约束条件对最优化问题的影响

张立国

【摘要】本文结合两个经济学实例说明约束条件对最优化问题的影响，分析约束条件使目标函数的最优选择出现偏差的原因，并给出具体的解决方法.

【关键词】约束条件;可行域;目标函数

在经济学中，最常见的选择标准是最大化目标（如厂商利润最大化、消费者效用最大化等）或最小化目标（如在给定产出下使成本最小化等），这些追求目标函数的最大化问题和最小化问题统称最优化问题.当目标函数受到条件约束时，最优化问题就成了条件极值问题.

由于约束条件的影响，容易造成目标函数的最优选择出现偏差，因而需要深入研究和解析产生偏差的原因.有些学者也做过这方面的讨论，但不够彻底.本文以两类常见经济学案例为引例，说明约束条件对最优化问题的影响，分析约束条件使目标函数的最优选择出现偏差的原因，并给出具体的解决方法.

一、引例与解法错误

例1 设某工厂生产甲、乙两种产品，当产量分别为x，y（单位：千件）时，其利润函数为L（x，y）=6x-x2+16y-4y2-2（单位：万元）.

已知生产这两种产品时，每千件产品各需消耗原料2000 kg，现有该原料12000 kg，问：两种产品各生产多少千件时，总利润最大？最大利润为多少？

解 约束条件2000x+2000y=12000，即x+y=6.因此，问题是在x+y=6的条件下，求利润函数L（x，y）的最大值.把x+y=6变形为y=6-x，代入L（x，y），得F（x）=-5x2+38x-50.对变量x求导并令其为零，得F′（x）=-10x+38=0，解得x=3.8，y=2.2.

F″（x）=-10<0，因此当x=3.8时，F（x）有极大值，且F（3.8）=22.2（万元）.因为只有一个驻点（3.8，2.2），且实际问题的最大值是存在的，所以驻点（3.8，2.2）是L（x，y）的最大值点，最大值为L（3.8，2.2）=22.2（万元）.

注：事实上，当x=3，y=2时，L（3，2）=23（万元），即不需消耗所有原料储量，产值已经超过22.2万元.此题解法的错误在于把不等式（平面区域）约束条件看成等式（直线）约束条件，导致结果出现偏差.

例2 某公司两个工厂生产同样的产品，所需的成本不同：A工厂生产x单位产品与B工厂生产y单位产品时的总成本为C（x，y）=x2+2y2+5xy+700.

若公司的生产任务是500个单位产品，问：如何分配任务才能使总成本最小？

解 约束条件为x+y=500，因此，问题是在x+y=500的条件下求总成本函数C（x，y）的最小值.把x+y=500变形为y=500-x，代入C（x，y），得F（x）=-2x2+500x+500700.

对变量x求导并令其为零，得F′（x）=-4x+500=0，解得x=125，则y=375.此时总成本为531950.

注：不难验证（125，375）是目标函数的最小值点，但遗漏了最小值点（500，0）.此题解法的错误是没有考虑直线可行域的边界点.

二、理论分析

通过例1与例2的求解不难发现，这属于条件极值的漏解问题.漏解问题是复杂的，它不仅与求解方法的不严谨性有关，与约束条件的复杂性也有着密切的关联.由于理论依据与适用范围的限制，导致代入法与拉格朗日乘数法只适用部分条件极值问题的求解.因而当约束条件达不到求解方法的要求时，条件极值就会出现漏解现象.

1.约束条件确定了目标函数的可行域

条件极值就是目标函数f（x，y）在约束条件φ（x，y）确立的可行域上的极值.若可行域是有界闭区域，且目标函数f（x，y）在可行域上连续，那么目标函数f（x，y）在可行域上必定取得最大值和最小值.其中最值点既可能在可行域的内部，也可能在可行域的边界上.在可行域内部，f（x，y）的所有驻点与偏导数不存在的点均可能成为目标函数的最值点.而例1和例2的错误就是考虑问题片面造成的.

2.约束条件决定条件极值的解法

求解条件极值的常用方法有两种，即拉格朗日乘数法和代入法.现有的大部分高等数学教材都把这两种方法列为重点，以例题的方式详细介绍如何利用这两种方法，却对理论依据和适用范围避而不谈.其实，它们的理论依据和适用范围都与约束条件φ（x，y）有着密切的关系.

