带入相关参数可求得TP= 109.4 h.随后根据式（24）获得了在进入塑性变形阶段前加筋材料的微观应力与时间t的关系，单位MPa.

σrx=-4.496 8e -0.010 86t-0.003 2

（32）

以时间为横轴，微观应力的绝对值为纵轴，绘制粘弹性阶段加筋材料的微观应力与时间的关系曲线，如图2所示。

从图2可以看出，随着时间的不断发展，加筋材料的微观应力逐渐减小，从开始的4.5 MPa减小到了1.37 MPa（负方向）;时间小于20 h时微观应力-时间变化曲线的斜率相对较大，大于20 h并接近填料进入塑性变形的起始时间TP时，加筋材料的微观应力衰减速度开始逐渐减小。

根据第4节分析可知，当填料土体单元进入塑性变形阶段时，填料土体和加筋材料的微观应力都不再变化，这时填料土体的塑性流动受加筋材料的蠕变变形所控制。将填料和加筋材料的参数分别带入公式（21）和（31）可得到加筋复合材料水平应变与时间的关系。计算后弹性阶段变形较小，复合材料水平应变以塑性变形阶段为主。如图3所示为加筋复合材料在塑性状态的水平应变绝对值与时间的关系。

从图3可以看出，当加筋复合材料进入弹塑性变形阶段后，其水平应变的增长速度在最初的600 h内相当之快，而在600 h之后则明显放缓，时间达到1 000 h之后水平应变的变化程度非常之小，数值也逐步趋于稳定。如在前600 h内水平应变快速增加到了-1.91%，而600～1 000 h内水平应变仅从-1.91%增加到-2.10%，1 000～1 400 h水平应变更是只从-2.10%增加到了-2.16%，变化很小。值得注意的是，加筋土复合材料最终水平应变的公式计算结果稍大于实际经验，分析原因有以下2点

1）实际工程中有许多因素限制着加筋复合材料的水平变形，加筋土路基中一点的应力状态比较复杂且难以确定，本次实例分析选取微元进行了简化。

2）假设加筋材料在30%应力水平下工作，实际上加筋土路基内加筋材料的应力水平并不是完全相同的，文中使用30%近似代替，因此计算结果与实际稍有偏差。但是本公式用于趋势分析还是合理的。

5 结 论

1）加筋材料和填料微观应变比值只与填料和加筋材料的泊松比、弹性模量和体积占比有关，与其他因素无关，且在性质相同的填料中埋入的加筋材料弹性模量越大，该比值越小。

2）粘滞系数直接影响了加筋复合材料水平应变随时间的增长速度，而复合材料稳定后的变形值则由（E1+E2）/E1E2和TP时刻的应力水平共同决定。因此在选择加筋材料时，应当进行蠕变试验，以获得相关参数，选取（E1+E2）/E1E2较小的材料。

3）通过实例分析发现弹性变形时加筋材料的微观应力随着时间的增加逐渐减小，而加筋复合材料的水平应变则不断增加，进入塑性变形后，各组成成分的微观应力虽然不再变化但复合材料的水平应变依然不断增长，最后随着时间发展趋于稳定。在水平应变整个发展过程中以塑性阶段变形为主，且筋材蠕变对加筋土结构的变形有着重要影响。

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