浅谈正交变换的分类

摘要：在解析解和中，对图形经过旋转、轴对称以及两者的复合变化后使得图形的大小和形状均不发生变化，这样的操作称为正交变换。在代数中，在n维空间中，若对一个线性变换σ，对任意的ɑ，ɡ∈V，都有（σ（ɑ），σ（ɡ））=（ɑ，ɡ），则称线性变换σ为一个正交变换。本文分别叙述了分别在二维、三维情况下欧式空间正交变换的分类，和正交变换一些基本不变的性质，以及正交变换的应用。

关键词：正交变换;分类;应用

定义1：

若线性变換σ是n维空间下的一个正交变换，则对于任意ξ∈V都有σξ=|ξ|。

基于对线性变换概念的认识，下文以二、三维的情况为例简单对正交变换进行了分类。

补充：判断一个线性变换σ是否为正交变换的充要条件是：在V中任取向量α，β，若有：

定义2：

一个n阶实矩阵U叫做一个正交矩阵，如果UTU=UUT=Ι

1 正交变换的分类

在V2情形之下：

不妨设σ是二维情况下的任意正交变换，该正交变换在二维平面下的一个规范正交基{γ1，γ2}的矩阵是：

在前一情形，σ是将V2的每一个向量旋转角φ的旋转;在后一情形，σ将V2中以（x，y）为坐标的向量变成以（xcosφ+ysinφ，xsinφycosφ）为坐标的向量。这时σ是关于直线的y=tan（φ/2）x的反射。

所以，二维情况之下的正交变换可以分为两种情况：（1）这个正交变换为旋转;（2）这个正交变换是通过一条过原点的直线的反射。

在V3情形之下：

不妨设σ是三维情况之下的某个正交变换。读者容易想到σ的特征多项式是实系数的而且它的次数是三次，所以它三维特征多项式至少存在一个实根，不妨设这个实根为r。假设γ1是σ下本征值r的一个本征向量，另设γ1是一个单位向量。另外在加上γ2，γ3之后使γ1，γ2，γ3是V3的一个规范正交基。从而σ对于基的矩阵有以下形式：

第一种情况，σ是经过定点α1的直线L（α1）的一个旋转;第二种情况，σ基于平面L（α2，α3）的一种反射;将第一种情况与第二种情况进行合成，则为第三种情况。

2 正交变换的一些基本不变的性质

（1）正交变换把直线变成直线，并且保持点和直线的结合关系和共线三点的介于关系。

（2）正交变换把不共线的点变成不共线的点。

由（1）、（2）知，正交变换把相交直线变成相交直线，把角变成角。

（3）正交变换把平行直线变成平行直线。

（4）正交变换保持角的大小不变。

3 正交变换的应用

（1）正交变换在重积分的应用：在计算重积分的时常用到变换替换，而一般的变量替换随意性很大，它要考虑被积函数和积分区域等，因此积分起来比较困难。在一些情形之下，利用正交变换不失为变量替换的一种有效方法。

（2）正交变换在第一型曲面积分中的应用：由于第一型曲面积分在正交变换下形式不变性，因此正交变换也可用在曲面积分中。

（3）正交变换在研究多元函数Taylor公式中也发挥着重要的作用。

作者简介：任慧瑜（1999），女，汉族，内蒙古巴彦淖尔人，现就读于西北民族大学数学与计算机科学学院，主要研究方向：数学与应用数学。