分类讨论思想在高中数学解题中的应用

兰鹏林

摘要：在高中数学解题过程中，往往会遇到很多较为复杂且无法采用统一方法求解的问题，对于这些特殊情况，应采用相应的分析方法并通过多种标准进行解题，这就是我们常说的分类讨论思想，这种方式能够将多种复杂的问题变得简单化，使多种问题得到合理解决。这就要求高中数学教师能够对学生的分类讨论思想进行有效培养，使其能够有效应用到高中数学解题过程中，从而推动高中数学教学活动的全面开展。

关键词：分类讨论思想；高中数学；解题教学

中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1992-7711（2020）08-0044

一、分类讨论思想的概要

所谓的分类讨论思想，就是要求学生能够精准地找到多种数学问题之中的相同点，并将其作为研究对象，进行不同分类的研究，这就是分类讨论思想的核心内容。事实上，分类讨论的内容往往会因为标准不一导致不同結果的产生。在实际教学过程中，教师必须要为学生不断创造分类讨论思想的应用条件，使学生能够具备应用分类讨论思想的能力，从而使学生掌握多种解题思路，推动高中数学教学有效性的不断提升。

二、分类讨论思想的应用原则

在分类讨论思想应用过程中，要根据实际情况或者性质进行明确的分类，同时解题过程也应该满足层次分明、不重不漏的原则，如果在讨论过程中存在着越级问题，那么这个分类讨论过程与实际要求会严重不符。

再如，在“椭圆”这一课的教学时，学生往往会对椭圆的焦点和数值变化产生的影响较为敏感，因此教师可以通过对椭圆取值范围进行讨论，并将多种情况加以分解，从而使椭圆的计算问题迎刃而解。

三、分类讨论思想在解题中的应用

1.概率中的分类讨论思想

在概率中应用分类讨论思想时，教师可以首先为学生出示以下例题：在集合I={0，2，4，6，8}中，其两个非空子集为A与B，如果B中最小的数要大于A中最大的数，那么存在着多少种不同的选择方法？

在这道题目的解答过程中，教师可以引导学生先将已知的条件列出，了解到A与B是I的两个非真空子集，而B中最小的数要大于A中最大的数，想要使这两个条件得到实现，应该采取分类讨论的方法进行探讨。假设B之中最小的数为2，那么A只有1种选法，而如果A={0}，那么B就有8种选法，也就是说，其他数字元素都可以在B中存在。而如果B中最小的数是4，那么A就有了3种选择方法，而对应来看，B就有4种选择办法，那么6与8这两个元素可以不存在于B之中。而B中最小的数如果为6，那么A就有了7种选择方法，也就是说，A是{0，2，4}的非空子集，在这种情况下B有两种选法，那么8这个数字元素则有可能不存在于B之中。如果B最小的数是8，那么A就存在着15种选择办法，也就是说，A应该是{0，2，4，6}的非空子集，而B往往只存在着一种对应的选择办法，也就是{8}。最后只要将这几种情况相加，就能够得到最终的选择方法数量。

2.不等式中的分类思想

在不等式中，教师可以为学生出示以下例题：在K∈N的情况之下，试求不等式|m|+|n|

在这个例题的计算中，学生往往无法通过直观的计算方法获得答案，而我们可以对学生进行引导，使学生以分类讨论思想进行解题。可以将K作为参数，并将与K相关的参数作为整数解的组数，将其设为g（k）并从特殊情况入手，探究其中存在的计算规律，然后做出猜想并对结论加以证明。可以设当k等于1、3、4时不等式的对应解，然后得出相应的分类猜想，最终推导出数式。

3.函数中的分类思想

学生往往会在实际解题过程中，因为自身分组讨论思想较为薄弱，导致无法明确哪些问题需要运用分组讨论思想，有些学生即使知道哪些问题需要采用分组讨论思想，然而在具体的解题过程中也无法满足科学使用分类讨论思想的具体要求。因此，教师应该充分发挥自身的引导作用，使学生能够对多种数学问题的本质产生深入分析，使分组讨论思想的主要内容能够得到清晰且直观的展现，从而使学生能够在解题过程中不断强化自身分类意识。

比如，在对数函数y=logax中，不同的底数往往会导致函数图像出现一定的不同，因此教师应在教学过程中，引导学生以分类讨论的形式获取更加直观和清晰的思维。教师要根据底数的数量关系进行分类讨论，进而得到不同对数函数的性质，学生在了解到不同分类对函数性质造成的影响后，能够将这些知识更好的应用到教学过程中，进而推动整个教学活动的顺利开展。

四、分类讨论思想应用时应注意的问题

在分类讨论思想的应用中，学生首先要明白为什么要对一些问题进行分类讨论，教师要为学生解题提供有效的思路，在这种前提下学生才能够对分类的标准加以明确的定义，使其不会出现重复和遗漏的情况。在数学学科中，很多概念和公式都具有相应的系统性，而这些问题在解决时，往往也需要运用到分类讨论的思想。在学生问题的解决过程中，也要注意对分类标准加以统一，从而获取更加科学和准确的分类，从而确保解题过程中不会出现重复和遗漏的情况。教师要教会学生分组讨论的技巧，使学生能够采取更具有层次性的分类讨论方法，同时每一个层次都应该有着对应的分类标准。

综上所述，从目前情况来看，很多高考试题都需要采用分类讨论的思想去解决，因此教师应该对全国各地的高考问题进行深入的分析和整理，使其能够有效应用到实际教学活动之中，使学生能够明确分类讨论思想在高中数学解题中的应用思路，使学生的数学知识应用能力得到全面提升，最终推动我国高中数学教学事业的全面开展。

参考文献：

[1]王桂丽.分类讨论思想在高中数学教学中的应用分析[J].科学中国人，2017（5Z）.

[2]朴希兰，朴勇杰.分类讨论思想在高中数学解题中的应用[J].教育教学论坛，2015（7）：169-170.

（作者单位：福建省泉州市晋江市永和中学362235）