基于核心素养的数学教学设计

王桂芳

【摘要】数学学科核心素养很好地概括了高中生在数学方面所应该具备的六大能力.本文就以“椭圆的标准方程”的教学为例，通过一系列教学环节的设计，以教师对学生进行引导、启发、讲授与学生自主探究相结合的方式，尝试在教学过程中渗透这些核心素养.

【关键词】核心素养;椭圆;标准方程;推导

数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析，这些数学学科核心素养既相对独立又相互交融，是有机统一的整体.[1] 在不同知识的处理上，六大核心素养的侧重各有不同，本节课将从学情分析、教材分析、教学目标、教法与学法、教学过程设计、教学反思等六个方面进行阐述，并主要将数学抽象、逻辑推理和数学运算三个数学核心素养渗透其中.

一、学情分析

圆锥曲线在日常生活和科学技术领域都有着广泛的应用，也是高中数学的一个重要模型.椭圆是学生接触到的第一种圆锥曲线，为接下来继续研究双曲线和抛物线提供了指导作用，所以椭圆就成为最重要的一种圆锥曲线.在必修2中学生学习了直线和圆的知识，对解析几何的基本思想和方法有所了解，在选修2-1第2.1节又学习了椭圆的定义，这都为本节课推导椭圆的标准方程奠定了知识基础.

二、教材分析

“椭圆的标准方程”是苏教版高中数学选修2-1第2.2.1节的内容，是继必修2学习“圆”之后又一次接触二次曲线.由于是在“圆锥曲线”这一节之后讲解，学生已经从整体上了解了三种圆锥曲线的概念，这为本节研究椭圆的标准方程做好了知识准备.通过本节课的学习，要让学生掌握椭圆的标准方程和求曲线方程的一般方法，也为下一步推导双曲线和抛物线的方程做好了铺垫.

三、教学目标

基于以上分析，并参考《高中数学课程标准（修订）》及《江苏省普通高中数学课程标准教学要求》，确定本节课的教学目标如下.

1.进一步理解椭圆定义，理解椭圆标准方程的推导过程并掌握椭圆的标准方程，会根据条件求椭圆的标准方程和根据椭圆的标准方程求焦点坐标，能够准确区分椭圆标准方程的两种形式.

2.让学生经历推导椭圆标准方程的过程，进一步掌握如何用一般方法求曲线方程，体会数形结合思想的应用，提高学生运用类比、联想等方法进行化简计算的能力.

3.在具体情境中感受研究椭圆标准方程的必要性及实际意义;体会数学的对称美和简洁美，提高审美情趣，调动学习数学的积极性.

教学重点：椭圆的标准方程.

教学难点：椭圆标准方程的推导.

四、教法与学法

在本节课的教学中，首先，充分运用多媒体的演示功能，通过与生活实际问题结合引入课题，引起学生兴趣，激发学生的求知欲.其次，引导学生分析椭圆定义，类比圆的方程的推导过程，通过建立合适的坐标系，把几何问题代数化，运用适当的化简技巧，逐步推导出椭圆的标准方程.在课堂中对学生进行引导、启发，讲授与学生自主探索相结合，充分发挥教师的主导作用，突出学生的主体地位.

五、教学过程设计

1.问题情境，引入课题

利用PPT演示播放生活中一些形状为椭圆的物品，想要精确地制造它们，就需要应用椭圆的性质，由此引导学生结合已学知识，思考从哪些方面入手来研究椭圆.

设计意图：从生活实际问题中提炼出椭圆问题，让学生思考研究椭圆的途径和方法.

2.师生问答，复习回顾

师生共同回顾上节课学习过的椭圆定义.

师：请大家回忆一下，圆的标准方程建立的过程是怎样的？

生：①建系，②设点，③列式，④化简.

师：这对我们建立椭圆的标准方程有何启发？请同学们自己尝试一下.

设计意图：让学生从已经学习过的椭圆定义出发，类比圆的方程的推导过程，找到推导椭圆方程的方法.

3.师生活动，建构数学

设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，它们之间的距离为2c，椭圆上任意一点P到F1，F2的距离和为2a（2a>2c）.

师：如何建立适当的坐标系？（原则：尽可能使方程的形式简单、运算方便，考虑所给几何图形的对称性，一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.）

设计意图：渗透数形结合思想，教学生建立坐标系的方法，帮助他们在以后需要进行几何问题代数化的情境中，能够自己建立合适的坐标系.

① 建系：以线段F1F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.

② 设点：设P（x，y）是橢圆上的任意一点，

因为F1F2=2c，所以焦点F1（-c，0），F2（c，0）.

③ 列式：根据条件PF1+PF1=2a，得

（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a.

④ 化简，移项，得

（x+c）2+y2=2a-（x-c）2+y2，

两边平方，移项，整理，得a2-cx=a（x-c）2+y2，

两边平方后整理，得

（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）.

