分数阶非线性系统的有限时间滑模同步控制

王战伟，王建军

(郑州航空工业管理学院 理学院，河南 郑州 450015)

自同步方法被提出以来, 混沌同步及其应用已成为研究的热点, 并取得了很多成果[1-6]. 学者们采用不同的控制方法取得了混沌系统的有限时间同步[7-9].文献[10-11]分别讨论了具有非线性耦合复杂网络系统和具有分数阶不确定系统的有限时间混沌同步及鲁棒混沌同步问题.滑模控制能够处理来自系统的非线性和不确定性,是处理非线性系统的强有力的工具.文献[12]研究了分数阶Rayleigh-Duffling-like系统的自适应追踪广义投影同步问题.文献[13]研究了分数阶混沌系统的主动滑模控制,给出了滑模切换函数的构造.

论文主要研究一类分数阶非线性系统的有限时间滑模同步控制问题，通过Lyapunov稳定性理论给出了系统取得同步的两个充分性条件，结果表明在适当的选取控制律下，系统取得有限时间滑模混沌同步.

定义1[14]Caputo分数阶导数定义为

1 系统描述

考虑如下分数阶非线性系统

Dqxi(t)=Ax(t)+fi(x(t)),

(1)

以上述系统为主系统，从系统设计为

Dqyi(t)=By(t)+gi(y(t))+ui(t)，

(2)

其中：x(t)=[x1(t),x2(t),…,xn(t)]T∈Rn为系统状态向量；A、B为常数矩阵；fi(x(t))=[fi1(x(t)),fi2(x(t)),…,fin(x(t))]T∈Rn为连续非线性函数；y(t)=[y1(t),y2(t),…,yn(t)]T∈Rn为响应系统状态向量；gi(y(t)) 为响应系统连续非线性函数；ui(t)=[u1(t),u2(t),…,un(t)]T∈Rn为控制输入向量.

(2)式减去(1)式得到误差系统方程

Dqei(t)=By(t)-Ax(t)+gi(y(t))-fi(x(t))+ui(t).

(3)

2 滑模设计

设计滑模面si(t)=ei(t)+μiD-1ei(t),i=1,2,…,n，其中μi为正常数. 误差系统满足滑动面方程si(t)=0,si′(t)=0⟹Dqsi(t)=0, 得到

Dqei(t)=-μiDq-1ei(t).

(4)

由式(3)，(4)不难得到

By(t)-Ax(t)+gi(y(t))-fi(x(t))+ui(t)=-μiDq-1ei(t).

(5)

等效控制为

ueqi(t)=-By(t)+Ax(t)-gi(y(t))+fi(x(t))-μiDq-1ei(t).

(6)

切换控制为

uswi(t)=-Dq-1[λisign(si(t))]，

(7)

ui(t)=ueqi(t)+uswi(t)=

-By(t)+Ax(t)-gi(y(t))+fi(x(t))-μiDq-1ei(t)-Dq-1[λisign(si(t))].

(8)

3 稳定性分析

定理1误差动态系统(4)是有限时间稳定的，系统的状态轨线在有限时间内趋近于零点.

证明构造函数Vi(t)=ei(t)2, 根据引理, 沿误差动态系统(4)的系统轨线求导得到

Vi′(t)=2ei(t)D1-q(Dqei(t))=-2μiei(t)2=-2μiVi(t).

定义μ=min{μi}, 有

上式两边从0到T积分得到

Vi′(t)=si(t)si′(t)=si(t)(D1-qDqei(t)+μiei(t)).

根据式(3)不难得到

Vi′(t)=si(t)[D1-q(By(t)-Ax(t)+gi(y(t))-fi(x(t))+ui(t))+μiei(t)]≤-λi|si(t)|<0，

从上式可得

所以，有

上式两边从0到T积分得到

以下考虑如下不确定分数阶非线性系统

Dqxi(t)=Ax(t)+fi(x(t))+Δfi(x(t)).

(9)

以上述系统为主系统，从系统设计为

Dqyi(t)=By(t)+gi(y(t))+Δgi(y(t))+ui(t).

(10)

假设1存在正常数γi，满足

‖D1-q(Δgi(y(t))-Δfi(x(t)))‖<γi‖ei(t)‖.

(11)

定义系统误差为ei(t)=yi(t)-xi(t) ，其中e(t)=[e1(t),e2(t),…,en(t)]T∈Rn为误差向量.

(10)式减去(9)式得到误差系统方程

Dqei(t)=By(t)-Ax(t)+gi(y(t))-fi(x(t))+Δgi(y(t))-Δfi(x(t))+ui(t).

(12)

设计滑模面

si(t)=ei(t)+μiD-1ei(t),i=1,2,…,n，

其中：μi为正常数.

误差系统满足滑动面方程

si(t)=0,si′(t)=0⟹Dqsi(t)=0.

由此容易得到

Dqei(t)=-μiDq-1ei(t)，

By(t)-Ax(t)+gi(y(t))-fi(x(t))+Δgi(y(t))-Δfi(x(t))+ui(t)=-μiDq-1ei(t).

等效控制为

ueqi(t)=-By(t)+Ax(t)-gi(y(t))+fi(x(t))-μiDq-1ei(t).

切换控制为

uswi(t)=-Dq-1[λi|ei|sign(si(t))+γisi(t)].

ui(t)=ueqi(t)+uswi(t)=

-By(t)+Ax(t)-gi(y(t))+fi(x(t))-μiDq-1ei(t)-Dq-1[λi|ei(t)|sign(si(t))+γisi(t)].

(13)

假设2λi>μi+γi.

Vi′(t)=si(t)si′(t)=si(t)(D1-qDqei(t)+μiei(t)).

根据(12)式以及假设1，2,得到

Vi′(t)=si(t)[D1-q(By(t)-Ax(t)+gi(y(t))-fi(x(t))+Δgi(y(t))-Δfi(x(t))+

ui(t))+μiei(t)]≤γi|ei||si|+μi|ei||si|-λi|ei||si|-γi|si|2<-γi|si|2，

得到

所以，有

上式两边从0到T积分得到

4 结束语

论文通过Lyapunov稳定性理论和分数阶微积分理论，研究一类分数阶非线性系统的有限时间滑模同步控制问题，给出了系统取得有限时间同步的两个充分性条件、控制器的设计以及滑模面的构造，证明了在一定条件下误差系统能够在有限时间内趋近于原点．