利用复数性质证明三角恒等变换公式

林柔苑

【摘要】复数的作用是强大的，其中复分析中的欧拉公式更是联系复数与三角函数的重要工具.利用欧拉公式可以简化三角恒等变换的证明过程，利用复数乘法的几何性质可以推导辅助角公式，这不仅可以使学生感受复数的美与力量，更可以加深对复数和三角函数的理解.

【关键词】复数性质;欧拉公式;推导证明;三角恒等变换

高中数学新课标中对复数的要求并不高，只需学生掌握基础概念即可，但这样使学生不能直接感受到复数的美与其强大的作用.所以本文将重点讲述复数与三角函数的联系，并利用复数特有的性质对三角恒等变换公式的证明进行简化，从而拓展学生的创新性和对三角函数的理解.

一、复数的基本性质

根据高中教材的定义：任一复数z都有形式z=a+ib，其中a为实部、b为虚部.同时复数z=a+ib也可看作向量Oz.下面进一步认识复数的性质，首先认识z的模和辐角[1].

其中z的模是我们熟悉的，|z|= zz-= a2+b2.辐角的定义：非零向量Oz与实轴正向间的夹角为辐角，记为arg z.（注意arg z=arg z+2kπ，k∈Z有无穷多个取值，用arg z表示这些辐角中满足-π

1.欧拉公式

欧拉公式在不同学科中有不同的含义，在复分析中欧拉公式是把复指数函数与三角函数联系起来的公式，其具体形式为

eiθ=cos θ+isin θ.

对欧拉公式进行变形可得：e-iθ=cos θ-isin θ;将左式与欧拉公式进行相加或相减可以得到正弦和余弦的欧拉表示：

cos θ=eiθ+e-iθ2，sin θ=eiθ-e-iθ2i.

2.复数的表示

利用模和辐角可以将复数z写成三角表达式：z=|z|（cos arg z+isin arg z）.将三角表达式结合欧拉公式即可得出复数z的指数表达式z=|z|eiarg z.

通过复数的三角表达式和指数表达式可以发现，只要确定了复数模和辐角的大小就可以确定一个复数.

3.复数相乘的几何意义

由于复数α=αeiarg α，复数β=βeiarg β，所以

αβ=αeiarg αβeiarg β=αβei（arg α+arg β）.

得出复数相乘法则的几何意义是：αβ的模长是α的模长与β的模长乘积;αβ的辐角是α的辐角与β的辐角之和.

根据上述几何意义就可以轻易得出复数相乘后的模和辐角，从而得出相乘后的復数.

二、利用欧拉公式证明正弦、余弦、正切的两角和与差公式

1.正弦、余弦的两角和与差公式

通过对欧拉公式cos θ+isin θ=eiθ 进行适当的变形，可得[2]：

cos（θ-φ）+isin（θ-φ）=ei（θ-φ）=eiθe-iφ

=（cos θ+isin θ）cos φ-isin φ

=cos θcos φ+sin θsin φ+isin θcos φ-cos θsin φ.

根据复数的性质，对比实部和虚部可得到：

cos（θ-φ）=cos θcos φ+sin θsin φ，

sin（θ-φ）=sin θcos φ-cos θsin φ.

利用同样的方法可以快速得出正弦和余弦的两角和公式：

cos（θ+φ）+isin（θ+φ）=ei（θ+φ）=eiθeiφ

=（cos θ+isin θ）（cos φ+isin φ）

=（cos θcos φ-sin θsin φ）+i（sin θcos φ+cos θsin φ）.

根据复数的性质，对比实部和虚部可得到：

cos（θ+φ）=cos θcos φ-sin θsin φ，

sin（θ+φ）=sin θcos φ+cos θsin φ.

