多元多项式理论及其应用

岳霞霞

【摘要】本文以对称多项式和二次型这两类特殊的多元多项式为例，比较系统地总结了这两类多项式的有关知识点.在对称多项式中，以对称多项式定理为主线，较为具体地列出了对称多项式定理在导出方程系数之间的关系、解高次方程组与证明题中的应用;在二次型中，主要列举了二次型在证明不等式、求极值与因式分解中的应用，使得多元多项式这一部分知识更加有条理，同时对于今后做这方面的题目有一定的帮助.

【关键词】多项式;对称多项式;二次型

一、对称多项式

对称多项式是比较常见的一类多元多项式，同时也是一种比较重要的多元多项式.初等对称多项式在对称多项式理论中占据重要的地位，而对称多项式的基本定理是联系对称多项式与初等对称多项式之间的桥梁.这一节以对称多项式的定理为主线，总结了与其有关的知识点以及一些应用.

1.有关对称多项式的知识点

（1）定义

如果n元多项式f（x1，…，xi，…，xj，…，xn）对于i，j（1≤i

（2）对称多项式的基本定理

对于任意一个n元对称多项式f（x1，x2，…，xn）均有一个相应的n元多项式φ（y1，y2，…，yn），使f（x1，x2，…，xn）=φ（σ1，σ2，…，σn）.

（3）一元多項式根与系数的关系

设f（x）=xn+a1xn-1+…+an（1）

是一元多项式环Px中的一个多项式，假如多项式f（x）在数域P中有n个根α1，α2，…，αn，那么f（x）就能够分解为

f（x）=（x-α1）（x-α2）…（x-αn）.（2）

比较（1）与（2）可以得到根与系数的关系如下所示：

-a1=α1+α2+…+αn，a2=α1α2+α1α3+…+αn-1αn，……（-1）iai=∑ak1ak2…aki（所有可能的i个不同的akj的乘积之和），……（-1）nan=a1a2…an.

2.对称多项式的应用

（1）在导出方程系数之间的关系中的应用

根据对称多项式定理，任意一个n元对称多项式f（x1，x2，…，xn）均可以用一个基本对称多项式来表示，下面的两个例题就是用这一定理来解决的，即若已知一个一元n次方程xn+a1xn-1+…+an=0的根之间的关系，则可以导出方程的系数之间应该满足的关系.

例1 证明一个三次方程x3+a1x2+a2x+a3=0的三个根成等差数列的条件是 2a31-9a1a2+27a3=0.

证明 设该方程的三个根分别为x1，x2，x3，因为这三个根成等差数列，故有2x2=x1+x3，则相应的对称多项式可以构造为

φ（x1，x2，x3）=（2x1-x2-x3）（2x2-x1-x3）（2x3-x1-x2）.

又因为σ1=-a1，σ2=（-1）2a2=a2，σ3=（-1）3=-a3，

代入上面式子，从而有

φ（x1，x2，x3）=2a31-9a1a2+27a3.

又因为2x2=x1+x3，故有φ（x1，x2，x3）=0，

所以φ（x1，x2，x3）=2a31-9a1a2+27a3=0.

（2）在解高次方程组中的应用

例2 在复数域上解方程组x5+y5=33，x+y=3.

解 方程组中的每个方程的左端都是x与y的对称多项式，设两个字母的对称多项式为σ1=x+y，σ2=xy，

把x5+y5表示成二元初等对称多项式，则有x5+y5=σ51-5σ31σ2+5σ1σ22，

从而原方程化简为σ51-5σ31σ2+5σ1σ22=33，σ1=3，

解得σ1=3，σ2=2或σ1=3，σ2=7，即x+y=3，xy=2或x+y=3，xy=7.

因此，原方程组的解为（1，2），（2，1），3-19i2，3+19i2，3+19i2，3-19i2.

（3）在证明中的应用

例3 证明x1+x2+…+xn=0，x21+x22+…+x2n=0，……xn1+xn2+…+xnn=0只有零解.

证明 令σ1=x1+x2+…+xn，σ2=x1x2+x1x3+…+x1xn+…+xn-1xn，……σn=x1x2…xn，

sk=xk1+xk2+…+xkn（k=0，1，2，…），

由已知，可得s1=s2=…=sn=0，

s1=σ1=0，s2=s1σ1+2σ2=0，……sn=sn-1σ1-sn-2σ2+…-（-1）n-1σn-1s1-（-1）n-1nσn=0，

从而可得σ1=σ2=…=σn=0，

故x1，x2，…，xn为一元n次方程xn=0的n个根，而xn=0的n个根全为0，即x1=x2=…=xn=0.

故方程组只有零解.

二、二次型

二次型是二次齐次多项式，是特殊的多元多项式，本文通过矩阵乘法将二次型与对称矩阵联系起来，从而将二次型的问题转化为矩阵来求，使二次型的问题简单化.