师：为何要先移项再平方，而不是直接平方？

生：化简就是要去掉根式，那就需要平方，但如果直接平方会出现两个根式相乘.如果想要进一步去掉根式，则要再次平方，这样就使该式变成了四次式.而通过先移项再平方，虽然还有根式在里面，但是再次移项平方后，就可以去掉根式，该式变成了二次式，这显然优于直接平方所得结果.

设计意图：先让学生尝试化简，经历知识的发生发展过程，掌握更具普遍性的化简技巧.当然，不是所有同学都能自主完成这个化简过程，这就需要教师提前对学生的课堂表现做好预设，再在实际教学中走到学生中去，根据他们的实际情况灵活处理.完成整个化简过程，要经过两次移项平方，可以肯定的是，一定会有同学想到用这种先移项再平方的方法去化简，那教师就可以设置好问题，通过与该生对话，让其他同学也能逐步了解这种方法的优势.第二次移项平方其实仍然是遵循化简原则，目的是去掉根式.

师：为了继续简化上述方程，可以在等式两边同除a2（a2-c2），这样得到的方程只有两处含参数，比原来三处含参数的方程更加简洁.最后，令a2-c2=b2（b>0），这样最终得到更加简洁、对称的方程x2a2+y2b2=1（a>b>0），叫作椭圆的标准方程，其焦点在x轴上，焦点坐标是F1（-c，0），F2（c，0），其中a2=b2+c2.

设计意图：让学生体会通过同除a2（a2-c2）及令a2-c2=b2（b>0），可以使方程更加简洁、对称，领悟数学之美.

师：比较以下两个式子，并思考怎样推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程.

（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a，

（y+c）2+x2+（y-c）2+x2=2a.

生1：类比焦点在x轴上椭圆标准方程的推导方法，采用同样的步骤去推导.

生2：交换x，y即可得到焦点为F1（0，-c），F2（0，c），焦距为2c的椭圆的标准方程y2a2+x2b2=1（a>b>0）.

设计意图：让学生领悟到不经过计算，通过观察未经过化简的两类方程的特征，就能直接得到焦点在y轴上的椭圆的标准方程，渗透类比思想.

教师将两种椭圆的标准方程放在一起比较分析，并用PPT演示结果，详细列出两种方程的不同点：图形和焦点坐标;相同点：定义和a，b，c三者的关系.

设计意图：通过比较，对椭圆标准方程有更深刻的认识，对两种椭圆方程的特征更加清楚，能够正确区分两种方程.

4.尝试运用，深化理解

例1 将圆x2+y2=1上的点的横坐标变为原来的一半，纵坐标保持不变，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线.

设计意图：利用方程的变换证实对曲线类型的猜想，将圆压缩可以得到椭圆，揭示椭圆与圆的内在联系.

例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）焦距为4，椭圆上一点到两焦点距离的和等于5;

（2）两个焦点的坐标分别是（0，-4），（0，4），并且经过点（-3，-5）.

总结求椭圆标准方程的步骤：①定位：确定焦点所在的坐标轴;②定量：求a，b的值.

设计意图：巩固对椭圆标准方程的理解，掌握用待定系数法求椭圆的标准方程.

思考：已知方程x2m-1+y22-m=1表示焦点在x轴上的椭圆，求实数m的取值范围;若方程表示焦点在y轴上的椭圆呢？

设计意图：对焦点在不同轴上的椭圆标准方程的形式有更深入的理解，增强学生分类讨论的意识.

5.回顾总结，提炼升华

（1）知识上：经历椭圆标准方程的推导过程，体会数学之美;椭圆标准方程的两种形式.

（2）思想方法上：数形结合思想，类比思想，定义法，待定系数法.

六、教学反思

在利用椭圆定义推导椭圆标准方程的过程中，首先用类比圆的方程的推导过程发现数量关系方面的性质和规律，然后建立等量關系，理解推理的形式和规则，并准确使用逻辑用语表述逻辑推理过程.从得到椭圆方程的最初形式，到运用一系列的运算技巧将其化为标准方程的过程，着重培养了学生的数学运算素养.本课教学目的不仅要让学生掌握椭圆的标准方程，更重要的是要让学生学会推导椭圆标准方程的方法，并且能够自己独立完成后续双曲线和抛物线方程的推导过程.上述例1通过方程的变换，让学生体会到了椭圆与圆之间的内在联系，而例2的设置是为了让学生掌握用待定系数法求椭圆的标准方程，并熟悉在实际操作中，先定位再定量的求解过程.思考题的设置，将本节课内容进行了升华，让学生进一步熟悉两种方程的形式，同时也强化了分类讨论的思想.

【参考文献】

[1]洪燕君，周九诗，王尚志，等.《普通高中数学课程标准（修订稿）》的意见征询：访谈张奠宙先生[J].数学教育学报，2015，24（3）：35-39.

[2]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（修订）[M].北京：人民教育出版社，2017.