2.正切的两角和与差公式

正切的两角和与差公式的证明并不是直接对欧拉公式进行变形，而是利用正弦与余弦的相应结果得出，

tan（θ-φ）=sin（θ-φ）cos（θ-φ）=sin θcos φ-cos θsin φcos θcos φ+sin θsin φ， （*）

对（*）式最右项上下同时除cos θcos φ，则

tan（θ-φ）[ZK（]=sin（θ-φ）cos（θ-φ）=sin θcos φ-cos θsin φcos θcos φ+sin θsin φ=tan θ-tan φ1+tan θtan φ.[ZK）]

利用相同的方法可以得出：

tan（θ+φ）[ZK（]=sin（θ+φ）cos（θ+φ）=sin θcos φ+cos θsin φcos θcos φ-sin θsin φ=tan θ+tan φ1-tan θtan φ.[ZK）]

3.正弦、余弦和与差公式的推广

由于正弦、余弦的多角和与差公式的推导方法相同，所以下面只以三角和公式为例进行说明.

cos（θ+φ+ψ）+isin（θ+φ+ψ）=ei（θ+φ+ψ）

=eiθeiφeiψ

=（cos θ+isin θ）（cos φ+isin φ）（cos ψ+isin ψ）

=[ZK（]（cos θcos φcos ψ-cos θsin φsin ψ-sin θcos φsin ψ-sin θsin φcos ψ）+i（sin θcos φcos ψ+cos θsin φcos ψ+cos θcos φsin ψ-sin θsin φsin ψ）.[ZK）]

根据复数的性质，对比实部和虚部可得到：

cos（θ+φ+ψ）=[ZK（]cos θcos φcos ψ-cos θsin φsin ψ-sin θcos φsin ψ-sin θsin φcos ψ，[ZK）]

sin（θ+φ+ψ）=[ZK（]sin θcos φcos ψ+cos θsin φcos ψ+cos θcos φsin ψ-sin θsin φsin ψ.[ZK）]

三、利用复数性质推导新的正切降幂公式

1.回顾正弦和余弦的降幂公式

对于正弦和余弦的降冪公式[3]推导主要利用了余弦的二倍角公式cos 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α，即可得出：cos 2α=cos 2α+12，sin 2α=1-cos 2α2.

2.正切的降幂公式

对于正切的降幂公式，可以直接利用sin 2αcos 2α=1-cos 2αcos 2α+1，但此降幂公式右边每项均没有出现正切表达.下面介绍另一种方法：利用复数相乘的几何意义进行推导.

令Y=tan α，所以复数z=1+iY形成的辐角斜率刚好为tan α.那么tan 2α刚好是（1+iY）2形成的辐角斜率，且（1+iY）2的展开式肯定有Y2=tan 2α，则

tan 2α=Im（1+iY）2Re（1+iY）2=2Y1-Y2=2tan α1-tan2α，

整理后可得：

tan 2α=tan 2α-2tan αtan 2α.

四、利用欧拉公式证明三角函数的和差化积公式

高中教材中的和差化积公式一般是先分解θ=θ-φ2+θ+φ2和φ=θ+φ2-θ-φ2，再利用两角和（差）公式得出[4].但由于和差化积公式和欧拉公式同时涉及正弦、余弦，所以下面尝试利用欧拉公式进行和差化积的证明，这使我们利用高等数学的知识可以快速解决中学的部分问题.

（1）第一步：推导cosθ-φ2，cosθ+φ2，sinθ+φ2，sinθ-φ2的复数表示

利用欧拉公式我们可以轻易得出以下复数表示：

cosθ-φ2=eiθ-φ2+e-iθ-φ22，cosθ+φ2=eiθ+φ2+e-iθ+φ22，

sinθ-φ2=eiθ-φ2-e-iθ-φ22i，sinθ+φ2=eiθ+φ2-e-iθ+φ22i.

