《计数原理》易错题归类剖析

■甘肃省嘉峪关市第一中学

两个计数原理是学习排列组合的基础,同学们只有准确理解两个原理的区别和联系,才能灵活运用两个原理,从而轻松解决排列组合的综合应用问题。作为高考的必考内容,排列组合的考题在高考试卷中的占比并不多,但却不容易得分,甚至出现一种闻“排列组合”色变的现象,出现这种现象的主要原因还是一些基本知识和常见题型没掌握好,一不小心就会掉进陷阱。在解答排列组合问题时,易犯的错误是遗漏与重复,遗漏的情况一般容易发现,重复时却很难发现。现在就对易错问题进行归类剖析!

一、疑难知识导读

1.分类原理和分步原理的区别在于一个和分类有关,一个和分步有关。如果完成一件事有n类方法,这n类方法彼此之间是相互独立的,无论哪一类方法都能单独完成这件事,求完成这件事的方法种数,就用分类计数原理。如果完成一件事,需分成n个步骤,缺一不可,即需要依次完成所有步骤,才能完成这件事,完成每一个步骤各有若干种不同的方法,求完成这件事的方法种数,就用分步计数原理。在具体解题时,常常是完成某件事,既有分类,又有分步,仅用一种原理不能解决,这时需要认真分析题意,分清主次,选择其一作为主线。

2.解排列与组合应用题时,应首先判断是排列问题还是组合问题。界定是排列问题还是组合问题,唯一的标准是“顺序”,有序是排列问题,无序是组合问题。当排列与组合问题综合到一起时,一般采用先组合后排列的方法解答。

3.分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理,它们不仅是推导排列数公式和组合数公式的基础,而且其应用贯穿于排列与组合的始终。学好两个计数原理是解决排列与组合应用题的基础。切记：排组分清(有序排列、无序组合),加乘明确(分类为加、分步为乘)。

二、易错题剖析

易错题型1：混淆两个计数原理

分类加法计数原理对应着“分类”活动,每一类方法都能完成相应的事情；分步乘法计数原理对应着“分步”活动,只有完成每一个步骤才能完成相应的事情。在实际应用时,很多同学容易混淆两个原理。

例1某公园东侧有3个大门,西侧有2个大门,某人到该公园散步,则他进出门的方案有多少种?

错解：此人进出公园大门需分两类,一类从东边的3个门进,一类从西侧的2个门进,由分类计数原理,共有5种方案。

错解分析：没有审清题意,本题不仅要考虑从哪个门进,还需考虑从哪个门出,应该用分步计数原理去解题。

正解：此人进门有5种选择,同样出门也有5种选择,由分步计数原理知,此人的进出门方案有5×5=25(种)。

评注:排列组合问题基于两个基本计数原理,即加法原理和乘法原理,故理解“分类用加法,分步用乘法”是解决排列组合问题的前提。

对应练习：把4个实习生平均分配到甲、乙两个办公室,则不同的分法有多少种?

解析：两个办公室选人应是一前一后的分步关系,所以要用分步乘法原理,则不同的分配方法有=6(种)。

易错题型2：知识交汇问题出错

综合性题目,考查的不仅是计数原理,而且有其他知识。

例2从-3,-2,-1,0,1,2,3,4这8个数字中任取3个不同的数字作为二次函数y=ax2+bx+c的系数a,b,c的取值,问共能组成多少个不同的二次函数。

错解：从8个数字中任取3个不同的数字作为二次函数y=ax2+bx+c的系数a,b,c的取值,交换a,b,c的具体取值,得到的二次函数就不同,因而本题是个排列问题,故能组成个不同的二次函数。

错解分析：忽视了二次函数y=ax2+bx+c的二次项系数a不能为零。

正解：a,b,c中不含0时,有个函数；a,b,c中含有0时,有个函数。故共有=294(个)不同的二次函数。

评注:本题也可用间接解法:a不受限制时共可构成个函数,其中a=0时有个函数不符合要求,从而共有=294(个)不同的二次函数。

对应练习：以三棱柱的顶点为顶点共可组成多少个不同的三棱锥?

解析：在三棱柱的6个顶点中任取4个顶点有=15(种)取法,其中侧面上的4点不能构成三棱锥,故有15-3=12(个)不同的三棱锥。

易错题型3：审题不清导致错解

排列组合问题,往往是一字之差,谬以千里。因此解决排列组合问题,一定要认真地理解题意,避免因审题不清导致错误。

例3若有5本不同的书,要分配给8位同学,每位同学至多1本,共有多少种不同的分配方法?

错解：5本不同的书分配给8位同学,相当于5个元素到8个元素的映射,故有58种不同的分配方法。

错解分析：没弄清题意,题中要求每位同学至多1本,不符合映射模型。本题事实上是一道排列问题。

正解：最终只有5位同学分配到书,则原问题抽象为从8个元素中取5个元素的排列问题。从而,共有=6 720(种)分法。

评注:在解决排列组合问题时,一定要注意题目中的每一句话,甚至每一个字和符号,不然就出现多解或者漏解的情况。

对应练习：用5种不同的颜色给图1中标1、2、3、4的各部分涂色,每部分只涂一种颜色,相邻部分涂不同颜色,则不同的涂色方法有多少种?

