用高中知识简化求解多狗追击问题

王 菁 华正和

(淮阴师范学院物理与电子电气工程学院 江苏淮安 223300)

追击问题是一种典型的物理问题，也是高中物理竞赛的典型题目，其中一个有趣的例子是“多狗追击”：开始时，几条狗分别处于正多边形的顶点上，吹哨放狗，狗以相同不变的速率相互追逐。文献[1-6]分别利用不同的方法和思路，求出了狗追击所需时间、追击经过的总路程。文献[1]用到了复变函数和微积分，文献[2-4]用到了极坐标和微积分，文献[5，6]只用到了微积分。几位作者虽顺利解决了多狗追击问题，但都用到了高等数学知识，这样的解题方法和思路显然不适合高中生。

本文采用先易后难的思路，首先处理三狗追击问题，通过对问题几何关系的分析，用相对浅显的高中知识求出狗追击所用时间、狗追击经过的总路程及追击过程中狗的加速度大小，再将此分析方法扩展到N狗追击问题。

一、三狗追击问题

如图1所示，初始时，三狗分别位于正三角形的顶点A、B、C。随着三狗相互追击，正三角形不断旋转，旋转过程中，三角形边长也逐渐变小，直至为0。

(一)狗追击所需时间

1.法一

设经过很短的时间Δt，三角形旋转缩小为A1B1C1，此时边长A1B1长度为L1。边长AB变为A1B1，缩短来源于A点处狗的贡献和B点处狗的贡献。其中，A点处狗的贡献为vΔt，B点处狗的贡献为vΔtcos∠B=1/2vΔt。由此得

同理，再经过Δt，此时边长变为L2，有

由此类推

由此得

图1 三狗追戏问题

追击结束，三角形边长Ln=0，得追击所用时间

2.法二

设经过Δt，三角形旋转缩小为A1B1C1。此时，三角形顶点A至中心的距离由k0减小为k1，如图1所示。其长度减小完全来源于A点处狗的贡献。

同理得

……

由此得

追击结束，三角形顶点到中心的距离kn=0，考虑到得追击所用时间

(二)狗追击加速度

如图1所示，追击过程中，经过时间Δt，边长AB旋转变为A1B1，转过的角度为Δθ。因为Δt很小，所以Δθ也很小，有

由于追击过程中狗的速率不变，故狗追击过程中的加速度就等于向心加速度

由此可见，随着三角形边长的减小，此加速度与边长成反比例增加。

(三)狗追击走过的总路程

二、四狗追击问题

如图2所示，初始时，四狗位于正四边形的顶点，正四边形边长为L。随着狗相互追击，正四边形不断旋转，旋转过程中，四边形边长也逐渐变小，直至为0。

(一)狗追击所需时间

1.法一

设经过Δt，四边形旋转缩小为A1B1C1D1。此时，边长A1B1长度为L1。AB变为A1B1，边长缩短同样来源于A点处狗的贡献和B点处狗的贡献。其中，A点处狗的贡献为vΔt，B点处狗的贡献为0。

同理可得

图2 四狗追戏问题

追击结束，四边形边长Ln，故L=vt，得追击所用时间

2.法二

设经过Δt，正四边形顶点A至中心的距离由k0减小为k1，如图2所示。其长度减小完全来源于A点处狗的贡献。

图3 N狗追戏问题

同理可得

追击结束，四边形顶点到中心的距离kn=0，故由此得追击所用时间

(二)狗追击加速度

同理可得经过时间Δt，边长AB旋转的角度Δθ，有

故

(三)狗追击走过的总路程

三、N狗追击问题

正N边形用正六边形示意，如图3所示。初始时，N狗分别位于正N边形的顶点，正N边形边长为L。随着狗相互追击，正N边形不断旋转。旋转过程中，N边形边长也逐渐变小，直至为0。

(一)狗追击所需时间

1.法一

设经过Δt，N边形旋转，此时的边长A1B1长度为L1。边长AB缩短为A1B1，缩短来源于A点处狗的贡献和B点处狗的贡献。其中，A点处狗的贡献为vΔt，B点处狗的贡献为

同理得

追击结束，N边形边长Ln=0，故

得追击所用时间

2.法二

设经过Δt，正N边形顶点A至中心的距离由k0减小为k1。其长度减小完全来源于A点处狗的贡献，

同理得

追击结束，N边形顶点到中心的距离kn=0，考虑到由此得追击所用时间

(二)狗追击加速度

同理可得经过时间Δt，边长AB旋转的角度Δθ，有

故狗追击加速度

(三)狗追击走过的总路程