分式方程解法探究

刘月

[摘要]探讨已知分式方程的解如何求其中参数的值，以帮助学生突破难点，提高学生解决问题的能力。

[关键词]分式方程;解法;探究

[中图分类号]G633.6 [文献标识码]A [文章编号]1674-6058（2020）05-0021-02

分式方程是相对于整式方程的一类方程，因其独特性成为中考的必考点，与分式方程相关的试题类型包括解分式方程、分式方程的应用、分式方程的解等，可通过去分母、解整式方程、检验得到分式方程的解，它与解整式方程最大的不同是在方程两边都乘以一个含有未知数的整式，当这个整式为0时，分式方程就会出现增根，所以解分式方程的最后一定要验根。反过来，已知分式方程的解，如何求其中参数的值呢？

一、分式方程的解是一个取值范围时。确定字母的取值范围

含有字母的分式方程，如果已知它的解是一个取值范围，我们就可以据此确定其中字母的取值范围，分式方程解的取值范围可以是正数、负数、非正数、非负数、大于1等，为了确定其中字母的取值范围，我们需要求得分式方程的解，为了得到解，我们需要解方程，解的是含有字母的分式方程。

点评：可化为一元一次方程的分式方程有唯一解，有两层意思，一是分式方程化成整式方程ax=b后，未知数的系数a不为o;二是分式方程有解，也就是无增根，即分式方程的各分母都不為0.据此，我们可以确定其参数的值，这里的第二层意思仍是一个隐含条件，学生容易疏忽。

三、分式方程有增根。确定字母的值

分式方程在去分母时，要在方程的两边都乘以各分母的最简公分母，因为这个最简公分母是含有未知数的整式，不是一个确定的实数，所以它的值是不确定的，也就是说，最简公分母有可能为0.当最简公分母为0时，我们在去分母时就违反了方程的变形规则，即在方程的两边都乘以0.所以解分式方程的最后一定要检验，使最简公分母为0的根是分式方程的增根，必须舍去，那么分式方程的增根是否就是“坏根”，没有用处呢？答案是否定的，请看下面实例。

点评：分式方程的增根，就是使各分母为0时，未知数的值，增根虽不是分式方程的根，却是去分母后整式方程的根，所以我们只可以将增根代入整式方程求参数的值，而不可以将增根代入分式方程求参数的值，从这里可以看出，增根并非一无是处，它也是有价值的根。

四、分式方程无解时。确定字母的值

分式方程无解与分式方程有增根是两个概念，不能混为一谈，这其中的原因有两点：一是分式方程无解不一定有增根，如分式方程化为一元一次方程后，一元一次方程无解从而使分式方程无解，一元一次方程就没有根，何来增根？二是分式方程有增根不一定分式方程无解，如分式方程化为一元二次方程后，一元二次方程有两个不同的实数根，其中一个根是分式方程的根，另一个是分式方程的增根，这时分式方程既有增根也有根，对于可化为一元一次方程的分式方程来说，若分式方程无解时，其原因恰好来自两个方面，一方面整式方程无解;另一方面分式方程有增根。

分析：先去分母，化分式方程为整式方程，并整理成整式方程的一般形式，当整式方程的未知数系数为0时，整式方程无解，造成分式方程无解;或者让整式方程有根，但这个根是分式方程的增根，然后舍去，从而造成分式方程无解。

解：把m看成常数，解分式方程（2m+x）x-x（x-3）=2（x-3），整理得（2m+1）x=-6.①

当2m+1=0时，方程①无解，原分式方程也无解，此时m=-0.5。

当2m+1≠0时，方程①有解，要使原分式方程无解，须使方程①的解为分式方程的增根，即x=3或x=0.

把x=0代入①得0=-6.此方程无解，把x=3代入①，得m=-1.5.所以m的值为-0.5或-1.5.故选D。

点评：可化为一元一次方程的分式方程无解，首先要将方程化成ax=b的形式，然后分两种情形讨论，（1）当a=0.6≠0时，整式方程无解，则分式方程也无解;（2）当a≠0时，整式方程有解，这个解是分式方程的增根时，分式方程仍无解。

分式方程的解是分式方程中一个重要的概念，如果已知分式方程的解求字母的值，直接代入分式方程，然后解分式方程就可以了，当把分式方程的增根，整式方程的无解也加入之后，难度也就增加了，从以上例题可见一斑，但不管怎样，解分式方程或解含字母的分式方程，化分式方程为整式方程，并将整式方程整理为最简形式，是绕不开的步骤，分式方程的增根就是使最简公分母为0的根，是不变的硬道理。

（责任编辑：黄桂坚）