两类三状态混合系统可靠度优化方法
2020-03-23周天宠修春
周天宠 修春
摘要：论文研究以开路、短路失效作为失效模式，并由相同（串联）子系统串、并联组成的三状态系统模型。由定义得到系统可靠度的计算公式，给出优化方法，并验证优化定理。举例计算两类系统模型的最优部件数，可靠度。得出结论：三状态系统部件组合，并联不一定优于串联。且在最优条件下，三状态串联系统的可靠度大于三状态并联系统的可靠度。
Abstract： This paper studies a three-state system model with open circuit and short circuit failure as failure modes and composed of the same（series） subsystem series and parallel. The formula of system reliability is obtained from the definition， the optimization method is given， and the optimization theorem is verified. An example is used to calculate the optimal number of parts and reliability of the two system models. It is concluded that the combination of parts of a three-state system is not necessarily better in parallel than in series. Under optimal conditions， the reliability of a three-state tandem system is greater than that of a three-state parallel system.
關键词：三状态;复杂系统;可靠度
Key words： three-state;complex system;reliability
中图分类号：O213.2 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2020）05-0219-03
0 引言
系统可靠性是检验产品质量的重要属性。在不考虑约束条件的前提下，如何优化部件数量，成为系统可靠性设计过程中要考虑的重要问题。而在处理实际问题中，以往论文将系统看作二状态，即只有正常和失效两种状态。周天宠，孟宪云等给出了三状态系统（正常、开路失效、短路失效）可靠度优化方法，应用该方法得出优化部件数目。本文将系统模型进一步具体化，对相同串联子系统分别串、并联组合而成的两类三状态混合系统模型，分别定义开路失效、短路失效两种失效模式，给出可靠度公式及优化方法，并用实例验证。
1 两类三状态混合系统的可靠性分析
设n级相同子系统分别串联、并联组成为两类三状态系统模型，每级子系统由两个不同元件串联组成。两类系统模型分别如图1、图2所示。设t=0时，各元件均为三种互斥状态，即正常、开路失效、短路失效。
定义1 由n个子系统组成的串联系统模型，若至少有一个子系统开路失效，则称系统开路失效。若各子系统均短路失效，则称系统模型短路失效。
定义2 由n个子系统组成的并联系统模型，若各子系统均开路失效，则称系统开路失效。若至少有一个子系统短路失效，则称系统模型短路失效。
由定义1、2得图1系统模型的开路失效概率
短路失效概率
则图1系统模型的可靠度
式中F0i（t）为第i个元件t时刻开路失效的概率，Fsi（t）为第i个元件t时刻短路失效的概率（i=1，2）。
由定义1、2得图2系统模型的开路失效概率
短路失效概率
则图2系统模型的可靠度
2 可靠度优化方法
三状态系统由于具有两种失效模式，可靠度变化情况比较复杂。这里通过优化子系统个数，使系统的可靠度达到最大。亦即求最优的n，使式（1）、式（2）的可靠度Rn（t）达到最大。
定理1 若令
则使得式（1）的可靠度Rn（t）达到最大的n是
其中[x]为实数x的整数函数。
证明 设n为使得图1系统模型可靠度Rn（t）达到最大值的子系统个数，由已知条件，使得式（1）的可靠度Rn（t）达到最大，于是：
用式（3）的记号表示n1，由式（5）、（6）得：若n1不是整数，则取n=[n1]+1，若n1是整数，则取n=n1或n1+1。因此使可靠度Rn（t）达到最大的n由式（4）给出，证毕。
实例1：由n级相同子系统组成的三状态串联系统，每级子系统由两个不同元件串联组成。设各级子系统中两个串联元件的开路失效率、短路失效率分别为：
根据定理1，由式（6）可知最优解
对于二状态系统，相同子系统串联个数越少（即只有一个子系统）时可靠度越高，由本实例可知在三状态系统中，与二状态同样，子系统串联个数为1时可靠度最大。
则使得式（2）的Rn（t）达到最大的n是
其中[x]為实数x的整数函数。
证明 设n为使得图2系统模型可靠度Rn（t）达到最大值的子系统个数，由已知条件，使得式（2）的可靠度Rn（t）达到最大，于是：
两边取对数整理得
用式（7）的记号表示，由式（9）、（10）得：若n2不是整数，则取，若n2是整数，则取n=n2或n2+1。因此使Rn（t）达到最大的n由式（8）给出，证毕。
实例2：由n级相同子系统组成的三状态并联系统，每级子系统由两个不同元件串联组成。设各级子系统中两个串联元件的开路失效率、短路失效率分别为：F01=0.45，求最优子系统个数及相应的可靠度。
根据定理2，由式（10）可知最优解
对于二状态系统，相同子系统并联个数越多时可靠度越高，而由本实例可知在三状态系统中，子系统并联个数为3时可靠度最大：。
3 小结
根据实例1、实例2得知，相同子系统分别按照串、并联的组成方式，得到的最优子系统优化数目是不同的。通过实例比较得由三状态元件组成的系统中子系统并联个数多于串联个数，且在最优条件下，三状态串联系统的可靠度大于三状态并联系统的可靠度。
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