（2）第二步：结合欧拉公式计算得出和差化积公式

2sinθ+φ2cosθ-φ2[ZK（]=2eiθ+φ2-e-iθ+φ22ieiθ-φ2+e-iθ-φ22=12i（eiθ+eiφ-e-iφ-e-iθ）=sin θ+sin φ，[ZK）]

2sinθ-φ2cosθ+φ2[ZK（]=2eiθ-φ2-e-iθ-φ22ieiθ+φ2+e-iθ+φ22=12ieiθ+e-iφ-eiφ-e-iθ=sin θ-sin φ，[ZK）]

2sinθ-φ2sinθ+φ2[ZK（]=2eiθ-φ2-e-iθ-φ22ieiθ+φ2-e-iθ+φ22i=-12eiθ-e-iφ-eiφ+e-iθ=cos φ-cos θ，[ZK）]

2cosθ-φ2cosθ+φ2[ZK（]=2eiθ-φ2+e-iθ-φ22eiθ+φ2+e-iθ+φ22=12eiθ+e-iφ+eiφ+e-iθ=cos θ+cos φ.[ZK）]

五、利用复数性质证明三角函数的辅助角公式

辅助角公式是中国近代著名数学家李善兰先生提出的，该公式的主要作用是将多个三角函数的和化为单个函数.辅助角公式是高中的重要公式之一，但其推导过程大家却容易忽略，下面将借助复数性质来快速推导出辅助角公式.

任意复数z都有相应的指数和三角表达式：z=|z|eiarg z=|z|（cos arg z+isin arg z）.

（1）证明asin θ+bcos θ= a2+b2sinθ+arctanba.

下面关键利用复数相乘的几何性质来进行推导.为了出现asin θ+bcos θ，我们不妨考虑（a+ib）（cos θ+isin θ）.由于

（a+ib）（cos θ+isin θ）=（acos θ-bsin θ）+i（asin θ+bcos θ），

所以asin θ+bcos θ=Im（（a+ib）（cos θ+isin θ））.

其中ω=（a+ib）（cos θ+isin θ）=（a+ib）eiθ为复数（a+ib）和复数eiθ相乘，根据复数乘法的几何性质可知：

|ω|=|a+ib||eiθ|= a2+b2，

arg ω=arg（a+ib）+arg（eiθ）=arctanba+θ.

所以ω=|ω|eiarg ω= a2+b2eiarctanba+θ，则可得，

asin θ+bcos θ=Im a2+b2eiarctanba+θ= a2+b2sinθ+arctanba.

（2）证明asin θ+bcos θ= a2+b2cosθ-arctanab.

这部分的推导方法与（1）是完全相同的.

不妨构造（b+ia）（cos θ-isin θ）.由于

（b+ia）（cos θ-isin θ）=（bcos θ+asin θ）+i（acos θ-bsin θ），

所以asin θ+bcos θ=Re[（b+ia）（cos θ-isin θ）].

其中ξ=（b+ia）（cos θ-isin θ）=（b+ia）e-iθ为复数（b+ia）和复数e-iθ相乘，根据复数乘法的几何性质可知：

|ξ|=|b+ia||e-iθ|= a2+b2，

arg ξ=arg（b+ia）+arg（e-iθ）=arctanab+（-θ）.

所以ξ=|ξ|eiarg ξ= a2+b2eiarctanab-θ，则可得，

asin θ+bcos θ[ZK（]=Re a2+b2eiarctanab-θ

= a2+b2cosθ-arctanab.[ZK）]

本文将复数性质与三角恒等变换结合在一起，提供了另一种学习三角函数的方向，也体现了数学各知识点之间的融会贯通，其中复数性质不仅可以用来证明三角恒等变换，还可以与向量进行结合来解决几何计算问题，所以复数的力量是强大的.

【参考文献】

[1]陈宗煊，孙道椿，刘名生.复变函数[M].北京：科学出版社，2010.

[2]Tristan  Needham.复分析可视化方法[M].齐民友，译.北京：人民邮电出版社，2009.

[3]于大中.三角函数降幂公式的推导及应用[J].中等数学，1984（2）：9-11.

[4]林清，蔡萍.利用欧拉公式推导三角函数公式[J].高等数学研究，2014（3）：10-12.