基于Bayes 概率模型的圆钢管混凝土短柱轴压承载力计算

吕贝贝 ，何晓升 ，2，高 峰 ，谭朝明 ，曲广龙

（1.山西大同大学 建筑与测绘工程学院，山西 大同037003；2.中国矿业大学（北京）力学与建筑工程学院，北京 100083；3.山东科技大学 矿山灾害预防控制省部共建国家重点实验室培育基地，山东 青岛 266590）

与普通混凝土相比，钢管混凝土由于改善了核心混凝土的受力状态，从而具有了塑性高，韧性好，承载力高等显著优点，被广泛应用于建筑结构和桥梁工程中。近年来，随着煤炭开采深度的增加，开采条件日益复杂，支护困难巷道带来的问题越来越突出，钢管混凝土支架作为巷道中新的支护结构形式在深埋软岩巷道中取得了良好的应用效果[1-2]。目前，各国学者对于钢管混凝土柱抗压性能进行了大量的试验研究及理论分析，并取得了很多成果，为工程设计提供了重要依据。各国现行设计规范中钢管混凝土柱受压承载力计算方法多为基于试验结果回归的半经验半理论公式，缺乏合理的理论模型，钢管混凝土柱抗压理论模型始终未形成统一认识。且这种半经验半理论公式都是基于地面建筑应用的钢管混凝土结构，与地面建筑中使用的钢管混凝土结构相比，井下使用的钢管混凝土结构径厚比较小。因此建立1 种统一的理论模型进行钢管混凝土短柱轴压承载力估算有助于更准确估算钢管混凝土支架的承载能力。贝叶斯统计推断理论综合考虑样本信息和先验信息，近年来已逐渐被引入结构分析的相关计算中[3-4]。利用无信息先验分布贝叶斯多元线性参数估计方法，建立基于影响参数的圆钢管混凝土短柱贝叶斯概率抗压模型，基于该模型和收集到的170 组圆钢管混凝土柱试验结果完成了模型参数计算及基于贝叶斯理论的试件短柱轴压承载力计算，并利用贝叶斯参数剔除法进行模型简化，进而得到了简化概率抗压模型，与GB 50396—2014《钢管混凝土结构技术规范》、AISC 美国钢结构协会规范以及AIJ 日本建筑协会规范计算结果进行对比分析，验证了该模型的有效性及优越性。

1 规范计算模型

GB 50396—2014《钢管混凝土结构技术规范》[5]中对圆钢管混凝土柱抗压强度计算模型，反映了工程结构中构件轴压破坏的内在规律，根据式（1）进行承载力N0计算：

式中：Ac为核心混凝土横截面面积；fc为核心混凝土抗压强度设计值；θ 为套箍系数；a 为与混凝土强度等级有关的系数；As为钢管横截面面积；fs为钢管抗拉强度设计值。

AISC 美国钢结构协会规范采用塑性应力分布法来进行圆钢管混凝土轴心受压短柱承载力NAISC的计算，见式（3），并考虑了构件的局部屈曲，定义当钢管屈服时核心混凝土强度降低5%，即为0.95fc′。

式中：pno为钢管混凝土柱的名义强度；pc为弹性屈曲临界荷载。

式中：fc′为混凝土圆柱体抗压强度；As、Ac为核心混凝土和钢管截面面积；c2为核心混凝土强度折减系数，取 0.95。

式中：K 为长度等效系数；L 为柱的有效计算长度；（EI）eff为有效截面刚度。

式中：Es、Ec为钢管和核心混凝土强度模量；Is、Ic为钢管和核心混凝土的截面惯性矩；c3为考虑混凝土开裂后而对混凝土抗弯刚度进行折减的系数。

AIJ 日本建筑协会规范中关于圆钢管混凝土轴心受压短柱承载力NAIJ计算，见式（8）。主要是通过对钢管承载力定义1 个提升系数来考虑钢管混凝土柱的强度提升。

式中：γc为混凝土圆柱体抗压强度折减系数，取0.85；η 为强度提升系数，取 0.27。

2 贝叶斯参数估计

2.1 贝叶斯理论简介

与经典统计学“从无到有”的理念不同，贝叶斯统计是“从有到有”的过程[6]，其推断模式为先验信息⊕样本信息⇒后验信息，即：将有关参数的历史信息作为先验信息，结合样本信息进行未知参数估计，此处“⊕”表示贝叶斯定理的作用。在统计过程中，如果先验信息很少或没有，则取未知参数的先验分布为无信息先验分布。

