差分方程模型的离散化改进

解玖霞

东营职业学院 山东 东营 257091

在现实世界中，有许多量是连续变化的，如气温的变化，动植物的生长等。另外还有许多量是离散变化的。例如，一个国家地区人口数量的变化，动物种群数量的变化，银行存款的变化等。研究离散变量的性态则是以差分为工具的，研究连续变量的性态是以微分为工具的，有些连续的微分方程可以通过“离散化”转化为离散的差分方程来求解。差分方程在经济领域的应用十分广泛，而且通过迭代法易于求解，下面研究不同模型及其改进方法。

1 捕食—被捕食模型

设在一个海岛上考察狐狸——野兔生态系统。狐狸吃野兔，野兔吃草(假设草总是充足的)。野兔(被捕食)的数量取决于两个方面：自身数量与狐狸(捕食)的数量。狐狸的数量也取决于两个方面：自身数量与野兔数量。其中一个群体的改变必然引起另一群体的改变。从而狐狸——野兔生态系统随着时间而变化出现反复循环。

首先将时间离散化为时段，每个时段之间相差一个单位，即每个Δn=1。设第n个时段后野兔的数量为xn，狐狸的数量为yn，与微分方程作 类 似 的 分 析，可 得 离 散 的 捕 食 模 型 (差 分 方 程 组)为Δxn=xn+1-xn=xn(a-byn)，Δyn=yn+1-yn=yn(hxn-c).

其中a、c表示另一个种群不存在时的常数增长率，b、h表示捕食系数(a、b、c、h＞0)。

2 市场经济中的蛛网模型

在完全竞争的市场经济中，商品的价格是由市场的供求关系决定的，商品越多，价格越低。例如，某城市的蔬菜供应，第一年供应量很少，求大于供，菜价就随供应量减少而迅速上升，第二年农民大量种植，出现了供大于求，种植者赔了本，第三年可能菜又少了，这样的需求和供应关系引起了市场上的价格和数量的必然波动，这种波动越小越好，如果波动太大就会影响人民群众的正常生活。现建立“蛛网模型”，对上述现象进行分析。

首先，将时间离散化分为时段，一个时段相当于生产商品的1 个周期，设n时段商品的价格是pn，数量是qn。在n时段价格取决于数量，价格pn是数量qn的函数，由于数量越多(或少)，价格就越低(或高)，故此函数为减函数——需求函数f。在n+1时段，数量取决于前一时段的价格，数量qn+1是价格pn的函数，由于前一时段价格越高(或低)，后一时段生产的数量就越多(或少)，故此函数为增函数——供给函数g。

f、g两个函数的交点P0(p0，q0)称为平衡点，为简单，不妨设这两个函数是线性函数。

与前面模型比较，稳定条件由ab＜1变为ab＜2显然改进蛛网模型保持经济稳定的参数a，b 的范围放大了，对市场经济的稳定起着有利影响。

3 离散的阻滞增长模型

y 0=1 y 4=15.762≈16 y 8=200.504≈201 y 12=499.863≈500 y 1=1.998≈2 y 5=31.027≈31 y 9=320.604≈321 y 13=499.999≈500 y 2=3.988≈4 y 6=60.129≈60 y 10=435.634≈436 y 14≈500 y 3=7.944≈8 y 7=113.027≈113 y 11=491.714≈492

实际上这是一阶非线性差分方程。比例系数k称为传染率。由实验数据通过画△yn关于yn(500-yn)的图形——近似直线，k就是这条近改数据直线的斜率。如果已知每天的传染率k=0.002，则由迭代法容易算得每天被感染的学生数(见下表)。根据所提供的信息，学校医院应采取相应对策——开始的一周内尽量控制流感蔓延。

差分方程不仅是一种让连续模型易于计算的有力工具，同时这也是拟合现实的有力工具，因为实际数据很多时候并不能用连续的思维来解释，研究者也不能仅凭N＞1000等一些刻板教条的表象就认为自己手中的数据符合中心极限定理；特别是在计算机技术高速发展的今天，随着硬件方面如GPU 等新型处理技术的普及和深度学习软件方面的突破，通过差分方程来拟合、求解现实问题已成为当下的趋势。