恒定应力部分加速寿命试验的可靠性分析*

龙 兵，张忠占

（1.荆楚理工学院数理学院，湖北 荆门 448000；2.北京工业大学应用数理学院，北京 100124）

0 引言

目前，随着科技的进步，出现了大量的高可靠性产品，在正常使用条件下不容易得到这些产品的寿命。为了更快地得到失效数据，可以选择进行加速寿命试验，即把产品放在更严酷的应力水平之下，这样可以加速性能的退化。如果把所有的测试单元都放在加速环境之下，该试验被称为加速寿命试验；如果一部分单元在正常环境下，其余的在加速环境下，且在试验过程中保持应力水平不变，那么这个试验叫作恒定应力部分加速寿命试验。已经有很多文献研究了高可靠性产品加速寿命试验的统计分析。文献［1-3］在截尾样本下研究了步进应力加速寿命试验下的参数估计。文献［4］在多个应力水平下，基于极大似然估计构造了参数估计的数值算法，并通过例子进行了工程仿真试验。近年来，混合截尾寿命试验受到了越来越多的关注。因此，文献［5］在逐步I 型混合截尾下，讨论了Pareto 分布竞争失效产品加速寿命试验下的统计分析。文献［6］在II 型混合截尾下，讨论了指数分布步进应力加速寿命试验的统计推断。文献［7-9］在逐步混合截尾恒加试验下，给出了Weibull 分布模型参数的估计。文献［10-13］在定时截尾加速寿命试验下，讨论了几种寿命分布的可靠性分析问题。文献［14］在逐步II 型截尾下讨论了部分加速模型的参数估计。

加速寿命试验的特点是把产品放在更高的应力水平下进行试验，这样可以较快地获得失效数据，然后利用产品寿命和应力水平之间的某种已知函数关系，估算出产品在正常应力水平下的寿命。事实上，产品寿命和应力水平之间的关系在有些情况下是未知的，这样就可以采用部分加速寿命试验。部分加速寿命试验的统计分析不需要加速模型，它通过在两种应力水平下的试验数据估计出加速因子，然后根据高应力水平下的寿命估计出在正常应力水平下的寿命，可以扩大样本量，进而根据正常应力水平下的失效数据进行统计推断。近年来部分加速寿命试验已经被应用于可靠性统计推断中，通常都是采用传统的截尾试验方案，如定时截尾和定数截尾等。基于这些传统的截尾试验方案，用极大似然法和贝叶斯方法都比较方便，相关研究成果较丰富。

根据定时截尾和区间删失试验方案，提出了一种新的寿命试验方案，在本文中被称为定时区间删失试验，并对指数分布产品恒定应力部分加速寿命试验数据进行统计分析。

1 基本假设和模型描述

在2 个应力水平S0＜S1下进行试验，其中S0为正常应力水平，S1为加速应力水平。基本假设如下：

1）产品失效只由1 个失效机理引起。

2）在应力水平S0下，产品的失效时间T 服从指数分布，其概率密度函数、分布函数和可靠度函数分别为

3）在应力水平S1下，产品的失效时间X 的概率密度函数和分布函数分别为

因此，在应力水平S0和S1下，产品的失效时间T 和X 分别服从均值为θ 和α 的指数分布。

2 极大似然估计

由于极大似然法在参数估计中的重要性，因此，下面尝试用此方法来求未知参数的估计。根据前面的模型，在应力水平S0下，失效样本的似然函数为

其中，c0＞0 且与θ 无关。

把式（1）、式（2）代入式（6）得

在应力水平S1下，失效样本的似然函数为

其中，c1＞0 且与α 无关。

因此，同时在应力水平S0和S1进行寿命试验，得到的全似然函数为

未知参数θ 和α 的极大似然估计一般通过求解非线性方程组

得到，但是不能得到解析解。在此情况下，通常利用迭代算法，可是在某些情况下该算法并不收敛，EM 算法是处理缺失数据的一种较好方法，下面用EM 算法来求参数的估计。

对数似然函数为

对数似然函数为

同时在应力水平S0和S1进行寿命试验，其对数似然函数为

E 步：对式（14）求期望，得

由于

因此，可得到θ 和α 的迭代公式为

根据极大似然估计的不变性，则加速因子β 的极大似然估计近似值为

3 Fisher 信息矩阵

在这一部分中，利用Louis［15］提出的缺失信息原则，计算观测到的Fisher 信息矩阵，进而得到未知参数的近似置信区间。缺失信息原则的概念可以表述如下：

在完全数据情形下计算得到完全信息矩阵为

遗失信息矩阵为

这里U11和U22是方差、协方差矩阵的主对角线的元素，Zγ/2是标准正态分布的γ/2 上分位数。

4 数值模拟

在这一部分中将进行模拟研究，以讨论极大似然估计的性质。对于不同的n，θ，α，从平均相对误差（ARE）、均方误差（MSE）等方面考虑了加速因子和分布参数的估计性质。这里

另外，利用模拟样本得到了参数的极大似然估计和近似置信区间。模拟过程如下：

第1 步 给定r=0.6。

第2 步 给定n 及参数θ，α 的值。

第5 步 基于上面得到的定时区间删失样本，分别计算模型参数θ 和β 的极大似然估计。

第6 步 把步骤3～5 重复1 000 次，计算出θ，β 的平均相对误差和均方误差。

从表1 中可以看到，随着n 的增加，参数θ 和β的极大似然估计的平均相对误差和均方误差都逐渐减小，这说明极大似然估计具有大样本性质。从表3 中可以看到，参数真值都位于置信区间内部，随着样本量n 逐渐增大，置信区间的长度相应变小，参数的极大似然估计与其真值比较接近。

某些设备的可靠度函数估计是可靠性理论的主要问题之一。下面将给出指数分布产品可靠度函数的极大似然估计，根据式（3）和式（5）可以分别得到在应力水平S0和S1下可靠度函数的估计为

表1 参数的平均相对误差和均方误差

表2 定时区间删失样本

表3 参数的点估计及95%置信区间

表4 不同应力水平下可靠度的估计

5 结论

在本文中，当产品的寿命服从指数分布时，基于恒定应力部分加速寿命试验数据，讨论了两个应力水平下分布参数和加速因子的估计问题。由极大似然估计的渐近分布，得到参数的近似置信区间。为了验证估计方法的正确性，利用统计模拟的方法得到了估计误差，结果表明误差较小。利用模拟样本求得了参数的点估计和区间估计，计算得到的点估计与真值非常接近。由于可靠度函数的重要性，利用其中的一个试验样本计算了两个应力水平下可靠度的估计，通过比较发现估计值的偏差较小。