2.2 无信息先验分布参数估计

假设随机变量 y 和自变量 x1、x2、…、xm之间存在线性关系：

式中：εi为独立同分布于 N（0，1）的随机变量，即 εi～N（0，1）；αi和 σ 为未知模型参数，并假设其先验信息是无知的。

则据贝叶斯假设可得参数的先验分布为：

据贝叶斯定理可得未知参数α 和σ 的后验信息，其中α 的后验分布为多元t 分布，据t 分布性质可求得α 的后验期望值和协方差值。σ2的后验分布为逆Gamma 分布，据逆Gamma 分布的性质可求得σ2的后验期望值。

3 模型建立

3.1 样本信息

查阅国内外关于圆钢管混凝土轴心受压短柱的抗压试验资料，从文献[7-27]中共收集到170 组试验数据，基本情况见表1。主要考虑了构件截面尺寸（D×t×L，D 为柱子直径，t 为钢管壁厚，L 为柱子长度）、混凝土抗压强度fc、钢管抗压强度fs、套箍指数θ 等因素，试验数据关于不同影响参数的分布情况如图1。

3.2 概率模型建立

通过对圆钢管混凝土轴心受压短柱抗压承载力的研究，综合贝叶斯理论，假设公式（11）来计算构件抗压承载力。

表1 试验数据Table 1 Test results

图1 试验数据关于不同参数的分布情况Fig.1 Distribution of parameter values of 170 test results

式中：x 表示圆钢管混凝土短柱抗压承载力影响因素的向量形式；A=（α，σ）为未知的模型参数，可利用上述贝叶斯参数估计方法，并结合样本信息对其进行估计；cd为先验模型，是基于影响参数的概率模型，无先验模型；γ（x，α）为误差修正项，形式未知；ε 为正态随机变量；α=［α1，α2，…，αp］T，为对 x 的修正系数；σ 为后验分布所产生的方差。

本次研究只包含破坏试验数据，根据需要对式（11）进行对数运算，则确定钢管混凝土短柱抗压概率模型形式为：

式中：hi（x）是根据力学理论选择的函数，是对影响参数的评估，取h1（x）＝ln2 为修正常数，h2（x）＝ln（D/t）考虑径厚比影响，h3（x）＝ln（L/D）考虑长径比影响，h4（x）＝lnθ 考虑套箍指标影响，h5（x）＝ln（fs/fc）考虑混凝土与钢管相对强度影响，h6（x）＝lnfc考虑混凝土强度影响，h7（x）＝lnAc考虑核心混凝土面积影响；σ 表示模型误差。

3.3 计算结果

采用贝叶斯无信息先验分布，以表1 中试验数据为样本信息，根据式（13）利用贝叶斯多元线性参数估计方法对未知参数进行估计。最终概率模型如式（14）。为与规范及试验结果进行对比，利用《钢管混凝土结构技术规范》、AISC 美国钢结构协会规范以及AIJ 日本建筑协会规范中钢管混凝土柱抗压承载能力的计算模型对170 根试件进行计算，贝叶斯承载能力NB计算结果及对比结果见表1。

3.4 模型简化

后验分布的σ 为0.169，可以剔除对抗压承载能力影响不显著的修正项，达到对式（14）的简化。根据参数 α＝［α1，α2，…，α9］T的后验分布可计算每 1个分量 αi的后验变异系数（coefficient of variation），即：

