一类具有潜伏期的随机禽流感模型的渐近性分析

谭 杨，郭子君，杨 林，王海扬

(1.铜仁职业技术学院 信息工程学院，贵州 铜仁 554300；2.华南农业大学 应用数学研究所，广东 广州 510642)

0 引 言

禽流感病毒属于一类非常复杂的病毒类型.这类病毒前期不仅能感染禽类种群，还能感染一些哺乳类动物.随着该类病毒的不断突变，人类种群也成为了易感者(2013年3月我国首次发现人类感染H7N9型禽流感的病例)，具有较高的死亡率[1]，我国于2013年11月开始将该类疾病纳入法定乙类传染病.

在过去的几十年中，用数学建模的方法研究流行的传播受到很多学者的极大关注，也是研究传染病传播规律的重要手段之一，主要通过建立反映传染病发展动态的模型，对其进行定性和定量分析，揭示传染病的发展规律，找到预防和控制传染病发展的最佳策略.文献[2]提出了一类引入禽流感变异过程的SI-SIR模型，描述了禽流感病毒从禽类种群感染到人类种群的过程.文献[3]提出了一类带有饱和治疗的禽流感动力模型，得到了无病平衡点和地方病平衡点的渐近稳定性.文献[4]研究的禽流感模型中，病毒具有logistic增长率，得到了判别系统各类平衡点渐近稳定的条件.

疾病潜伏期在传染病传播过程中有着重要的作用，有些疾病受感染后并不会立即显现相应症状[5-6].文献[7]研究了一类具有非线性发生率的时滞SEIRS传染病模型，得到了系统无病周期解全局吸引和持久的充分条件.文献[8]在文献[2]的基础上，研究了一类带时滞效应的禽流感模型，禽类和人类系统对禽流感病毒均具有潜伏期，得到了平衡点局部稳定和全局稳定的基本再生数.该模型如下

(1)

前面两个方程表示禽类系统，其中，Sa与Ia分别为易感禽类种群和染病禽类种群数量;Sh，Ih，Rh分别为易感人类种群数量，感染禽流感病毒的人类种群数量和恢复人群数量;Πa和Πh分别为禽类种群和人类种群的常数引进率;βa和βh分别为禽类与人类易感种群接触患病禽类后的染病转化系数;τa(τh)描述禽流感病毒对禽类种群(人类)潜伏期的时间延迟;μa(μh)为禽类种群(人类种群)的自然死亡率;δa(δh)为禽类(人类)种群的因病死亡率;γ为人类染病者的康复率.文献[8]研究了模型(1)各类平衡点的局部和全局渐近稳定性的阈值条件.

(2)

其中，Bi(t)和σi(i=1,2)为标准布朗运动及随机扰动的强度.系统(2)可拆分为如下禽类系统(3)和人类系统(4)：

(3)

(4)

在给出分析结果之前，首先给出d维的随机微分方程[12]的相关概念.

dx(t)=f(x(t),t)dt+g(x(t),t)dB(t),

t≥t0.

设V(x,t)为定义在C2,1(Rd×[t0,∞];R+)上的函数，对x至少二阶连续可微和对t至少一阶连续可微，算子L定义为

该算子对函数V(x,t)有

LV=Vx(x,t)f(x,t)+

1 模型正解的全局存在、唯一性

本节参考文献[13-14]的方法较为容易地证明了如下定理.

定义停时

τ+=inf{t∈[0,τe)∶Sa(t)≤0 orIa(t)≤0

orSh(t)≤0 orIh(t)≤0},

V(Sa(t),Ia(t),Sh(t),Ih(t))=lnSa(t)+

lnIa(t)+lnSh(t)+lnIh(t).

对于ω∈(τ+

σ1(Sa-Ia)dB1(t)-σ2dB2(t)≥

K(Sa(t),Ia(t),Sh(t),Ih(t))dt+

σ1(Sa-Ia)dB1(t)-σ2dB2(t),

其中

K(Sa(t),Ia(t),Sh(t),Ih(t))=-2μa-βaIa-

则

(5)

又V(τ+)=0，则有

在式(3)中令t→τ+，则有

此结果与假设矛盾.则τ+=∞ a.s..证毕.