（1）利用代入法求解条件极值

代入法是从约束条件的m个方程中将其中m个变量解出，用其余（n-m）个变量表示，然后直接代入目标函数中，这样就变为一个求（n-m）个变量函数的无条件极值问题，因而约束条件显化是使用代入法的前提条件，否则，使用代入法就会出现漏解情况.

例3 求原点到曲线x2-（y-1）3=0的最短距离.

解1 目标函数：z=x2+y2，约束条件：φ（x，y）=x2-（y-1）3=0.

将约束条件变形为x2=（y-1）3，代入目标函数，得z=（y-1）3+y2.对y求导且令其为零，得 z′=3（y-1）2+2y=3y2-4y+3=0.由于判别式Δ<0，此一元二次函数无实数解.

解2 将约束条件变形为y=1+x2[]3，代入目標函数，得z=x2+（1+x2[]3）2.对x求导，得 z′=2x+4[]3（1+x2[]3）x-1[]3，无稳定点，不可导点x=0.根据一元函数取得极值的第一充分条件可知，（0，1）为所求最小值点.

上述两种解法都采用了代入法，通过代入实现消元降维，转化为一元函数的无条件极值问题，但结果却不同，这说明使用代入法求解条件极值是有条件的.从代数的角度可以看出，当约束条件φ（x，y）变形为单值函数时结果正确，而变为多值函数时结果却错误，这说明条件极值的漏解现象与约束条件φ（x，y）是否显化有关.

① 当约束条件φ（x，y）=0可以显化时，代入法可以把条件极值等价转化为一元函数在区间内的极值问题，而一元函数的极值点只有驻点与不可导点两类，故不会产生漏解的情况.

② 若约束条件φ（x，y）=0不能显化时，约束曲线φ（x，y）=0上的点与其在坐标轴上的投影点之间是多对一的映射.如果极值点邻域内的点出现投影折叠时，极值点的投影或与非极值点的投影重合，或为区间端点，它们都不是z=f[x，y（x）]在定义域内的极值点，此时使用代入法会遗漏条件极值点.

例4 求函数f（x，y）=x2+y2在星形线x2[]3+y2[]3=a2[]3上的最值与对应的最值点.

解 目标函数：f（x，y）=x2+y2，约束条件：φ（x，y）=x2[]3+y2[]3-a2[]3=0.

根据对称性，只讨论y>0的情形：

将约束条件变形为y 2=（a2[]3- x2[]3）3，代入目标函数，得F（x）=x2+（a2[]3-x2[]3）3.

对x求导，得 F′（x）=2x-2（a2[]3-x2[]3）2x-1[]3，得驻点x=±2a[]4.F（x）不可导点x=0.

经比较，最大值F（0）=a2，最小值F±2a[]4=a2[]4，因此f（x，y）的最大值与最小值分别为a2，a2[]4.

由于f（x，y）与φ（x，y）具有对称性，因此最小值点为

2a[]4，2a[]4，- 2a[]4，2a[]4，2a[]4，- 2a[]4，- 2a[]4，- 2a[]4;

最大值点为（0，a），（0，-a），（a，0），（-a，0）.

注：将约束条件φ（x，y）分为x轴上、下两部分，利用对称性解决问题.

结合本例可以看出，利用代入法求解条件极值问题时，应全面考虑约束条件的具体状况，才能避免出现漏解现象.

（2）利用拉格朗日乘数法求解条件极值

设函数f（x，y），φ（x，y）在点P（x0，y0）的某邻域内有连续的偏导数，φ（x0，y0）=0.若[φx（x0，y0）]2+[φy（x0，y0）]2≠0时，可用拉格朗日乘数法求解.这里要求约束条件φ（x，y）满足隐函数存在定理，而且是不可或缺的.当[φx（x0，y0）]2+[φy（x0，y0）]2=0时，使用拉格朗日乘数法就会出现漏解情况.

例5 利用拉格朗日乘数法求解例3.

解 目标函数：z=x2+y2，约束条件：φ（x，y）=x2-（y-1）3=0.

构造拉格朗日函数F（x，y，SymbollA@）=x2+y2+SymbollA@[x2-（y-1）3].