式中：μi、σi分别为 αi后验分布的期望值和标准差值。

变异系数的大小与修正项对圆钢管混凝土短柱抗压承载力的影响程度直接相关，变异系数cov（αi）越大，说明修正项hi（x）对抗压承载力的影响越不显著。寻找最大的cov（αi），并将与其对应的hi（x）项删除，由剩余的hi（x）项组成新的修正函数γ（x，α），再利用样本信息和贝叶斯无信息参数估计法对剩余未知参数（α，σ）重新进行估计。重复此步骤，直至σ 的后验期望值显著增大则停止剔除，至此完成简化，具体的参数剔除过程见表2。

表2 参数剔除过程Table 2 Stepwise deletion process

从表2 中可以看出当剔除影响参数h3（x）＝ln（L/D）时，σ 值没有显著变化，但当剔除参数h2（x）＝ln（D/t）时，σ 值显著增大到0.229，可见h1（x），h2（x），h4（x），h5（x），h6（x），h7（x）对构件抗压承载能力影响显著，不能剔除，可得简化后的概率模型为：

4 概率模型优越性证明

现将收集到的170 根圆钢管混凝土轴心受压短柱试件的抗压试验值按照大小重新排列，并结合基于影响参数的简化概率模型的抗压承载能力计算值，概率模型性能如图2。由图可见，抗压承载能力试验值与计算值走势相同，且大部分的试验值落入了概率模型的阴影部分。说明基于影响参数的概率模型与试验值吻合良好，可对圆钢管混凝土短柱抗压承载能力进行无偏估计。证明了概率模型具有精度高随机性小的优越性能。

图2 概率模型性能Fig.2 Performance of probabilistic model

各个模型计算值与试验值对比结果见表1，统计结果见表3。以中国规范为例，其中利用基于影响参数的贝叶斯简化概率模型计算170 根钢管混凝土轴心受压短柱试件的抗压承载力时，μ（Ntest/NB）为1.010，σ（Ntest/NB）为 0.161，较利用《钢管混凝土结构技术规范》模型计算同样试件抗压承载能力时的μ（Ntest/NGB）=1.147，σ（Ntest/NGB）=0.179 均减小。说明基于影响参数的简化概率模型对钢管混凝土短柱抗压承载能力的计算值，较规范模型计算值更接近试验值，且随机性较小。

以散点图的形式对基于影响参数的简化概率模型计算结果Ntest/NB与各规范模型计算结果Ntest/NGB、Ntest/NAISC、Ntest/NAIJ进行了对比如图3～图5。以中国规范为例说明：由图可见，Ntest/NB与Ntest/NGB分布相同，但较Ntest/NGB分布更集中。说明简化概率模型合理考虑了各影响因素对钢管混凝土短柱抗压承载能力的影响，证明了该模型的合理性和准确性。

表3 各模型与试验值比值统计结果Table 3 Statistical results between different models

图3 GB 规范模型与贝叶斯模型对比Fig.3 Comparison between GB model and Bayes model

图4 AISC 规范模型与贝叶斯模型对比Fig.4 Comparison between AISC model and Bayes model

5 结 论

研究以收集到的170 组国内外关于圆钢管混凝土短柱抗压试验的试验数据为基础，从贝叶斯统计推断理论出发，利用其无信息先验分布参数估计法，建立了圆钢管混凝土短柱基于影响参数的概率抗压模型。采用贝叶斯统计推断理论推得的概率模型计算结果与试验值相比，误差很小；当与各国规范模型相比时，概率模型计算结果与规范模型计算结果分布相同，但更接近试验值。说明基于影响参数的简化概率模型具有合理性，且精度高随机性小，可对圆钢管混凝土短柱的抗压承载能力进行无偏估计。为圆钢管混凝土短柱的优化设计提供了可靠的理论依据。

图5 AIJ 规范模型与贝叶斯模型对比Fig.5 Comparison between AIJ model and Bayes model