解析：先给1号区域涂色有5种方法,再给2号涂色有4种方法,接着给3号涂色方法有3种,由于4号与1、2不相邻,因此4号有4种涂法,根据分步计数原理知,不同的涂色方法有5×4×3×4=240(种)。

图1

易错题型4：混淆排列和组合的概念

在处理排列组合问题时,要认真仔细审题,根据题设条件判断问题是排列还是组合问题,不能因混淆两个概念而造成错解。

例4有乒乓球运动员9人,其中有4名男运动员,5名女运动员,现从中选4人进行男女混合双打比赛,那么配对情况有多少种?

错解：因为选4人参加混合双打比赛,所以男女各2名运动员。第一步,从4名男运动员中选2人,有种方法；第二步,从5名女运动员中选2人,有种方法；第三步,再将选出的4名运动员分为两组,则配对方法有=360(种)。

错解分析：上述解法中,采用分步的方法是正确的,但是到第三步时没有正确理解题意,导致出现错误。

正解：前面两步的解法同上,第三步,将选出的2男2女进行1男1女的配对,有种方法,所以配对方法共有=120(种)。

评注:排列组合问题,一定要正确理解题意,弄清楚问题是排列还是组合,再进行计算。

对应练习：有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装1个球,共有多少种不同的装法?

解析：第一步从5个球中选出2个组成复合元素共有种方法,再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有种方法,根据分步计数原理知装球的方法共有=240(种)。

易错题型5：混淆平均分配和非平均分配

排列组合中的分配问题是指元素被分配到指定的位置中去,容易出错的是平均分配和非平均分配。

例5有6位技术员要按下列方式分配到车间工作,问共有多少种不同的分配方式：

(1)平均分成三组,每组2人；

(2)分到甲、乙、丙三个车间,每组2人。

错解：(1)分为三组,每组2人的分法有=90(种)；

错解分析：分成三组是与顺序无关的组合问题,分到三个车间是与顺序有关的排列问题。

正解：(1)根据题意,每次抽取2人,共有种方法,但在这里已经出现了重复现象。假设6人分别为A,B,C,D,E,F,则很显然(AB,CD,EF),(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB),(EF,AB,CD),(EF,CD,AB),共=3!(种)情况实际是同一种分法,所以平均分成三组,每组2人的分配方式有

评注:本题是有关分组与分配的问题,是一类极易出错的题型,解决此类问题的方法是:(1)充分理解平均分配中的无序特点,而非平均分配隐含着顺序的条件;(2)要深刻体会“先分组,后分配”的优点。

对应练习：现有4个不同的奖品要奖给4位同学,恰有一位同学没有得到奖品的情况有多少种?

解析：恰有一位同学没有获得奖品,说明另外三位同学获得奖品数分别为1,1,2。实际上相当于先将奖品分为三组,其中两组各1份奖品,另一组2份奖品,分组方法为种,然后再将这三组分配到4人手中的排列问题,共有144(种)方法。

易错题型6：不恰当地使用剔除法

从总体中排除不符合条件的方法就是剔除法,剔除法在数学解题方法中是不可或缺的,剔除法用得好,就能轻松解答问题,用不好,就会弄巧成拙。在排列组合中,正确且巧妙地使用剔除法,大有裨益。

例6在某次运动会的4×100接力比赛中,参赛的4位运动员赛前进行排兵布阵,其中甲不跑第一棒,乙不跑最后一棒,问有多少种排法。

错解：4人全排有种方法,其中甲跑第一棒有种排法,乙跑最后一棒有种排法,所以甲不跑第一棒,乙不跑最后一棒的排法有=12(种)。

错解分析：没有注意到甲跑第一棒包含了乙跑最后一棒,同样,乙跑最后一棒也包含了甲跑第一棒,这两种情况是有重复的。

正解：甲跑第一棒同时乙跑最后一棒的排法有种,所以甲不跑第一棒,乙不跑最后一棒的排法有=14(种)。

评注:在用剔除法解排列组合问题时,要做到不重不漏。

对应练习：从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直线Ax+By+C=0中的A、B、C,则不经过坐标原点的直线有多少条?

解析：所有的直线共有=210(条),其中经过原点的直线=30(条),则不经过坐标原点的直线有210-30=180(条)。

排列组合是一类思考方式较为独特的题型,解法非常灵活多变,而且常常以生动有趣的实际背景出现,题型多样,蕴含着丰富的数学思想方法,最为突出的思想方法就是分类讨论。在解决排列组合问题时,首先,要认真审题,弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次,要抓住问题的本质,采用合理恰当的方法来处理。解决排列组合问题,对开发同学们的智力,培养良好的思维方式,提升同学们的数学素养有很好的作用。