2 灭绝性

由文献[8]可知，若禽类系统(2)中的时滞τa满足

禽类患病种群趋于灭绝; 若

则禽类患病种群长期存在.

定理2 设(Sh(t),Ih(t))为人类系统(4)的解，且任意给定的初值为Sh(0)>0，Ih(0)>0，

证明由人类系统(4)可知

(6)

则

则由指数鞅不等式及Borel-Cantelli引理[12]可知

式中，令δ=2，υk=υ，τk=k，则对几乎所有的ω∈Ω，存在随机整数k0(ω)，使得当k>k0(ω)时，

(7)

则

lnIh(t)≤lnIh(0)+

令0<υ<1，

lnIh(t)≤lnIh(0)+

则对所有的t∈[0,k]与k≥k0(ω)有

lnIh≤lnIh(0)+

当k≤t≤k+1时

令k→∞，则t→∞，且对几乎所有的ω∈Ω，存在T=T(ω)使得

∀t>T.

再由强大数定理[11]有

即Ih(t)趋于灭绝.

(8)

则对所有的t∈[0,k]与k≥k0(ω)有

lnIh(t)≤lnIh(0)+

当k-1≤t≤k时

令k→∞，则t→∞.再由强大数定理[12]有

令υ→0，则定理得证.

该定理说明:

1)若禽类系统患病种群趋于灭绝，那么整个系统的禽流感都将趋于灭绝，禽流感得以灭绝;

2)若禽类系统患病种群长期存在时，在人类患病系统中，在一定的条件下，人类患病种群也将趋于灭绝，即患病禽类的源头没有完全灭绝的情况下，人类系统可能出现患病人类种群灭绝的情况.

3 数值模拟

本节的数值模拟采用文献[15]介绍的E-M方法，对确定性系统和随机系统中的人类染病种群的发展趋势做出比较.

首先，假设相应的参数值为:Πa=320，μa=0.01，βa=8×10-6，δa=0.05，Πh=100，βh=7×10-7，μh=4×10-3，δh=0.3，γ=0.01.

1)取τa=6.初值为(Sa(ξ),Ia(ξ),Sh(0),Ih(0))=(20 000,1 200,20 000,0)，其中ξ∈[-τa,0].则由文献[8]可知，在确定性系统中

即在确定性系统中，人类染病种群长期存在.在相应的随机系统中，设

σ1=2×10-7,σ2=3×10-4,

2)取τa=180>τ*=156.861 6.初值为(Sa(ξ),Ia(ξ),Sh(0),Ih(0))=(20 000,1 200,20 000,0)，其中ξ∈[-τa,0].则在确定性系统中

图1 人类染病种群的持久性

随机系统中设σ1=2×10-7，σ2=3×10-4，则由定理2可知，相应的随机系统中人类染病种群也将趋于灭绝.如图2 所示.

图2 禽类与人类染病种群的灭绝性

3)Πa=350,μa=0.01,βa=7×10-6,δa=0.05,Πh=100,βh=6×10-7,μh=3.91×10-3,δh=0.3,γ=0.01.

取τa=6.初值为(Sa(ξ),Ia(ξ),Sh(0),Ih(0))=(20 000,1 200,20 000,0)，其中ξ∈[-τa,0]，则禽类染病种群长期存在，且确定性系统中人类染病种群也长期存在.

在随机系统中设σ1=10-6，σ2=10-4，则由定理2可知，相应的随机系统满足人类染病种群将趋于灭绝的充分条件

即禽类染病种群长期存在情况下，人类染病种群趋于灭绝.如图3 所示.

图3 人类染病种群的对比图

4 结 论

本文研究了一类禽类系统具有患病潜伏期，人类系统具有随机干扰的禽流感模型.得到了不同前提下人类系统患病种群数量灭绝的充分条件，并通过数值模拟比较了确定性模型与随机模型的人类患病种群的发展趋势.