对各变量求偏导并令其为零，得

Fx（x，y，λ）=2x+2λx=0，Fy（x，y，λ）=2y-3λ（y-1）2=0，Fλ（x，y，λ）=x2-（y-1）3=0，

方程组无解，遗漏条件极值点（0，1）.

例5的求解采用拉格朗日乘数法，这是不依赖消元而直接使用的方法.它将问题转化为二元函数的无条件极值，但结果却无解，这说明拉格朗日乘数法求条件极值是有使用条件的.而例5的漏解是因为约束条件φ（x，y）在极值点（0，1）不满足隐函数存在定理的条件造成的，这与拉格朗日乘数法的使用要求相吻合.因而解决由拉格朗日乘数法造成的漏解问题必须围绕约束条件φ（x，y）是否满足隐函数存在定理展开讨论.

① 若约束条件φ（x，y）满足隐函数存在定理，即[φx（x0，y0）]2+[φy（x0，y0）]2≠0时，条件极值可以用拉格朗日乘数法求解，在理论上不会漏解.拉格朗日乘数法将条件极值等价转化为辅助函数F（x，y，SymbollA@）的无条件极值问题.而二元函数的驻点不一定是极值点，因此拉格朗日乘数法求得结果只是可能的极值点，而且必定含有所有极值点.

② 若约束条件φ（x，y）不满足隐函数存在定理时，拉格朗日乘数法就不再适合作为求解条件极值的方法.如果继续使用此方法，可能出现漏解情况，而且遗漏的可能极值点就是φ（x，y） 的驻点或偏导数不全存在的点.

例6 利用拉格朗日乘数法解例4.

解 目标函数：f（x，y）=x2+y2，约束条件：φ（x，y）=x2[]3+y2[]3-a2[]3=0.

构造拉格朗日函数F（x，y，SymbollA@）=x2+y2+SymbollA@（x2[]3+y2[]3-a2[]3）.

对各变量求偏导并令其为零，得

Fx（x，y，λ）=2x+23λx- 1[]3=0，Fy（x，y，λ）=2y+23λy- 1[]3=0，Fλ（x，y，λ）=x2[]3+y2[]3-a2[]3=0，

解得拉格朗日函数的驻点：2a[]4，2a[]4，-2a[]4，2a[]4，2a[]4，-2a[]4，-2a[]4，-2a[]4.

遗漏条件极值点：（0，a），（0，-a），（a，0），（-a，0）.结果与例4相同.

注：① 约束条件φ（x，y）在遗漏条件极值点（0，a）的偏导数不存在，其余遗漏条件极值点情况类似.

② 拉格朗日函数的驻点与约束条件φ（x，y）偏导数不全存在的点是目标函数f（x，y）的可能条件极值点.

综上所述，条件极值的极值点或是约束条件φ（x，y）的驻点、φ（x，y）偏导数不全存在的点，或是拉格朗日函数的驻点.不过由于约束条件的限制，使用拉格朗日乘数法时，前两种可能极值点经常被遗漏，因此为避免漏解问题，需要补充考察这两类点.

三、解决问题

条件极值处理最优化问题时，应当考虑可行域上的所有可能极值点，才能避免出现漏解现象，因而条件极值处理最优化问题的解题过程如下.

首先，找出约束条件φ（x，y）确定的可行域.

其次，找出可行域内可能的最值点：

① 找到φ（x，y）的所有偏导数不全存在的点：{（xi，yi）|φx（xi，yi），φy（xi，yi）不存在，i=1，2，…，n}.

② 找到φ（x，y）的驻点：{（xi，yi）|[φx（xi，yi）]2+[φy（xi，yi）]2=0，i=1，2，…，n }.

③ 找到φ（x，y）的邊界点：{（xi，yi）|φ（x，y）=0，i=1，2，…，n }.

④ 找到所有拉格朗日驻点：{（xi，yi）| i=1，2，…，n }.

最后，比较上述所有点处的函数值，取满足题目要求的条件极值.

约束条件不仅决定目标函数的可行域，还影响着条件极值的解法.在最优化问题上，需要谨慎处理约束条件，否则会使最优选择出现偏差，因此，正确理解和分析约束条件是至关重要的.

【参考文献】

张丽，张艺玲，朱德刚.条件极值问题中约束条件的一个注记[J].高等数学研究，2018，21（2）：30-31.