1.有关二次型的知识点

定义1 每个n元二次型f（x1，x2，…，xn）都可唯一地表示成f（x1，x2，…，xn）=XTAX，其中X=（x1，x2，…，xn）T，A为对称阵，A称为二次型f的矩阵，则矩阵A的秩称为二次型f的秩.

定义2 实二次型f=XTAX（A为实对称阵，X=（x1，x2，…，xn）T），若对任意的X≠0，都有f>0（f≥0，f≤0），则称f为正定（半正定、半负定）二次型.

定理1 实二次型f（x1，x2，…，xn）=XTAX可经变量的正交变换Y=QX（Q为正交阵）化为

f=λ1y21+λ2y22+…+λny2n（λ1，λ2，…，λn是矩阵A的全部特征值）.

定理2 设f=XTAX是n元实二次型，如果∑ni=1x2i=1，那么矩阵A的最大（小）特征值正好是f的最大（小）值.

以下我们进行讨论判定n元二次型是否存在极值以及求极值的方法.

一般的，n元二次多项式形如

∑ni=1∑nj=1aijxixj+2∑ni=1bixi+c，（3）

显然（3）存在极值当且仅当∑ni=1∑nj=1aijxixj+2∑ni=1bixi，（4）

存在极值（上两式aij=aji），易见∑ni=1∑nj=1aijxixj是一个n元二次型，设其矩阵为A.于是有

定理3 一个实二次型能够分解成为两个实系数的一次齐次多项式乘积的充分且必要条件是：它的秩为2且正负惯性指数相等，或者秩等于1.

2.二次型的应用

（1）二次型在证明不等式中的应用

例4 求证n∑ni=1x2i≥∑ni=1xi2.

证明 令f（x1，x2，…，xn）2=n（x21+x22+…+x2n）-（x1+x2+…+xn）2

=（n-1）x21+（n-1）x22+…+（n-1）x2n-2x1x2-2x1x3-…-2x1xn

-2x2x3-…-2x2xn-…-2xn-1xn，

該二次型的矩阵为

n-1-1…-1-1-1n-1…-1-1……………-1-1…n-1-1-1-1…-1n-1

将第2，3，…，n列加到第1列，那么第1列元素全为零，故|A|=0.用同样的方法可以求出A的i阶主子式为（n-i）ni-1>0（i=1，2，…，n-1），因此A是半正定的，所以f（x1，x2，…，xn）≥0，即n∑ni=1x2i≥∑ni=1xi2.

（2）二次型在求极值中的应用

定理2给出了在变数平方和等于1的情况下，求实二次型XTAX的最大、最小值的方法，在这里，我们举例说明.

例5 已知实数x，y满足x2+y2=1，求f（x，y）=x2+2y2-2xy的最大值与最小值.

解 f（x，y）的矩阵为 A=1-1-12，

λE-A=λ-111λ-2=λ2-3λ+1.

令λE-A=0，则λ1=123+5，λ2=123-5.所以，根据定理2可以得到，f（x，y）在x2+y2=1下的最大值为123+5，最小值为123-5.

（3）二次型在因式分解中的应用

例6 求多项式f（x1，x2）=x21-3x22-2x1x2-2x1-6x2在R上的分解.

解 考虑二次型g（x1，x2，x3）=x21-3x22-2x1x2+2x1x3-6x2x3，则显然有f（x1，x2）=g（x1，x2，1）.

二次型g（x1，x2，x3）对应的矩阵为

A=1-11-1-3-31-30，

矩阵A经过合同变换，可以求得相应的可逆矩阵为

P=11-3201-12001，且满足PΤAP=1-40.

显然r（A）=2且符号差为0，由定理可以知道，二次型g（x1，x2，x3）可分解.

作非退化线性变换

x1x2x3=11-3201-12001y1y2y3，

则g（x1，x2，x3）=y21-4y22=（y1+2y2）（y1-2y2），

而Y=P-1X，故有y1=x1-x2+x3，y2=x2+12x3，y3=x3，

从而g（x1，x2，x3）=（x1+x2-2x3）（x1-3x2），

进而有f（x1，x2）=g（x1，x2，1）=（x1+x2+2）（x1-3x2）.

【参考文献】

[1]杨家摇，等.高等代数在初等数学中的应用[M].济南：山东教育出版社，1992.

[2]徐仲，陆全，张凯院.高等代数考研教案：第二版[M].西安：西北工业大学出版社，2009.

[3]张禾瑞.高等代数：第四版[M].北京：高等教育出版社，1999.

[4]北大数学系几何与代数教研室小组.高等代数：第三版[M].北京：高等教育出版社，2013.

[5]高凯庆.齐次线性方程组的理论在初等数学中的某些应用[J].数学通报，2002（01）：39.

[6]王奇，任文龙，李慧.高等代数在初等数学中的一些应用[J].甘肃联合大学学报（自然科学版），2008（5）：55-56.

[7]李师正.多项式代数[M].青岛：山东人民出版社，1981.

[8]吕凤，等.高等数学在中学数学中的应用1000例[M].长春：东北师范大学出版社，1995.