善用口诀解题
2020-03-30董永忠
董永忠
摘要：本文介绍幂函数、指数函数、对数函数单调性的主要应用，以及解决这类问题的简便、快捷方法——口诀法。
关键词：函数;口诀;解题
在现在中专学校数学教学中，针对学生基础差、怕上数学课的实际情况，对教学内容进行归纳总结、提炼，让学生掌握关键和要点，会简单的进行应用，就显得十分重要。
笔者在讲授《数学》（高等教育出版）第二章幂函数、指数函数、对数函数时，感到三类函数的单调性及其应用是一个重点和难点内容，学生不容易掌握，特别是根据函数单调性去比较两个数值大小的实际实用，按教材上的做法，是通过去考察一个函数单调性，进而去比较出两个数值的大小，但这种方法步骤显得比较繁琐，学生容易混淆，容易做错。笔者在讲授这个部份时，首先按教材上的方法进行讲解、做题，在学生奠定了一定的基础理论后，再把这些知识归纳总结成口诀，并用口诀回头重新举例做题，让学生从对比中体会口诀做题的快捷、方便。
現举例一一进行说明：
1、幂函数 的单调性
1.1 单调性归纳
1.2 单调性的主要应用：比较两个同指数的幂的大小（底大于0）。
例：（教材P48，P51部份例子）比较下面各组中两个值的大小：
（1） （2）
解法一（教材上的做法）
（1）和可以看作是函数当和时的两个对应的函数值，根据函数的单调性可知
（2）和可以看作是函数 当和时的两个对应的函数值，根据函数的单调性可知
对解法一进行归纳、总结、提炼，得出这一方法的做题口诀。（后面两类函数，省去解法一，直接归纳出做题口诀）
1.3 单调性应用口诀：
两个同指数的幂（底大于零）若指数大于零，则底大的幂就大，底小的幂就小;若指数小于零，则底大的幂反而小，底小的幂反而大，用不等式简记为：
（1） （2）
解法=（用口诀做题）
（1） （2）
（心里暗念一遍口诀，即可直接得出答案）
或可写成
（1）
（2）
2、指数函数且 的单调性
2.1 单调性归纳{（-∞，+∞）↗（α>1）（-∞，+∞）↘ （0< α< 1）
2.2 单调性主要应用：
（1）比较两个同底的幂的大小;
（2）已知两个同底的幂的大小，去判定指数的大小。
2.3 单调性应用口诀：两个同底的幂，若底大于1，则指数大的幂就大，指数小的幂就小，反之亦然;若底大于0小于1，则指数大的幂反而小，指数小的幂反而大，反之亦然，用不等式简记为
（1） （2）
例1：（教材P60页例子），比较下列各组里两个值的大小。
（1）和 （2）和
解：（用口诀做题）（1）> （2）
或可写成：（1） （2）
例2（教材P64页习题）比较下列各式中m和n的大小。
（1） （2）
解（1）（2）
例3（教材P64页习题） x取什么值时，下列各式成立？
（1） （2）
解：（1）
即时，成立
（2）
即时，成立
3、对数函数（ 且 ）的单调性
3.1 单调性归纳{（0， +∞）↗（α>1）（0， +∞）↘（0<α< 1）
3.2 单调性的主要应用：
（1）比较两个同底的对数值的大小。
（2）已知两个同底的对数值的大小，去判断真数大小。
3.3 单调性应用口诀：两个同底的对数，若底大于1，则真数大的对数值就大，真数小的对数值就小。反之亦然;若底大于0小于1，则真数大的对数值反而小，真数小的对数值反而大，反之亦然”，用不等式简记为：
（1）
（2）
例如：（教材P94页例子）比较下列各组里两个值的大小。
（1）与 （2）与
解：（用口诀做题）（1） （2）
或写成：（1）
（2）
例如（教材P98习题）设函数和求使的x的值？
解：即当时，
作者简介：董永忠（1969.5）男，籍贯：云南昌宁，研究方向：数学教育，行政人事，单位：云南省昆明市广播电视学校，稿件方向：数学教育研究。
